Անալիտիկ երկրաչափություն

Խնդրում ենք նշել կաղապարի տեղադրման ամսաթիվը 2024-04-19 20:40:33 ֆորմատով

Декартова система координат

Անալիտիկ երկրաչափություն  — Երկրաչափություն բաժնից, որում երկրաչափական պատկերները և իրենց հատկությունները ուսումնասիրվում են հանրահաշվի կանոններով։ Այս մեթոդի հիմքում ընկած է այսպես կոչված կոորդինատների մեթոդը, որը առաջինը կիրառվել է Դեկարտի կողմից։ Յուրաքանչյուր երկրաչափական հարաբերություն այդ մեթոդը դնում է համապատասխանության մի քանի հավասարման ՝ կապված պատկերի կամ մարմնի կոորդինատներից։

Պատմական տեղեկություն

Գաղափարը կոորդինատի և ծուռ հավասարում օտար չէին դեռ հին հույներ և հատկապես Ապոլոնի իրենց ստեղծագործություններում նշել են այսպես կոչված ախտանիշ հատվածների վերջավորության, որոնք պատահական դասավորվածությամբ համընկնում են մեր հավասարումների հետ։ Սակայն գործը ընթացք չստացավ քանի որ հին հունական հանրահաշիվը գտնվում էր ոչ բարձր մակարդակի վրա և փոքր էր հետաքրքրվածությունը կորերի նկատմամբ, որոնք տարբերվում են հատվածից և շրջանագծից։

Նիկոլայ Օրեզմիսկին (XIV դար) Եվրոպայում առաջին անգամ օգտագործել է կոորդինատային նկար (ժամանակից կախված ֆունկցիային վերաբերյալ), որը անվանել է կորդինատներ, որոնք համանման էին երկրաչափական երկարությանը և լայնությանը։ Վճռական քայլը կատարվեց այն բանից հետո , երբ Վիետը (XVI դար

Решающий шаг был сделан после того, как Виет (XVI век) նախագծեց սիմվոլային լեզուն հավասարումների գրման և դրեց համակարգված հանրահաշվի սկիզբը: Դեռևս 1637 թվականին Ֆերման տարածեց Մերսենի հուշագրի միջոցով «Ներածություն հարթ և մարմնական մարմինների մասին», որտեղ գրել է(Վիետի սիմվոլների մասին) հավասարումներ

Около 1637 года Ферма распространил через Мерсенна мемуар «Введение в изучение плоских и телесных мест», где выписал (в символике Виета) уравнения различных кривых 2-го порядка в прямоугольных координатах. Для упрощения вида уравнений он широко использовал преобразование координат. Ферма наглядно показал, насколько новый подход проще и плодотворней чисто геометрического. Однако мемуар Ферма широкой известностью не пользовался. Гораздо большее влияние имела «Геометрия» Декарта, вышедшая в том же 1637 году, которая независимо и гораздо более полно развивала те же идеи.

Դեկարտը միացրել է երկրաչափությանը ավելի մեծ դասակարգում

Декарт включил в геометрию более широкий класс кривых, в том числе «механические» (трансцендентные, вроде спирали), и провозгласил, что у каждой кривой есть определяющее уравнение. Он построил такие уравнения для алгебраических кривых и провёл их классификацию (позже основательно переделанную Ньютоном). Декарт подчеркнул, хотя и не доказал, что основные характеристики кривой не зависят от выбора системы координат.

Система координат у Декарта была перевёрнута по сравнению с современной (ось ординат горизонтальна), и отрицательные координаты не рассматривались. Термины «абсцисса» и «ордината» изредка встречались у разных авторов, хотя в широкое употребление их ввёл только Лейбниц в конце XVII века, вместе с термином «координаты». Название «Аналитическая геометрия» утвердилось в самом конце XVIII века.

Декарт поместил в «Геометрию» множество примеров, иллюстрирующих огромную мощь нового метода, и получил немало результатов, неизвестных древним. Возможные пространственные применения он также упомянул, но эта идея не получила у него развития.

Аналитический метод Декарта немедленно взяли на вооружение ван Схоутен, Валлис и многие другие видные математики. Они комментировали «Геометрию», исправляли её недочёты, применяли новый метод в других задачах. Например, Валлис впервые рассмотрел конические сечения как плоские кривые (1655 год), причём уже использует отрицательные абсциссы и косоугольные координаты.

Ньютон не только опирался на координатный метод в своих работах по анализу, но и продолжил геометрические исследования Декарта. Он классифицировал кривые 3-го порядка, выделив 4 типа и 58 видов; позже он добавил ещё 14. Эти результаты были получены около 1668 года, опубликованы вместе с его «Оптикой» в 1704 году. Система координат Ньютона уже ничем не отличается от современной. Для каждой кривой определяются диаметр, ось симметрии, вершины, центр, асимптоты, особые точки и т. п.

В «Началах» Ньютон старался всё доказывать в манере древних, без координат и бесконечно малых; однако несколько применений новых методов там всё же имеется. Гораздо бо́льшую роль аналитическая геометрия играет в его «''Всеобщей арифметике». В большинстве случаев он не посчитал нужным привести доказательства, чем обеспечил работой на долгие годы целую армию комментаторов.

В первой половине XVIII века в основном продолжалось изучение алгебраических кривых высших порядков; Стирлинг обнаружил 4 новых типа, не замеченных Ньютоном. Были выявлены и классифицированы особые точки.

Клеро в 1729 году представил Парижской академии «Исследования о кривых двоякой кривизны». Эта книга по существу положила начало трем геометрическим дисциплинам։ аналитической геометрии в пространстве, дифференциальной геометрии и начертательной геометрии.

Общую и очень содержательную теорию кривых и поверхностей (преимущественно алгебраических) предложил Эйлер. В своём «Введении в анализ бесконечно малых» (1748) он дал классификацию кривых 4-го порядка и показал, как определить радиус кривизны. Там, где это удобно, он использовал косоугольные или полярные координаты. Отдельная глава посвящена неалгебраическим кривым.

Во второй половине XVIII века аналитическая геометрия, получив мощную поддержку зрелого анализа, завоевала новые вершины (Лагранж, Монж), однако рассматривается уже скорее как аппарат дифференциальной геометрии.

Разделы

Основные разделы аналитической геометрии

• Линейные операции над векторами
• Произведения векторов
• Системы координат
  • Прямоугольная система координат
  • Полярная система координат
• Прямая на плоскости
• Прямая и плоскость в пространстве
• Матрицы и операции над ними
• Определители
• Обратная матрица и ранг матрицы
• Системы линейных алгебраических уравнений
• Кривые второго порядка
  • Окружность
  • Коническое сечение
• Спираль
• Цилиндр
• Поверхности второго порядка
  • Сфера
  • Конус
• Шар

См. также

• Алгебраическая геометрия
• Дифференциальная геометрия
• Линейная алгебра
• Векторное исчисление

Литература

• Бортаковский А. С., Пантелеев А. В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах։ Учеб. пособие. — М.։ Высш. шк., 2005. — 496 с. (Серия «Прикладная математика»).
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 240 с.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.։ Наука.

• Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени. (1970)
• Том 2 Математика XVII столетия. (1970)
• Том 3 Математика XVIII столетия. (1972)

• Канатников А. Н.,Крищенко А. П. Аналитическая геометрия. — М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. — 388 с. — ISBN 5-7038-1671-8
• Мордухай-Болтовской Д. Д. Из прошлого аналитической геометрии // Труды института истории естествознании Акад. наук СССР, 1952, т. 4, с. 217-235.
• Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. — М., 1978.
• Делоне Б. Н., Райков Д. А. том 1, 2 // Аналитическая геометрия. — М., Л.: Гостехиздат, 1948, 1949.
• Веселов А.П., Троицкий Е.В. Лекции по аналитической геометрии. — СПб.: Лань, 2003. — 160 с.

*