Մակերես

Մակերես, մեծություն, որն արտահայտում է երկչափ մակերևույթի կամ հարթության կոնտուրի չափը։ Մակերեսը կարելի է պատկերացնել որպես տված հաստությամբ մատերիալի քանակություն, որն անհրաժեշտ է ծածկելու կոնտուրով շրջափակված մակերևույթը կամ ներկի քանակությունը, որ անհրաժեշտ է այդ մակերևույթը մի շերտով ծածկելու համար։

Մակերեսը միավոր քառակուսիների այն քանակությունն է, որով ամբողջովին ծածկվում է տվյալ պատկերը։ Եթե, օրինակ, ասում են, որ պատկերի մակերեսը 16.3 սմ² է, ապա դա նշանակում է, որ տվյալ պատկերն ամբողջովին ծածկելու համար անհրաժեշտ է 16.3 հատ 1×1 սմ չափսերով քառակուսիներ։ Պատկերի՝ միավոր քառակուսիների վերածումը կոչվում է՝ քառակուսացում։

Երկրաչափական պարզ պատկերները՝ եռանկյունիները, շրջանը և այլն, ունեն մակերեսը չափելու բանաձևեր։

Երկրաչափական պատկերների մակերեսի հաշվարկման ընդհանուր մեթոդն ապահովում է ինտեգրալային հաշվարկը։ Մակերեսի հիմնական գաղափարի ընդհանրացումը դարձավ բազմության չափանիշների տեսությունը, որը կիրառելի է երկրաչափական օբյեկտների ավելի լայն դասի համար։

Գործնականում մակերեսի մոտավոր հաշվարկման համար օգտագործում են հատուկ հաշվարկման սարք՝ պլանաչափ։

Մակերես հասկացողության սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մակերեսը ֆունկցիա է, որն ունի հետևյալ հատկությունները.

Դրական, այսինքն մակերեսը միշտ դրական է;
Հավելում, այսինքն պատկերի մակերեսը հավասար է երկրաչափական տվյալ պատկերը կազմող այլ պատկերների մակերեսների գումարին՝ առանց ընդհանուր ներքին կետերի;
Անփոփոխություն, այսինքն համանման պատկերների մակերեսներն իրար հավասար են;
Նորմալացում, այսինքն միավոր քառակուսու մակերեսը հավասար է մեկի։

Չափի միավորներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկարության յուրաքանչյուր միավորին համապատասխանում է մակերեսի այն միավորը, որը տվյալ երկարության վրա կառուցված քառակուսու մակերեսն է։

Միավորների միջազգային համակարգում մակերեսի միավորն է քառակուսի մետրը, որն այդ համակարգի հիմնական միավորներից մեկն է։ Ընդ որում՝

1մ²=100սմ²=1000000մմ²=10^-6կմ²:

Քառակուսի մետրի գրառման ձևերն են՝ քառ.մ. մ.(մակերես), ք.մ. մ.(մակերես), մ²։

Այլ միավորներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

1ար=100 քառակուսի մետր

Չնայած նրան, որ արը դուրս է եկել գործածությունից, հեկտարը հողի մակերեսի չափման լայնորեն գործածվող միավոր է՝

1հեկտար(հա)=100ար=10 000 քառակուսի մետր=0.01 քառակուսի կիլոմետր (կմ²)

Հողի չափման մյուս տարածված միավորն է ակրը՝

1ակր=4 840 քառակուսի յարդ=43 560 քառակուսի ոտնաչափ=4046.86 քառակուսի մետր։

Ակրը կազմում է հեկտարի մոտավորապես 40%-ը։

Երկրաչափական պատկերների մակերեսների բանաձևեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պատկերը	Բանաձևը	Փոփոխականները
Կանոնավոր (հավասարակողմ) եռանկյուն	${\frac {1}{4}}{\sqrt {3}}s^{2}\,\!$	$s$ -ը եռանկյունու կողմի երկարությունն է։
Եռանկյունի	${\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\,\!$	$s$ -ը կիսապարագիծն է, $a$ -ն, $b$ -ն և $c$ -ն կողմերի երկարություններն են։
	${\tfrac {1}{2}}ab\sin(C)\,\!$	$a$ -ն և $b$ -ն երկու որևէ կողմերն են, $C$ -ն՝ նրանց կազմած անկյունը։
	${\tfrac {1}{2}}bh\,\!$	$b$ -ն և $h$ -ը եռանկյունու հիմքն ու բարձրությունն են։
Շեղանկյունի	${\tfrac {1}{2}}ab$	$a$ -ն և $b$ -ն անկյունագծերն են։
Զուգահեռագիծ	$bh\,\!$	$b$ -ն հիմքի երկարությունն է, $h$ -ը՝ բարձրությունը։
Սեղան	${\tfrac {1}{2}}(a+b)h\,\!$	$a$ -ն և $b$ -ն զուգահեռ կողմերն են (հիմքերը) $h$ -ը՝ նրանց միջև եղած հեռավորությունը։
Շրջան	$\pi r^{2}\ {\text{կամ}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}\,\!$	$r$ -ը շառավիղն է, $d$ -ն՝ տրամագիծը։
Շրջանի սեկտոր	${\frac {\theta }{2}}r^{2}\ {\text{կամ}}\ {\frac {L\cdot r}{2}}\,\!$	$r$ -ը $\theta$ -ն շառավիղն ու անկյունը ռադիաններով, $L$ -ը պարագիծն է։
Էլիպս	$\pi ab\,\!$	$a$ -ն և $b$ -ն կիսաառանցքներն են։

Մակերեսների բանաձևեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Շրջան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

\mathrm {S} =\pi r^{2}.\,

\mathrm {S} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\,

որտեղ r-ը շրջանի շառավիղն է իսկ d-ն տրամագիծը

Քառակուսի[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$\mathrm {S} =a^{2}.\,$

Եռանկյուն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$\mathrm {S} ={\frac {1}{2}}bh$ # $S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}bh_{b}$ , քանի որ $\ h_{b}=a\sin \gamma$ , ուստի
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}r(a+b+c)=pr$
$S_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R}}$
$S_{\triangle ABC}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}$ - Հերոնի բանաձև
$S_{\triangle ABC}={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}$
$S_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$
$S_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&y_{A}&1\\x_{B}&y_{B}&1\\x_{C}&y_{C}&1\end{vmatrix}}={\frac {\left|x_{A}(y_{B}-y_{C})+x_{B}(y_{C}-y_{A})+x_{C}(y_{A}-y_{B})\right|}{2}}=$
$={\frac {\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})\right|}{2}}$
$S_{\triangle ABC}={\frac {ab}{2}}=r^{2}+2rR$ - ուղղանկյուն եռանկյան համար
$S_{\triangle ABC}={\frac {c^{2}}{2(ctg\alpha +ctg\beta )}}$ - եթե հայտնի է եռանկյան մեկ կողմը և նրան կից անկյունները

Որտեղ

$\ h_{b}$ - $\ b$ կողմիին տարված բարձրությունն է,
$p={\frac {a+b+c}{2}}$ - պարագծի կեսն է,
$\ r$ - ներգծած շրջանի շառավիղն է,
$\ R$ - արտագծած շրջանի շառավիղն է,
$\ (x_{A},y_{A});(x_{B},y_{B});(x_{C},y_{C})$ - եռանկյան գագաթների կոորդինատներն են։