Ֆեյգենբաումի հաստատուններ

Ենթադաս	իրական թվեր, մաթեմատիկական հաստատուն
Կոչվել է ի պատիվ	Mitchell Feigenbaum
Հետազոտվում է	dynamical systems theory
Հայտնաբերման ամսաթիվ	1978

Ֆեյգենբաումի հաստատուններ (անգլ.՝ Feigenbaum constants), մաթեմատիկայում, մասնավորապես՝ բիֆուրկացիայի տեսությունում^[1], δ և α երկու մաթեմատիկական հաստատուններ են, որոնք արտահայտում են հարաբերություններ ոչ գծային քարտեզների բիֆուրկացիայի դիագրամում։ Դրանք իրենց անվանումը ստացել են ֆիզիկոս Միտչել Ֆեյգենբաումի անունով։

Պատմություն

Ֆեյգենբաումը սկզբում կապեց առաջին հաստատունը լոգիստիկ քարտեզում եղած ժամանակահատվածի կրկնապատկման բիֆուրկացիայի հետ, սակայն նաև ցույց տվեց, որ այն գործում է բոլոր միաչափ տարածության քարտեզների համար, որոնք ունեն մեկ ֆունկցիայի էքստրեմում։ Այս ընդհանրության շնորհիվ՝ յուրաքանչյուր քաոսային համակարգ, որը համապատասխանում է այս նկարագրությանը, բիֆուրկացիայի ենթարկվում է նույն արագությամբ։ Ֆեյգենբաումը հայտնագործեց սա 1975 թվականին^[2]^[3], իսկ պաշտոնապես հրապարակեց 1978 թվականին^[4]։

Առաջին հաստատուն

Ֆեյգենբաումի առաջին հաստատունը կամ պարզապես Ֆեյգենբաումի հաստատունը (𝛿)^[5], արտահայտում է միաչափ տարածության քարտեզի ժամանակահատվածի կրկնապատկումների միջև բիֆուրկացիայի միջակայքերի հաջորդական հարաբերության սահմանային արժեքը։ Այն սահմանվում է մեկ պարամետրով քարտեզի համար՝

$x_{i+1}=f(x_{i}),$

որտեղ $f (x)$ -ը ֆունկցիա է բիֆուրկացիայի $a$ պարամետրով պարամետրացված։

Հաստատունը տրվում է հետևյալ հաջորդականության սահմանով^[6]՝

$\delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}$

որտեղ $a n$ -ը $a$ պարամետրերի արժեքների այն հաջորդականությունն է, որոնցում տեղի են ունենում $n$ -րդ ժամանակահատվածի կրկնապատկման կետերը։

Այս հաստատունի թվային արժեքը՝ ըստ ամբողջ թվերի հաջորդականությունների առցանց հանրագիտարանի (OEIS) A006890 հաջորդականության, հետևյալն է՝

$\delta =4.669\,201\,609\,102\,990\,671\,853\,203\,820\,466\ldots$

Պարզ ռացիոնալ թվի մոտեցումն է՝ 621133, որը ճշգրիտ է մինչև 5 նշանակալի թվանշան (երբ կլորացվում է)։ Ավելի ճշգրիտ մոտեցում է՝ 1228263, որը ճշգրիտ է մինչև 7 նշանակալի թվանշան։

Այն մոտավորապես հավասար է $10 π - 1$ , ընդամենը 0,0047% սխալով։

Տեսողական ներկայացում

Ոչ գծային քարտեզի օրինակ

Այս հաստատունի առաջացումը քարտեզացնելու համար դիտարկենք իրական թվի մեկ պարամետրով քարտեզ՝

$f(x)=a-x^{2}.$

որտեղ՝ $a$ -ն բիֆուրկացիայի պարամետրն է, $x$ -ը փոփոխականն է։ Այստեղ $a$ -ն այն արժեքն է, որի տարբեր արժեքների դեպքում համակարգը անցնում է ժամանակահատվածի կրկնապատկումների միջով։ Օրինակ՝ այն առավելագույն $a$ -ն, որի դեպքում ժամանակահատված-2 չի առաջանում, կամ այն առավելագույն $a$ -ն, որի դեպքում ժամանակահատված-4 դեռ չկա, այս արժեքները հաջորդաբար անվանվում են՝ $a 1$ , $a 2$ և այլն։ Այսպիսով, յուրաքանչյուր կրկնապատկման միջև $a$ պարամետրերի տարբերությունների հարաբերակցությունը մոտենում է հաստատուն մեծության՝ Ֆեյգենբաումի հաստատունին։ Դրանք ներկայացված են ստորև բերված աղյուսակում^[7]՝

$n$	Ժամանակահատված	Բիֆուրկացիայի պարամետր ( $a n$ )	Հարաբերակցություն $a n -1 - a n -2 a n - a n -1$
1	2	0.75	—
2	4	1.25	—
3	8	7000136809889999999♠1.3680989	4.2337
4	16	7000139404620000000♠1.3940462	4.5515
5	32	7000139963120000000♠1.3996312	4.6458
6	64	7000140082860000000♠1.4008286	4.6639
7	128	7000140108530000000♠1.4010853	4.6682
8	256	7000140114020000000♠1.4011402	4.6689

Վերջին սյան հարաբերությունը մոտենում է առաջին Ֆեյգենբաումի հաստատունին։ Նույն թիվը ստացվում է նաև լոգիստիկ քարտեզի համար

f(x)=ax(1-x)

իրական  $a$  պարամետրով և  $x$  փոփոխականով։ Բիֆուրկացիայի արժեքները կրկին աղյուսակում կներկայացվեն հետևյալ կերպ^[8]՝

$n$	Ժամանակահատված	Բիֆուրկացիայի պարամետր ( $a n$ )	Հարաբերակցություն $a n -1 - a n -2 a n - a n -1$
1	2	3	—
2	4	7000344948970000000♠3.4494897	—
3	8	7000354409030000000♠3.5440903	4.7514
4	16	7000356440730000000♠3.5644073	4.6562
5	32	7000356875940000000♠3.5687594	4.6683
6	64	7000356969160000000♠3.5696916	4.6686
7	128	7000356989130000000♠3.5698913	4.6680
8	256	7000356993400000000♠3.5699340	4.6768

Ֆրակտալներ

Ինքնանմանությունը Մանդելբրոտի հավաքածուն ցուցադրվում է, երբ մեծացնելիս կենտրոնանում են շրջանաձև դետալի վրա և միաժամանակ շարժվում բացասական x ուղղությամբ։ Ցուցադրման կենտրոնը շարժվում է (−1, 0)-ից (−1.31, 0) դիրք՝ իսկ դիտման մասշտաբը մեծանում է 0.5 × 0.5-ից մինչև 0.12 × 0.12, ինչը մոտեցնում է Ֆեյգենբաումի հարաբերակցությունը։

Մանդելբրոտի բազմության դեպքում բարդ քառակուսային բազմանդամի համար

f(z)=z^{2}+c

Ֆեյգենբաումի հաստատունը կոմպլեքս հարթության թվային առանցքի վրա հաջորդական շրջանակների տրամագծերի միջև սահմանային հարաբերությունն է (տես աջ կողմում գտնվող անիմացիան):

$n$	Ժամանակահատված = $2 n$	Բիֆուրկացիայի պարամետր ( $c n$ )	Հարաբերակցություն $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$
1	2	3000250000000000000♠−0.75	—
2	4	2999875000000000000♠−1.25	—
3	8	2999863190110000000♠−1.3680989	4.2337
4	16	2999860595380000000♠−1.3940462	4.5515
5	32	2999860036880000000♠−1.3996312	4.6459
6	64	2999859917130000000♠−1.4008287	4.6639
7	128	2999859891470000000♠−1.4010853	4.6668
8	256	2999859885980000000♠−1.4011402	4.6740
9	512	2999859884801797100♠−1.401151982029	4.6596
10	1024	2999859884549776300♠−1.401154502237	4.6750
...	...	...	...
$\infty$		2999859884481099999♠−1.4011551890...

Բիֆուրկացիայի պարամետրը հանդիսանում է $2 n$ ժամանակաշրջանի բաղադրիչի արմատային կետը։ Այս շարքը միանում է Ֆեյգենբաումի $c$ = −1.401155 կետին։ Վերջին սյունակում հարաբերակցությունը համընկնում է Ֆեյգենբաումի առաջին հաստատունի հետ: Մյուս քարտեզները նույնպես վերարտադրում են այս հարաբերակցությունը հետևյալ իմաստով՝ բիֆուրկացիայի տեսության մեջ Ֆեյգենբաումի հաստատունը երկրաչափության մեջ նման է $\pi$ -ին և մաթեմատիկական վերլուծության մեջ [[E (թիվ)| $e$ ]]e-ին:

Երկրորդ հաստատուն

Երկրորդ Ֆեյգենբաումի հաստատունը կամ Ֆեյգենբաումի նվազման պարամետր^[5] $α$ -ն տրվում է OEIS-ում A006891 հաջորդականությամբ՝

$\alpha =2.502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218\ldots$

Այն հարաբերակցությունն է ճյուղի լայնության և դրա երկու ենթաճյուղերից մեկի լայնության միջև (բացառությամբ ծալքին ամենամոտ ենթաճյուղը): Երբ չափվում է ստորին ենթաճյուղի և ամբողջ ճյուղի լայնության միջև եղած հարաբերակցությունը, $α$ -ին տրվում է բացասական նշան^[9]։

Այս թվերը կիրառելի են դինամիկ համակարգերի լայն դասի համար (օրինակ՝ կաթող ծորակներից մինչև բնակչության աճ)^[9]:

Պարզ հարաբերակցային մոտարկումը հետևյալն է՝ 1311 × 1711 × 3727 = 81773267։

Հատկություններ

Ենթադրվում է, որ երկու թվերն էլ տրանսցենդենտ են, չնայած դա ապացուցված չէ: Իրականում, հայտնի ապացույց չկա^[10], որ այս հաստատուններից որևէ մեկը գոնե իռացիոնալ է:

Ֆեյգենբաումի հաստատունների համընդհանուրության առաջին ապացույցն իրականացրել է Օսկար Լենֆորդը՝ համակարգչի միջոցով 1982 թվականին^[11] (Ժնևի համալսարանի Ժան-Պիեռ Էկմանի ու Պիտեր Վիթվերի կողմից 1987 թվականին կատարված փոքր ուղղմամբ^[12])։ Տարիների ընթացքում ապացույցների տարբեր մասերի համար հայտնաբերվել են ոչ թվային մեթոդներ, որոնք օգնել են Միխայիլ Լյուբիչին ստեղծել առաջին ամբողջական ոչ թվային ապացույցը^[13]:

Այլ արժեքներ

Լոգիստիկ քարտեզում ժամանակահատված-3 պատուհանը նույնպես անցնում է ժամանակահատվածի կրկնապատկման ուղով դեպի քաոս՝ հասնելով քաոսի մոտ $r=3.854077963591\dots$ արժեքի դեպքում։ Այս հատվածն ունի իր սեփական երկու Ֆեյգենբաումի հաստատունները՝ $\delta =55.26,\alpha =9.277$ ^[14]^[15]։

Ծանոթագրություններ

↑ The Feigenbaum Constant (4.669) – Numberphile (անգլերեն), 2017 թ․ հունվարի 16, Վերցված է 2023 թ․ փետրվարի 7-ին
↑ Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (1996). Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Springer. ISBN 0-387-94677-2.
↑ Feigenbaum, M. J. (1976). «Universality in complex discrete dynamics» (PDF). Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975–1976.
↑ Feigenbaum, Mitchell J. (1978). «Quantitative universality for a class of nonlinear transformations». Journal of Statistical Physics. 19 (1): 25–52. Bibcode:1978JSP....19...25F. doi:10.1007/BF01020332. S2CID 124498882.
1 2 Weisstein, Eric W. «Feigenbaum Constant». mathworld.wolfram.com (անգլերեն). Վերցված է 2024 թ․ հոկտեմբերի 6-ին.
↑ Jordan, D. W.; Smith, P. (2007). Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers (4th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920825-8.
↑ Alligood, p. 503.
↑ Alligood, p. 504.
1 2 Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Studies in Nonlinearity. Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0453-6.
↑ Briggs, Keith (1997). Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems (PDF) (PhD thesis). University of Melbourne.
↑ Lanford III, Oscar (1982). «A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures». Bull. Amer. Math. Soc. 6 (3): 427–434. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15008-X.
↑ Eckmann, J. P.; Wittwer, P. (1987). «A complete proof of the Feigenbaum conjectures». Journal of Statistical Physics. 46 (3–4): 455. Bibcode:1987JSP....46..455E. doi:10.1007/BF01013368. S2CID 121353606.
↑ Lyubich, Mikhail (1999). «Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor's Hairiness Conjecture». Annals of Mathematics. 149 (2): 319–420. arXiv:math/9903201. Bibcode:1999math......3201L. doi:10.2307/120968. JSTOR 120968. S2CID 119594350.
↑ Delbourgo, R.; Hart, W.; Kenny, B. G. (1985 թ․ հունվարի 1). «Dependence of universal constants upon multiplication period in nonlinear maps». Physical Review A (անգլերեն). 31 (1): 514–516. Bibcode:1985PhRvA..31..514D. doi:10.1103/PhysRevA.31.514. ISSN 0556-2791. PMID 9895509.
↑ Hilborn, Robert C. (2000). Chaos and nonlinear dynamics: an introduction for scientists and engineers (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. էջ 578. ISBN 0-19-850723-2. OCLC 44737300.

Արտաքին հղումներ

Julia notebook for calculating Feigenbaum constant
Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). « $δ$ – Feigenbaum Constant». Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.
Thurlby, Judi (2021). Rigorous calculations of renormalisation fixed points and attractors (PhD). U. Portsmouth. Արխիվացված է օրիգինալից 2022 թ․ ապրիլի 22-ին. Վերցված է 2025 թ․ հունիսի 7-ին.
Alligood, Kathleen T., Tim D. Sauer, James A. Yorke, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Textbooks in mathematical sciences Springer, 1996, 978-0-38794-677-1
Briggs, Keith (1991 թ․ հուլիս). «A Precise Calculation of the Feigenbaum Constants» (PDF). Mathematics of Computation. 57 (195): 435–439. Bibcode:1991MaCom..57..435B. doi:10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6.
Briggs, Keith (1997). Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems (PDF) (PhD thesis). University of Melbourne.
Broadhurst, David (1999 թ․ մարտի 22). «Feigenbaum constants to 1018 decimal places».

[1] The Feigenbaum Constant (4.669) – Numberphile (անգլերեն), 2017 թ․ հունվարի 16, Վերցված է 2023 թ․ փետրվարի 7-ին

[2] Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A. (1996). Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Springer. ISBN 0-387-94677-2.

[3] Feigenbaum, M. J. (1976). «Universality in complex discrete dynamics» (PDF). Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975–1976.

[4] Feigenbaum, Mitchell J. (1978). «Quantitative universality for a class of nonlinear transformations». Journal of Statistical Physics. 19 (1): 25–52. Bibcode:1978JSP....19...25F. doi:10.1007/BF01020332. S2CID 124498882.

[:0-5] 1 2 Weisstein, Eric W. «Feigenbaum Constant». mathworld.wolfram.com (անգլերեն). Վերցված է 2024 թ․ հոկտեմբերի 6-ին.

[6] Jordan, D. W.; Smith, P. (2007). Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers (4th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920825-8.

[7] Alligood, p. 503.

[8] Alligood, p. 504.

[NonlinearDynamics-9] 1 2 Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Studies in Nonlinearity. Perseus Books. ISBN 978-0-7382-0453-6.

[10] Briggs, Keith (1997). Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems (PDF) (PhD thesis). University of Melbourne.

[11] Lanford III, Oscar (1982). «A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures». Bull. Amer. Math. Soc. 6 (3): 427–434. doi:10.1090/S0273-0979-1982-15008-X.

[12] Eckmann, J. P.; Wittwer, P. (1987). «A complete proof of the Feigenbaum conjectures». Journal of Statistical Physics. 46 (3–4): 455. Bibcode:1987JSP....46..455E. doi:10.1007/BF01013368. S2CID 121353606.

[13] Lyubich, Mikhail (1999). «Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor's Hairiness Conjecture». Annals of Mathematics. 149 (2): 319–420. arXiv:math/9903201. Bibcode:1999math......3201L. doi:10.2307/120968. JSTOR 120968. S2CID 119594350.

[14] Delbourgo, R.; Hart, W.; Kenny, B. G. (1985 թ․ հունվարի 1). «Dependence of universal constants upon multiplication period in nonlinear maps». Physical Review A (անգլերեն). 31 (1): 514–516. Bibcode:1985PhRvA..31..514D. doi:10.1103/PhysRevA.31.514. ISSN 0556-2791. PMID 9895509.

[15] Hilborn, Robert C. (2000). Chaos and nonlinear dynamics: an introduction for scientists and engineers (2nd ed.). Oxford: Oxford University Press. էջ 578. ISBN 0-19-850723-2. OCLC 44737300.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]