Կոմպլեքս թիվ

Կոմպլեքս թիվը (կեղծ թիվը) իրական թվերի դաշտի ընդլայնումն է։ Ֆորմալ ձևով այն առաջացել է քառակուսի հավասարումներ լուծելու ժամանակ, որում հավասարման արմատի քառակուսին պետք է լինի բացասական թիվ։
Հետագայում գտել են, որ կոմպլեքս թվերի օգտագործումը հնարավորություն է տալիս հարմար և կոմպակտ ձևով ներկայացնել բազմաթիվ մաթեմատիկական մոդելներ, որոնք օգտագործվում են մաթեմատիկական ֆիզիկայում և այլ բնական գիտություններում /էլեկտրոտեխնիկա, հիդրոդինամիկա, քարտեզագրություն, քվանտային մեխանիկա, տատանումների տեսությունում, քաոսների տեսությունում և այլն.../։
Կոմպլեքս թվերի բազմությունը սովորաբար նշանակում են $\mathbb {C}$-ով /լատին․՝ Complex - կոմպլեքս բառից/։

Սահմանում

Կոմպլեքս թվերի դաշտը կարելի է հասկանալ որպես իրական թվերի դաշտի այնպիսի ընդլայնում, որում հավասարումը, որտեղ անհայտի քառակուսին բացասական է (օրինակ,$\ z^{2}\ =-1$ ), ունի լուծում։ Այլ ձևով կարելի է ասել, որ իրական թվերի դաշտը լրացվում է բացասական մեծությունների արմատներով, որոնք կոչվել են կեղծ թվեր։
Ցանկացած այսպիսի կեղծ թիվ կարելի է ներկայացնել երկու իրական թվերի և պարզ կեղծ արտադրիչի օգնությամբ՝ $\ x+iy$, որտեղ $\ x$-ը և $\ y$-ը իրական թվեր են, իսկ $\ i$-ն՝ կեղծ միավոր։ Հիմք ընդունելով սա, կեղծ թիվը այժմ հաճախ անվանում են կոմպլեքս։ Կոմպլեքս թվի այսպիսի ներկայացումը կոչվում է հանրահաշվական։ Գոյություն ունեն կոմպլեքս թվերի ներկայացման այլ ձևեր։
Հաջորդ երկու պարզ մոդելները ցույց են տալիս, որ թվերի նման չհակասող համակարգի ստեղծումը հնարավոր է։ Բերված երկու սահմանումները բերում են իրական թվերի դաշտի $\mathbb {R}$ ընդլայնման իզոմորֆությանը, ինչպես և $\ z^{2}+1$ բազմանդամի դաշտերի այլ կառուցվածքներ։ Կոմպլեքս թվերը ստեղծում են հանրահաշվորեն փակ դաշտ, ինչը նշանակում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով $\ n$ աստիճանի բազմանդամը ունի ճիշտ $\ n$ կոմպլեքս արմատներ (հանրահաշվի հիմնական թեորեմը)։ Սա հիմնական պատճառն է մաթեմատիկական հետազոտություններում կոմպլեքս թվերի լայն կիրառման համար։

Ստանդարտ մոդել

$\ z$ կարելի է արտահայտել որպես երկու իրական թվերի զույգ՝ $\ (x,y)$։ Ներմուծենք այդպիսի զույգերի գումարման և բազմապատկման գործողությունները հետևյալ ձևով՝

• $\ (x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y')$,
• $\ (x,\;y)\cdot (x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx')$։

Այս մոդելում իրական թվերը հանդիսանում են կոմպլեքս թվերի ենթաբազմություն և ներկայացվում են $\ (x;0)$ զույգի տեսքով, ընդ որում այդպիսի զույգերի հետ գործողությունները համընկնում են իրական թվերի գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ։ Զրոն ներկայացվում է $\ 0=(0;0)$ զույգով, իսկ մեկը՝ $\ 1=(1;0)$ զույգով, իսկ կեղծ միավորը՝ $\ i=(0;1)$ զույգով։ Կոմպլեքս թվերի բազմությունում զրոն և մեկը ունեն նույն հատկությունները, ինչպես իրական թվերի բազմությունում, իսկ կեղծ թվի քառակուսին, ինչպես կարելի է ճշտել, հավասար է $\ (-1;0)$, այսինքն՝ $\ -1$։
Դժվար չէ ցույց տալ, որ վերևում նշված գործողություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ որ նմանատիպ գործողություններն իրական թվերի հետ։ Բացառություն են կազմում միայն հատկությունները, որոնք կապված են կարգերի համեմատման հետ (մեծ-փոքր), որովհետև հնարավոր չէ ընդլայնել միայնակ թվերի կարգը, նրանում ընդգրկելով թվերի զույգերի կարգավորումը, որպեսզի կարգերի համեմատման գործողությունները նախկինի պես լինեն համաձայնեցված։

Մատրիցային մոդել

Կոմպլեքս թվերը կարելի է ներկայացնել նաև իրական մատրիցայի ընտանիքի տեսքով՝
${\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}$
պարզ մատրիցային գումարումով և արտադրյալով։
Իրական միավորին կհամապատասխանի՝
${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$,
կեղծ միավորին՝
${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$։
Նման մատրիցային ներկայացում գոյություն ունի ցանկացած վերջավոր ընդլայնման համար։

Գործողություններ կոմպլեքս թվերի հետ

• Համեմատում՝

$\ a+bi=c+di$ համեմատումը նշանակում է, որ $\ a=c$ և $\ b=d$ (երկու կոմպլեքս թվեր հավասար են մեկը մյուսին այն և միայն այն դեպքում, երբ հավասար են նրանց իրական և կեղծ մասերը)։

• Գումարում՝

$\ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$։

• Հանում՝

$\ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$։

• Բազմապատկում՝

$\ (a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i$։

• Բաժանում՝

$\ {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i$։

• Մասնավորապես,՝

$\ {\frac {1}{a+bi}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-\left({\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\right)i$։

Երկրաչափական մոդել

Նկ. 1 Կոմպլեքս թվի երկրաչափական մոդելը

Հարթության վրա դիտարկենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը։ Յուրաքանչյուր կոմպլեքս թվին $\ z=x+iy$ հարթության վրա համապատասխանեցնենք $\ (x,y)$ կոորդինատներով կետը (ինչպես նաև շառավիղ-վեկտորը, որը միացնում է կոորդինատների սկզբնակետը այդ կետի հետ)։ Այդպիսի հարթությունը կոչվում է կոմպլեքս (կամ Արգանի հարթություն)։ Նրանում իրական թվերը զբաղեցնում են հորիզոնական հարթությունը, իսկ կեղծ միավորը պատկերվում է ուղղահայաց առանցքի միավորին՝ այդ պատճառով հորիզոնական և ուղղահայաց առանցքները կոչվում են համապատասխանաբար իրական և կեղծ առանցքներ։
Հաճախ հարմար է դիտարկել նաև կոմպլեքս հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը, որում կետի կոորդինատները հանդիսանում են կոորդինատի սկզբնակետից հեռավորությունը (մոդուլը) և կետի շառավիղ-վեկտորի անկյունը (նկարում ցույց է տրված կապույտ սլաքով) հորիզոնական առանցքի նկատմամբ (արգումենտ)։
Այս ներկայացման ձևում կոմպլեքս թվերի գումարը համապատասխանում է շառավիղ-վեկտորների վեկտորային գումարին։ Կոմպլեքս թվերի արտադրյալի ժամանակ նրանց մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում։ Եթե երկրորդ արտադրիչի մոդուլը հավասար է 1-ի, նրան բազմապատկելը երկրաչափորեն նշանակում է առաջին թվի շառավիղ-վեկտորի պտույտը անկյունով, որն հավասար է երկրորդ թվի արգումենտին։ Այս փաստը ցույց է տալիս տատանումների տեսությունում կոմպլեքս ներկայացման լայն ներկայացումը, որտեղ <մոդուլ> և <արգումենտ> տերմինների փոխարեն օգտագործվում է <ամպլիտուդա> և <փուլ> տերմինները։
Հարթության վրա կոմպլեքս թվերը որպես կետեր ներկայացնելը, իսկ կոմպլեքս թվի վրա բազմապատկելը որպես այդ հարթության գծային ձևափոխություն հնարավոր է այն պատճառով, որ կոմպլեքս թիվը հանդիսանում է երկչափ հանրահաշիվ իրական թվերի դաշտի վրա։
Կոմպլեքս թվի երկրաչափական մոդելը լայնորեն օգտագործվում է հարթաչափությունում, բազմաթիվ հարթաչափական թեորեմաներ կարելի է ապացուցել որպես որոշակի կոմպլեքսային նույնություններ։ Հաճախ այս մեթոդը տալիս է ավելի պարզ ապացույց։