«Լապլասի օպերատոր»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
No edit summary |
No edit summary |
||
Տող 1. | Տող 1. | ||
{{Խմբագրում եմ|Գոհար Հովհաննեսյան}} |
{{Խմբագրում եմ|Գոհար Հովհաննեսյան}} |
||
'''[[Պիեռ Սիմոն Լապլաս|Լապլասի]] օպերատոր'''('''լապլասիան,''' դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա: Նշանակվում է <math>\ \Delta</math> տառով: [[N-չափանի տարածություն|n-չափանի տարածությունում]] <math>F\ </math> ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝ |
'''[[Պիեռ Սիմոն Լապլաս|Լապլասի]] օպերատոր'''('''լապլասիան,''' դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա: Նշանակվում է <math>\ \Delta</math> տառով: [[N-չափանի տարածություն|n-չափանի տարածությունում]] <math>F\ </math> ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝ |
||
: <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>: Լապլասի օպերատորը համարժեք է [[Գրադիենտ|գրադիենտի]] և [[Դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիայի]] հաջորդական կիրառմանը՝ <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>: [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում]] Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math><ref>Стоит избегать обозначения для оператора Лапласа в виде квадрата [[Оператор набла|оператора набла]], поскольку из такой записи непонятно, [[Скалярное произведение|скалярное]] или [[векторное произведение]] подразумевается под возведением в квадрат.</ref>: Լապլասի օպերատորը [[Սիմետրիա|սիմետրիկ]] է: |
: <math>\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F</math>: Լապլասի օպերատորը համարժեք է [[Գրադիենտ|գրադիենտի]] և [[Դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիայի]] հաջորդական կիրառմանը՝ <math>\Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}</math>: [[Դեկարտյան կոորդինատների համակարգ|Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում]] Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ <math>\Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2</math><ref>Стоит избегать обозначения для оператора Лапласа в виде квадрата [[Оператор набла|оператора набла]], поскольку из такой записи непонятно, [[Скалярное произведение|скалярное]] или [[векторное произведение]] подразумевается под возведением в квадрат.</ref>: Լապլասի օպերատորը [[Սիմետրիա|սիմետրիկ]] է: |
||
== Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում == |
|||
: [[Եռաչափ տարածություն|Եռաչափ տարածության]] մեջ կորագիծ օրթոգոնալ <math>q_1,\ q_2,\ q_3</math> կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝ |
|||
:: <math>\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math> |
:: <math>\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = </math> |
||
:: <math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math> |
:: <math>=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],</math> |
||
Տող 7. | Տող 10. | ||
=== [[Գլանային կոորդինատներ]] === |
=== [[Գլանային կոորդինատներ]] === |
||
:: Գլանային |
:: Գլանային կոորդինատներով` |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
= {1 \over r} {\partial \over \partial r} |
= {1 \over r} {\partial \over \partial r} |
||
\left( r {\partial f \over \partial r} \right) |
\left( r {\partial f \over \partial r} \right) |
||
+ {\partial^2f \over \partial z^2} |
+ {\partial^2f \over \partial z^2} |
||
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} |
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} |
||
</math> |
|||
⚫ | |||
=== [[Սֆերիկ կոորդինատներ]] === |
|||
⚫ | |||
:: <math> \Delta f |
:: <math> \Delta f |
||
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} |
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} |
||
Տող 29. | Տող 34. | ||
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}. |
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}. |
||
</math> Այն դեպքում, երբ<math>\ f=f(r)</math> n-չափանի տարածության մեջ է՝ |
</math> Այն դեպքում, երբ<math>\ f=f(r)</math> n-չափանի տարածության մեջ է՝ |
||
:: <math> \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.</math> |
:: <math> \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.</math> |
||
=== [[Պարաբոլական կոորդինատներ]] === |
|||
:: Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝ |
|||
:: <math> |
:: <math> |
||
\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} |
\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} |
||
Տող 38. | Տող 46. | ||
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + |
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + |
||
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} |
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} |
||
</math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | :: |
||
=== [[Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ]] === |
|||
⚫ | |||
:: <math>\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.</math> |
|||
== Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և [[Ռիմանի տարածություն]] == |
|||
⚫ | |||
:: <math>ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j</math> . |
:: <math>ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j</math> . |
||
<math>g^{ij}</math>-ով նշանակենք <math>(g_{ij})^{-1}</math> մատրիցի էլեմենտները՝ |
<math>g^{ij}</math>-ով նշանակենք <math>(g_{ij})^{-1}</math> մատրիցի էլեմենտները՝ |
||
:: <math>g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}</math>. |
:: <math>g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}</math>. |
||
:: <math>\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i)</math>, а компоненты [[:ru:Градиент|градиента]] функции ''f'' — по формуле |
|||
:: <math>(\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.</math> Оператор Лапласа — [[:ru:Бельтрами,_Эудженио|Бельтрами]] на <math>X</math>: |
|||
:: <math>\Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).</math> Значение <math>\Delta f</math> является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат. == Применение == С помощью данного оператора удобно записывать уравнения [[:ru:Уравнение_Лапласа|Лапласа]], [[:ru:Уравнение_Пуассона|Пуассона]] и [[:ru:Волновое_уравнение|волновое уравнение]]. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, [[:ru:Квантовая_механика|квантовой механике]], во многих уравнениях [[:ru:Физика_сплошных_сред|физики сплошных сред]], а также при изучении равновесия [[:ru:Физика_поверхностей|мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз]] с поверхностным натяжением (см. [[:ru:Лапласово_давление|Лапласово давление]]), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям. == Вариации и обобщения == |
|||
:* [[:ru:Оператор_Д’Аламбера|Оператор Д’Аламбера]] — обобщение оператора Лапласа для [[:ru:Гиперболическое_уравнение|гиперболических уравнений]]. Включает в себя вторую производную по времени. |
|||
:* [[:ru:Векторный_оператор_Лапласа|Векторный оператор Лапласа]] — обобщение оператора Лапласа на случай [[:ru:Вектор_(математика)|векторного]] аргумента. == См. также == |
|||
:* [[:ru:Оператор_набла|Оператор набла]] |
|||
:* [[:ru:Уравнение_Лапласа|Уравнение Лапласа]] |
|||
:* [[:ru:Гармоническая_функция|Гармоническая функция]] |
|||
:* [[:ru:Матрица_Кирхгофа|Матрица Кирхгофа]] |
16:24, 27 հունվարի 2017-ի տարբերակ
Խնդրում ենք նշել կաղապարի տեղադրման ամսաթիվը 2024-04-24 01:26:56 ֆորմատով
Լապլասի օպերատոր(լապլասիան, դելտա օպերատոր), մաթեմատիկական գործողություն, դիֆֆերենցման օպերատոր, որն ազդում է գծային տարածության հարթ ֆունկցիաների վրա: Նշանակվում է տառով: n-չափանի տարածությունում ֆունկցիայի վրա կիրառելիս ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
- : Լապլասի օպերատորը համարժեք է գրադիենտի և դիվերգենցիայի հաջորդական կիրառմանը՝ : Դեկարտյան կոորդինատական համակարգում Լապլասի օպերատորը գրվում է հետևյալ կերպ՝ [1]: Լապլասի օպերատորը սիմետրիկ է:
Լապլասի օպերատորը տարբեր կոորդինական համակարգերում
- Եռաչափ տարածության մեջ կորագիծ օրթոգոնալ կոորդինատներով գրվում է հետևյալ կերպ՝
- որտեղ -ն Լամեի գործակիցն է:
Գլանային կոորդինատներ
- Գլանային կոորդինատներով`
Սֆերիկ կոորդինատներ
- Սֆերիկ կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
- կամ
- Այն դեպքում, երբ n-չափանի տարածության մեջ է՝
Պարաբոլական կոորդինատներ
- Պարաբոլական կոորդինատական համակարգում (եռաչափ տարածություն)՝
Գլանային պարաբոլական կոորդինատներ
Գլանային պարաբոլական կոորդինատական համակարգում՝
Ընդհանուր կորագիծ կոորդինատներ և Ռիմանի տարածություն
- Դիցուք հարթ բազմաձև -ի վրա տրված է կոորդինատների լոկալ համակարգ և -ն ռիմանյան մետրիկական թենզոր է -ի վրա, այսինքն մետրիկան ունի հետևյալ տեսքը՝
- .
-ով նշանակենք մատրիցի էլեմենտները՝
- .
- ↑ Стоит избегать обозначения для оператора Лапласа в виде квадрата оператора набла, поскольку из такой записи непонятно, скалярное или векторное произведение подразумевается под возведением в квадрат.