«Կեղծ միավոր»–ի խմբագրումների տարբերություն
Content deleted Content added
Ջնջվում է էջի ամբողջ պարունակությունը |
|||
Տող 1. | Տող 1. | ||
{{Խմբագրվում է|06․02․16-ից}} |
|||
Կեղծ միավորը սովորաբար կոմպլեքս թիվ է, որի քառակուսին հավասար է -1 (մինուս մեկի).երբեմն հնարավոր է և այլ տարբերակներ Կելի-Դիկսոնի Кэли—Диксону կրկնապատկման կառուցվածքում կամ Կլիֆորդու Клиффорду հանրահաշվի շրջանակներում։ |
|||
== Կոմպլեքս թվեր == |
|||
[[Պատկեր:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right|<math>i</math> [[կոմպլեքսային հարթություն|կոմպլեքս հարթություն]]. [[Իրական թվեր|իրական թվերը]] գտնվում են հորիզոնական առանցքի վրա, [[Կեղծ թիվը |կեղծ]]՝ ուղղաձիգ առանցքի վրա]] |
|||
Մաթեմատիկայում, ֆիզիկայում կեղծ միավոր նշանակում են լատինական i կամ j, այն հնարավորություն է տալիս ընդլայնելու իրական թվերի դաշտը մինչև կոմպլեքս թվերը։ Կեղծ միավորի ներմուծման պատճառը կայանում է նրանում, որ ոչ ցանկացած իրական գործակիցներով բազմանդամային հավասարում f(x)=0 ունի լուծում իրական թվերի դաշտում։ Այնպես որ <math>x^2 + 1 = 0</math>հավասարումը չունի իրական արմատներ։Երբեմն պարզվում է, որ ցանկացած կոմպլեքս գործակիցներով բազմանդամային հավասարում ունի կոմպլեքս լուծում՝ «Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ»։ |
|||
Պատմականորեն կեղծ միավորը սկզբում ներմուծել են իրական խորանարդ հավասարումը լուծելու համար, հաճախ իրական երեք արմատների գոյության դեպքում , նրանցից երկուսի ստացումը Կարդանոյի բանաձևից պահանջվում էր վերցնել խորանարդ արմատ կոմպլեքս թվերով։ |
|||
Պնդումը, որ կեղծ միավորը՝ դա«քառակուսի արմատն է −1-ից», ստույգ չէ, չէ որ «−1» ունի երկու քառակուսի արմատ, որոնցից մեկը «i»,իսկ մյուսը՝ «−i»։Դրանցից որ մեկը ընդունել կեղծ միավոր՝ կարևոր չէ, բոլոր հավասարությունները պահպանում են ուժը միաժամանակ փոխարինումը բոլոր «i»-երը «-i»-երով։ Երբեմն այդ երկիմաստությունից, որպեսզի խուսափենք սխալ հաշվումներից, պետք չէ օգտագործել i նշանակումը ինչպես ( <math>\sqrt{-1}</math>). |
|||
===Սահմանում=== |
|||
Կեղծ միավորը դա թիվ է, որի քառակուսի արմատը հավասար է −1, այսինքն <math>i</math> դա հավասարման լուծումներից մեկն է |
|||
:<math>x^2 + 1 = 0, </math> կամ <math>x^2 = -1. </math> և այդ ժամանակ նրա երկրորդ արմատը կլինի <math>-i</math>,որը կարելի է ստուգել տեղադրումով։ |
|||
===Կեղծ միավորի աստիճանները=== |
|||
Աստիճանները <math>i</math> կրկնվում են շարքում: |
|||
:<math>\ldots</math> |
|||
:<math>i^{-3} = i\,</math> |
|||
:<math>i^{-2} = -1\,</math> |
|||
:<math>i^{-1} = -i\,</math> |
|||
:<math>i^0 = 1\,</math> |
|||
:<math>i^1 = i\,</math> |
|||
:<math>i^2 = -1\,</math> |
|||
:<math>i^3 = -i\,</math> |
|||
:<math>i^4 = 1\,</math> |
|||
: <math>\ldots</math> |
|||
Ինչը կարելի է գրառել ցանկացած աստիճանի դեպքում։ |
|||
:<math>i^{4n} = 1\,</math> |
|||
:<math>i^{4n+1} = i\,</math> |
|||
:<math>i^{4n+2} = -1\,</math> |
|||
:<math>i^{4n+3} = -i.\,</math> |
|||
որտեղ''n'' — ցանկացած ամբողջ թիվ է։ |
|||
Այստեղից: <math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math> |
|||
որտեղ''mod 4'' — դա 4-ի [[ բաժանման մնացորդն է]] . |
|||
<math>i^i</math>թիվը հանդիսանում է [[Вещественное число|իրական]]: |
|||
: <math>i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots</math><ref>[[Էյլերի բանաձև#Показательная форма комплексного числа|Կոմպլեքս թվի ցուցանշական ձև]]</ref> |
|||
===Կեղծ միավորի աստիճանները=== |
|||
Աստիճանները <math>i</math> կրկնվում են շարքում: |
|||
:<math>\ldots</math> |
|||
:<math>i^{-3} = i\,</math> |
|||
:<math>i^{-2} = -1\,</math> |
|||
:<math>i^{-1} = -i\,</math> |
|||
:<math>i^0 = 1\,</math> |
|||
:<math>i^1 = i\,</math> |
|||
:<math>i^2 = -1\,</math> |
|||
:<math>i^3 = -i\,</math> |
|||
:<math>i^4 = 1\,</math> |
|||
: <math>\ldots</math> |
|||
Ինչը կարելի է գրառել ցանկացած աստիճանի դեպքում։ |
|||
:<math>i^{4n} = 1\,</math> |
|||
:<math>i^{4n+1} = i\,</math> |
|||
:<math>i^{4n+2} = -1\,</math> |
|||
:<math>i^{4n+3} = -i.\,</math> |
|||
որտեղ''n'' — ցանկացած ամբողջ թիվ է։ |
|||
Այստեղից: <math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math> |
|||
որտեղ''mod 4'' — դա 4-ի [[ բաժանման մնացորդն է]] . |
|||
<math>i^i</math>թիվը հանդիսանում է [[Вещественное число|իրական]]: |
|||
: <math>i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots</math><ref>[[Էյլերի բանաձև#Показательная форма комплексного числа|Կոմպլեքս թվի ցուցանշական ձև]]</ref> |
|||
===Կեղծ միավորի աստիճանները=== |
|||
Աստիճանները <math>i</math> կրկնվում են շարքում: |
|||
:<math>\ldots</math> |
|||
:<math>i^{-3} = i\,</math> |
|||
:<math>i^{-2} = -1\,</math> |
|||
:<math>i^{-1} = -i\,</math> |
|||
:<math>i^0 = 1\,</math> |
|||
:<math>i^1 = i\,</math> |
|||
:<math>i^2 = -1\,</math> |
|||
:<math>i^3 = -i\,</math> |
|||
:<math>i^4 = 1\,</math> |
|||
: <math>\ldots</math> |
|||
Ինչը կարելի է գրառել ցանկացած աստիճանի դեպքում։ |
|||
:<math>i^{4n} = 1\,</math> |
|||
:<math>i^{4n+1} = i\,</math> |
|||
:<math>i^{4n+2} = -1\,</math> |
|||
:<math>i^{4n+3} = -i.\,</math> |
|||
որտեղ''n'' — ցանկացած ամբողջ թիվ է։ |
|||
Այստեղից: <math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math> |
|||
որտեղ''mod 4'' — դա 4-ի [[ բաժանման մնացորդն է]] . |
|||
<math>i^i</math>թիվը հանդիսանում է [[Вещественное число|իրական]]: |
|||
: <math>i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots</math><ref>[[Էյլերի բանաձև#Показательная форма комплексного числа|Կոմպլեքս թվի ցուցանշական ձև]]</ref> |
|||
=== Ֆակտորյալ=== |
|||
[[Ֆակտորյալ]] կեղծ միավորի {{math|''i''}} կարելի է ներկայացնել ինչպես [[Гамма-функция|ֆունկցիայի հաջորդաշարք]] {{math|1 + ''i''}} արգումենտից: |
|||
:<math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.</math> |
|||
նույնպես |
|||
:<math>|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh(\pi)} \approx 0.521564... .</math><ref>"[http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs(i!) abs(i!)]", ''WolframAlpha''.</ref> |