Կեղծ միավոր

Կեղծ միավորը սովորաբար կոմպլեքս թիվ է, որի քառաքուսին հավասար է -1 (մինուս մեկի).երբեմն հնարավոր է և այլ տարբերակներ Կելի-Դիկսոնի (Кэли—Диксону) կրկնապատկման կառուցվածքում կամ Կլիֆֆորդու (Клиффорду) հանրահաշվի շրջանակներում։

Կոմպլեքս թվեր

$i$ կոմպլեքս հարթություն. իրական թվերը գտնվում են հորիզոնական առանցքի վրա, կեղծ՝ ուղղաձիգ առանցքի վրա

Մաթեմատիկայում, ֆիզիկայում կեղծ միավոր նշանակում են լատինական i կամ j, այն հնարավորություն է տալիս ընդլայնելու իրական թվերի դաշտը մինչև կոմպլեքս թվերը։ Կեղծ միավորի ներմուծման պատճառը կայանում է նրանում, որ ոչ ցանկացած իրական գործակիցներով բազմանդամային հավասարում f(x)=0 ունի լուծում իրական թվերի դաշտում։ Այնպես որ $x^{2}+1=0$հավասարումը չունի իրական արմատներ։Երբեմն պարզվում է, որ ցանկացած կոմպլեքս գործակիցներով բազմանդամային հավասարում ունի կոմպլեքս լուծում՝ «Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ»։

Պատմականորեն կեղծ միավորը սկզբում ներմուծել են իրական խորանարդ հավասարումը լուծելու համար, հաճախ իրական երեք արմատների գոյության դեպքում , նրանցից երկուսի ստացումը Կարդանոյի բանաձևից պահանջվում էր վերցնել խորանարդ արմատ կոմպլեքս թվերով։

Պնդումը, որ կեղծ միավորը՝ դա«քառակուսի արմատն է −1-ից», ստույգ չէ, չէ որ «−1» ունի երկու քառակուսի արմատ, որոնցից մեկը «i»,իսկ մյուսը՝ «−i»։Դրանցից որ մեկը ընդունել կեղծ միավոր՝ կարևոր չէ, բոլոր հավասարությունները պահպանում են ուժը միաժամանակ փոխարինումը բոլոր «i»-երը «-i»-երով։ Երբեմն այդ երկիմաստությունից, որպեսզի խուսափենք սխալ հաշվումներից, պետք չէ օգտագործել i նշանակումը ինչպես ( ${\sqrt {-1}}$).

Սահմանում

Կեղծ միավորը դա թիվ է, որի քառակուսի արմատը հավասար է −1, այսինքն $i$ դա հավասարման լուծումներից մեկն է

$x^{2}+1=0,$   կամ   $x^{2}=-1.$ և այդ ժամանակ նրա երկրորդ արմատը կլինի $-i$,որը կարելի է ստուգել տեղադրումով։

Կեղծ միավորի աստիճանները

Աստիճանները $i$ կրկնվում են շարքում:

$\ldots$

$i^{-3}=i\,$

$i^{-2}=-1\,$

$i^{-1}=-i\,$

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$\ldots$

Ինչը կարելի է գրառել ցանկացած աստիճանի դեպքում։

$i^{4n}=1\,$

$i^{4n+1}=i\,$

$i^{4n+2}=-1\,$

$i^{4n+3}=-i.\,$

որտեղn — ցանկացած ամբողջ թիվ է։ Այստեղից: $i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}\,$ որտեղmod 4 — դա 4-ի բաժանման մնացորդն է . $i^{i}$թիվը հանդիսանում է իրական:

$i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots$

Ֆակտորյալ

Ֆակտորյալ կեղծ միավորի i կարելի է ներկայացնել ինչպես ֆունկցիայի հաջորդաշարք 1 + i արգումենտից:

$i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.$

նույնպես

$|i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564....$

Կեղծ միավորից արմատներ

Հիմնական հոդված՝ Արմատ (Մաթեմատիկա)

Կեղծ միավորից արմատներ

խորանարդ արմատներ կեղծ միավորից (եռանկյան գագաթներ)

Կոմպլեքս թվերի դաշտում n-րդաստիճանի արմատը ունի n լուծումներ ։ Կոմպլեքս հարթությունում կեղծ միավորի արմատները գտնվում են կանոնավոր n անկյան գագաթներում, ներգծված միավոր շառավղով շրջանագծին։

$u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

դա հետևում է Մուավրի բանձևից և այնպես որ կեղծ միավորը կարող է նաև ներկայացվել եռանկյունաչափական տեսքով։$i=\cos \ {\frac {\pi }{2}}+i\ \sin \ {\frac {\pi }{2}}$

Մասնավորապես, ${\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}$ и ${\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}$ Նմանապես կեղծ միավորի արմատը կարող է ներկայացվել ցուցանշական։

$u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Այլ կեղծ թվեր

Կելի-Դիկսոնի կառուցվածքում (կամ Կլիֆորդի հանրահաշվում) «կեղծ թվի ընդլայնումը» կարող է լինել մի քանիսը, և /կամ նրանց քառակուսին կարող է լինել ="+1" կամ մինչև անգամ="0"։Այդ դեպքում կարող է ծագել բաժանումը զրոյի և այլ հատկություններ, տարբերվելով կոմպլեքս «i» հատկություններից։ Օրինակ, , կվատերնիոնի (кватернион)ов մարմնում երեք антикоммутативных կեղծ միավորներ և նաև անվերջ շատ լուծումներ ունի հավասարումը «$x^{2}=-1$».

Մեկնաբանության և անվան հարցադրում

Գաուսը նույնպես պնդեց, որ եթե 1, −1 и √−1 մեծությունները կոչվեցին համապատասխանաբար ոչ դրական, բացասական և կեղծ միավոր, այլ ուղիղ, հակադիր և կողմնակի,այդ դեպքում մարդկանց մոտ տպավորություն չէր առաջանա,որ որ այդ թվերի հետ կապված է ինչ-որ մութ գաղտնիք։Գաուսի խոսքերով, երկրաչափական ներկայացումը տալիս է ճշմարիտ մետաֆիզիկայում կեղծ թվեր նոր լույսի ներքո։Հենց Գաուսն է ներմուծել «կոմլեքս թվեր» տերմինը (ի հակադրություն Դեկարտի «կեղծ թվեր»-ի ) և օգտագործեց նշանակման համար √−1 պայմանանշանը i.

Տես նաև

• Երկվության թվեր և կրկնակի թվեր
• Կոմլեքսային վերլուծություն
• Кватернион
• Հիպերկոմպլեքսային թվեր

Հղումներ

• http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00048/74100.htm