e (թիվ)

1 ≤ x ≤ e միջակայքում y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկի ներքևի մասի տարածքի մակերեսը հավասար է 1-ի

$e$–ն այնպիսի $a$ թիվ է, որ $f(x)=a^{x}$ ցուցչային ֆունկցիայի (կապույտ կոր) ածանցյալի արժեքը (շոշափողի անկյան տանգենսը) $x=0$ կետում հավասար է 1-ի (կարմիր ուղիղ): Համեմատության համար ցույց են տրված $2^{x}$ (կետերով կոր) և $4^{x}$ (գծիկներով կոր) ֆունկցիաները, որոնց շոշափողների տանգենսները տարբեր են 1-ից

${\sqrt[{x}]{x}}$ ֆունկցիան մեծագույն արժեքն ընդունում է $x=e$ կետում

$e$ թիվ – բնական լոգարիթմի հիմքը, մաթեմատիկական հաստատուն, իռացիոնալ և տրանսցենդենտ թիվ։ Երբեմն $e$-ն անվանում են Էյլերի թիվ կամ Նեպերի թիվ։ Նշանակվում է լատինական «$e$» փոքրատառով։

$e$ թիվը կարևոր դեր է կատարում դիֆերենցիալ և ինտեգրալ հաշիվներում, ինչպես նաև մաթեմատիկայի այլ բաժիններում։

Քանի որ $e^{x}$ ցուցչային ֆունկցիայի ինտեգրալը և դիֆերենցիալը հավասար են հենց իրեն, այդ իսկ պատճառով $e$ հիմքով լոգարիթմները ընդունվում են որպես բնական։

Տնտեսական առումով $e$ թիվը նշանակում է առավելագույն հնարավոր տարեկան եկամուտ 100% տարեկան աճի դեպքում և տոկոսի կապիտալիզացիայի առավելագույն հաճախություն։

Որոշման եղանակները

$e$ թիվը կարող է որոշվել մի քանի եղանակներով։

• Սահմանի միջոցով՝

$e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$ (երկրորդ նշանավոր սահմանը)։

• Որպես շարքի գումար՝

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$ կամ ${\frac {1}{e}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}$

$e=2+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)!}}$ :

• Որպես միակ $a$ թիվ, որի համար տեղի ունի՝

$\int \limits _{1}^{a}{\frac {dt}{t}}=1$ :

• Որպես միակ դրական $a$ թիվ, որի համար ճիշտ է՝

${\frac {d}{dt}}a^{t}=a^{t}$ :

e թվի արժեքը

$e$ = 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

Ստորակետից հետո $e$ թվի առաջին 1000 նիշերը։

Հատկություններ

• ${\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}$ ։

Այս հատկությունը մեծ դեր է կատարում դիֆերենցիալ հավասարումների լուծման համար։ Օրինակ, ${\frac {df(x)}{dx}}=f(x)$ դիֆերենցիալ հավասարման միակ լուծումը հանդիսանում է $\!f(x)=ce^{x}$ ֆունկցիան, որտեղ $c$-ն կամայական հաստատուն է։

• $e$ թիվը իռացիոնալ է և նույնիսկ տրանսցենդենտ։ Իր տրանսցենդենտությունը ապացուցվել է 1873 թվականին Շառլ Հերմիտի կողմից։ Ենթադրվում է, որ $e$-ն նորմալ թիվ է, այսինքն՝ նրա գրառման մեջ տարբեր թվերի հանդիպելու հավանականությունը նույնն է։

Իռացիոնալության ապացուցում  

Ենթադրենք, որ $\!e$ ռացիոնալ է։ Այդ դեպքում այն կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝ $e={\frac {p}{q}}$, որտեղ $\!p$ -ն ամբողջ թիվ է, իսկ $\!q$ -ն՝ բնական։ Հետևաբար, $\!p=eq$ :

Բազմապատկելով հավասարման երկու մասերը $\!(q-1)!$ -ով, կստանանք՝

$p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}+\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}$

Հավասարման աջ մասից $\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}$ -ը տեղափոխենք ձախ մաս՝

$\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=p(q-1)!-\sum _{n=0}^{q}{q! \over n!}$

Աջ մասի բոլոր գումարելիները ամբողջ են, հետևաբար և ձախ մասի գումարը ամբողջ է։ Միաժամանակ այդ գումարը նաև դրական է, հետևաբար այն փոքր չէ 1-ից։

Մյուս կողմից՝

$\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}=\sum _{m=1}^{\infty }{q! \over (q+m)!}=\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)...(q+m)}<\sum _{m=1}^{\infty }{1 \over (q+1)^{m}}$

Աջ մասում գումարելով երկրաչափական պրոգրեսիայի անդամները կստանանք՝

$\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<{1 \over q}$

Քանի որ $q\geq 1$,

$\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \over n!}<1$

Ստացանք հակասություն։

• $e$ թիվը հանդիսանում է հաշվելի (և հետևաբար նաև թվաբանական) թիվ։
• $\!e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$, տես նաև Էյլերի բանաձևը, մասնավորապես՝
  • $e^{i\pi }+1=0\,\!$
  • $e=\cos(i)-i\sin(i)=\sinh(1)+\cosh(1)$

Բանաձևեր, որոնք կապ են հաստատում $e$ և $\pi$ թվերի միջև՝

• այսպես կոչված «Պուասոնի ինտեգրալ» կամ «Գաուսի ինտեգրալ»

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}$

• սահման

$e=\lim \limits _{n\to \infty }n\cdot {\bigg (}{\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}{\bigg )}^{\frac {1}{n}}$

Ցանկացած $z$ կոմպլեքս թվի համար ճիշտ են հետևյալ հավասարումները՝

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}$ :

$e$ թիվը կարելի է գրել անվերջ շղթայական կոտորակի տեսքով հետևյալ ձևով՝

• ։ $e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]\,$, այսինքն՝

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

• կամ նրան համարժեքը՝

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots }}}}}}}}}}$

• Արագ մեծ թվով նշանների հաշվման համար հարմար է օգտագործել հետևյալ տեսքը՝

${\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ldots }}}}}}}}$

• ։ $e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}$ ։
• Կատալանայի ներկայացումը՝

$e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}}\cdots$

• Արտադրյալի տեսքով ներկայացում՝

$e={\sqrt {3}}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}\left(2k-1\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(2k+1\right)^{2k}}}$

• Բելլի թվի միջոցով՝

$e={\frac {1}{B_{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}$

• $e$ թվի իռացիոնալության չափը հավասար է 2-ի (այն է իռացիոնալ թվերի համար ամենափոքր հնարավոր արժեքը)։

Պատմություն

Այս թիվը երբեմն անվանում են նեպերյան ի պատիվ շոտլանդացի գիտնական Նեպերի, ով հայտնի է «Լոգարիթմների զարմանալի աղյուսակի նկարագրություն» աշխատությունով (1614 թ.)։ Սակայն այս անվանումն այնքան էլ տեղին չէ, քանի որ նրանում $x$ թվի լոգարիթմը հավասար էր $10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)\,\!$ ։

Առաջին անգամ հաստատունը ոչ ակնհայտ երևում է Նեպերի վերոնշյալ աշխատության հավելվածի անգլերեն թարգմանությունում, որը հրապարակվել է 1618 թվականին։ Ոչ ակնհայտ, որովհետև այնտեղ պարունակվում էին միայն բնական լոգարիթմների աղյուսակները, որոշված կինեմատիկ նկատառումներից, իսկ ինքը՝ հաստատունը, չի ներկայացել։

Ենթադրվում է, որ աղյուսակի հեղինակը եղել է անգլիացի մաթեմատիկոս Օտրեդը։

Հենց նույն հաստատունը առաջին անգամ հաշվել է շվեյցարացի մաթեմատիկոս Բեռնուլին սահմանային եկամուտի մեծության որոշման խնդրի լուծման ժամանակ։ Նա հայտնաբերել է, որ եթե սկզբնական գումարը 1 դոլար է և հաշվարկվում է 100% տարեկան մեկ անգամ տարվա վերջում, ապա գումարային արդյունքը կկազմի 2 դոլար։ Սակայն եթե այդ նույն տոկոսները հաշվարկենք տարվա մեջ երկու անգամ, ապա 1 դոլարը կբազմապատկվի 1.5-ով կրկնակի անգամ, արդյունքում ստանալով 1.00x1.5²=2.25 դոլար։ Տոկոսների հաշվարկը քառորդ տարին մեկ անգամ կբերի 1.00x1.25⁴=2.44140625 դոլար արդյունքի և այդպես շարունակ։ Բերնուլին ցույց տվեց, որ եթե տոկոսի հաշվարկի հաճախականությունը անվերջ մեծացնենք, ապա տոկոսային եկամուտը բարդ տոկոսի դեպքում ունի այսպիսի սահման՝ $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ և այդ սահմանը հավասար է 2,71828...

1.00×(1+1/12)¹² = 2.613035… դոլար

1.00×(1+1/365)³⁶⁵ = 2.714568… դոլար

Այսպիսով, $e$ հաստատունը նշանակում է առավելագույն մեծ տարեկան եկամուտ 100% տարեկանի դեպքում և տոկոսների կապիտալիզացիայի առավելագույն մաս։

Այս հաստատունի առաջին հայտնի օգտագործումը, որտեղ այն նշանակված էր $b$ տառով, հանդիպել է 1690-1691 թվականներին Լեյբնիցի և Հյույգենսի նամակներում։

$e$ տառը սկսեց օգտագործել էյլերը 1727 թվականին, իսկ այդ տառով առաջին հրապարակումը եղել է նրա «Մեխանիկա կամ գիտություն շարժման մասին՝ մեկնաբանված անալիտիկորեն» աշխատությունում 1736 թվականին։ Համապատասխանաբար, $e$–ն սովորաբար անվանում են Էյլերի թիվ։ Չնայած հետագայում որոշ գիտնականներ սկսեցին օգտագործել $c$ տառը, այնուամենայնիվ $e$ տառը օգտագործվում էր ավելի հաճախ և մեր օրերում էլ հանդիսանում է ստանդարտ նշանակում։

Ինչու հենց $e$ տառն ընտրվեց՝ անհայտ է։ Հնարավոր է, որ այն կապված է նրա հետ, որ նրանով սկսվում է $exponential$ («ցուցչային», «էքսպոնենտային») բառը։ Մեկ այլ ենթադրությամբ $a,b,c$ և $d$ տառերը այլ նպատակներով ավելի հաճախ են օգտագործվել, և $e$-ն առաջին «ազատ» տառն էր հանդիսանում։ Հատկանշական է նաև, որ $e$-ն հանդիսանում է Էյլերի ($Euler$) ազգանվան առաջին տառը։

Մոտարկումներ

• Թիվը կարելի է հիշել որպես 2,7 և կրկնվող 18, 28, 18, 28 թվեր։
• Հիշվող կանոն՝ 2 և 7, հետո երկու անգամ Լև Տոլստոյի ծննդյան տարեթիվը (1828), այնուհետև հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյան անկյունները (45, 90 և 45 աստիճաններ)։
• $e$ թվի կանոնը կապվում է ԱՄՆ նախագահ Էնդրյու Ջեքսոնի հետ. 2 անգամ ընտրվել է, եղել է ԱՄՆ-ի 7-րդ նախագահը, 1828 թվականը նրա ընտրվելու թվականն է, կրկնվում է երկու անգամ, քանի որ Է.Ջեքսոնը ընտրվել է երկու անգամ։ Այնուհետև հավասարակողմ ուղղանկյուն եռանկյուն։
• Ստորակետից հետո երեք նշանի ճշտությամբ «սատանայի թվի» օգնությամբ. անհրաժեշտ է 666-ը բաժանել թվի վրա, որը կազմված է 6-4, 6-2, 6-1 թվերից (երեք վեցեր, որոնցից հակառակ կարգով հեռացվում է երկուսի առաջին երեք աստիճանները)՝ ${666 \over 245}\approx 2,718$ ։
• թիվը հիշվում է որպես ${\frac {666}{10\cdot {\sqrt {666}}-13}}$ (0,001-ի ճշտությամբ)։
• $e$ թվի կոպիտ մոտարկումը (0,001-ի ճշտությամբ) հավասար է $\pi \cdot \cos {\pi \over 6}$ ։ Առավել կոպիտ մոտարկմամբ (0,01-ի ճշտությամբ) այն արտահայտվում է $5\cdot \pi -13$ արտահայտությամբ։
• «Բոյինգի կանոնը». $e\approx 4\cdot \sin 0,747$ տալիս է 0,0005-ի ճշտություն։
• $10^{-7}$ -ի ճշտությամբ՝ $\,\,\,\,e\,\approx \,3-{\sqrt {\frac {5}{63}}}\,\,\,$ ,

$10^{-9}$ -ի ճշտությամբ՝ $e\approx 2,7+{\frac {1828}{99990}}$ ,

$4,6\,\cdot \,10^{-10}$ -ի ճշտությամբ՝ $\,\,\,\,e\,\approx \,3-{\frac {93}{94}}{\sqrt {\frac {3}{37}}}$ :

• $1/e\approx (1-{\frac {1}{10^{6}}})^{10^{6}}$ , 0,000001 ճշտությամբ։
• 19/7 հարաբերությունը $e$ թիվը գերազանցում է 0,004-ից փոքր։
• 87/32 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,0005-ից փոքր։
• 193/71 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,00003-ից փոքր։
• 1264/465 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,000003-ից փոքր։
• 2721/1001 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,000002-ից փոքր։
• 23225/8544 թիվը գերազանցում է $e$ թիվը 0,00000001-ից փոքր։

Բաց պրոբլեմներ

• Հայտնի չէ, հանդիսանում է արդյոք $e$ թիվը պարբերությունների օղակի տարր։
• Հայտնի չէ, հանդիսանում են արդյոք $\pi$ և $e$ թվերը հանրահաշվորեն անկախ։
• Անհայտ է հետևյալ թվերից յուրաքանչյուրի իռացիոնալության չափը՝ $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},e^{\pi ^{2}},e^{e},2^{e}$ ։ Նույնիսկ նրանցից յուրաքանչյուրի համար հայտնի չէ, հանդիսանում են ռացիոնալ թիվ, հանրահաշվորեն իռացիոնալ կամ տրանսցենդենտ թիվ։
• Հայտնի չէ, ամբողջ թիվ է արդյոք Սկյուզի առաջին թիվը՝ $e^{e^{e^{79}}}$ ։

Հետաքրքիր փաստեր

• 2004 թվականին Google ընկերության IPO-ում հայտարարվեց ընկերության մտադրությունը 2 718 281 828 դոլարով իր եկամուտները ավելացնելու մասին։ Հայտարարված թիվն իրենից ներկայացնում էր հայտնի մաթեմատիկական հաստատունի առաջին 10 թվանշանները։
• Տեսականորեն համարվում է, որ առավել արտադրողական համակարգիչները պետք է ունենան $e$ թվին հավասար կարգայնություն։ Երեքական ԷՀՄ-ները մոտ են այդ արժեքին, սակայն տեխնիկական բարդությունների պատճառով դրանք տարածում չգտան։ Դրանց փոխարեն տարածում գտան երկուական(Բուլյան) հանրահաշվի վրա հիմնված համակարգիչները։
• Ծրագրավորման լեզուներում $e$ սիմվոլը թվերի ցուցչային գրառումներում համապատասխանում է 10 թվին, այլ ոչ Էյլերի թվին։ Այն կապված է FORTRAN լեզվի ստեղծման և օգտագործման պատմության հետ, որում կատարվում են մաթեմատիկական հաշվարկներ։

Արտաքին հղումներ

• $e$ թվի պատմությունը Արխիվացված 2004-09-14 Wayback Machine(անգլ.)
• e for 2.71828… Արխիվացված 2004-12-09 Wayback Machine(անգլ.) (պատմություն և Ջեկսոնի կանոնը)

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 8, էջ 236)։