Քանակական հարաբերականություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Սև խոռոչում աստղի գրավիտացիոն կոլապսի մոդելացված պրոցեսի դրվագ գրավիտացիոն ալիքների ճառագայթմամբ: Կենտրոնում սպիտակ գունդը սև խոռոչի թվացյալ հորիզոնն է, իսկ նրա շուրջը գունավոր ալիքներով ներկայացված են l=2, m=2 մուլտիխտությամբ գրավիտացիոն ալիքները, ներքևից աջի ներդիրը ցույց է տալիս գրավիտացիոն ալիքների ձևն այն պահին, երբ դրանք գրանցվել են հեռավոր դիտորդի կողմից

Քանակական հարաբերականություն (անգլ.՝ numerical relativity), հարաբերականության հատուկ տեսության բնագավառ, որը մշակում և օգտագործում են հաշվողական մեթոդներում և ուժեղ գրավիտացիոն դաշտերի համակարգչային մոդելավորման ֆիզիկական պրոցեսների ալգորիթմներում, երբ անհրաժեշտ է թվապես լուծել Այնշտայնի հավասարումները։ Հիմնական Ֆիզիկական համակարգերը, որոնց նկարագրության համար անհրաժեշտ է քանակական հարաբերականությունը, վերաբերում են ռեյլատիվիստիկ աստղաֆիզիկային և ներառում են իրենց մեջ ուրիշ օբյեկտներ ու երևույթներ, որոնց ադեկվատ նկարագրության համար պետք է դիմել ընդհանուր հարաբերականության տեսությանը առանց թույլ դաշտերի սովորական մոտավորությունների և փոքր արագությունների (ինչպես նյուտոնյան բաշխման և խոտորման տեսության մեջ Ալբերտ Այնշտայնի հավասարումների ճշգրիտ լուծումների ֆոնի վրա)[1]։

Այս բնագավառի մոդելավորումը Այնշտայնի հավասարումների բարդության և ոչ գծայնության պատճառով պահանջում է հատուկ քանակական մեթոդներ (օրինակ՝ հիպերբոլայնության և Կոշի խնդրի կոռեկտության դրվածքի ժամանակավոր էվոլյուցիան կախված է հավասարումների ներկայացումից, ինչպես նաև սկզբնական և սահմանային պայմաններից[2]), ինչպես նաև ժամանակակից սուպերհամակարգիչներին հասնելի մեծ հաշվողական հզորության եռաչափ խնդիրներից շատերի համար։ Այս պահի համար քանակական հարաբերականության համար ակտուալ են ռեյլատիվիստիկ խիտ երկակի աստղերի մոդելավորման և նրանց հետ կապված գրավիտացիոն ալիքների բնագավառում հետազոտությունները, ինչպես և ուրիշ մաթեմատիկական և աստղաֆիզիկական պրոբլեմները[1]։

Ընդհանուր տեղեկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Առաջին գրանցված գրավիտացիոն-ալիքային ազդանշանը և նրա համեմատումը քանակական հարաբերականության կանխագուշակությունների հետ (երկրորդ տողը)

Քանակական հարաբերականության հիմնական նպատակը Գրավիտացիոն դաշտերի ուսումնասիրումն է, որոնց ճշգրիտ անալիտիկ ձևը հայտնի չէ։ Գրավիտացիոն դաշտի ձևը, որը որոնվում է հաշվարկների միջոցով, կարող է լինել ինչպես ամբողջովին դինամիկական, այնպես էլ ստացիոնար կամ ստատիկ, ինչպես նաև կարող է ընդգրկել նյութական դաշտեր։ Ընդհանուր հարաբերականության տեսության մեջ բոլոր դաշտերը, բացի գրավիտացիոնից, ընդունված է անվանել նյութական կամ վակուումային։ Ստացիոնար և ստատիկ լուծումների դեպքում քանակական մեթոդները կարող են կիրառվել այս կոնֆիգուրացիաների ստաբիլության ուսումնասիրման համար։ Իր հերթին, դինամիկական գրավիտացիոն դաշտերի դեպքում խնդիրը կարելի է բաժանել երկու մասի, որոնք պահանջում են լուծման տարբեր մեթոդներ՝ սկզբնական նշանակության և էվոլյուցիայի խնդիրներ[3]։

Քանակական հարաբերականությունը կիրառվում է կոսմոլոգիական մոդելների, գրավիտացիոն կոլապսներում կրիտիկական երևույթների, ինչպես նաև սև խոռոչների և նեյտոնային աստղերի մասնակցությամբ պրոցեսների, հիմնականում նրանց միաձուլման ու խոտորումնրի ուսումնասիրման համար։ Այս դեպքերից յուրաքանչյուրի համար անհրաժեշտ է ժամանակատարածքային էվոլյուցիան վերահսկել, որի համար Այնշտայնի հավասարումները կարող են ներկայացվել մի քանի ձևերով։ Ավելի հանրամատչելի են Կոշի խնդրի մեթոդները, սակայն կիրառվում են նաև բնորոշման մեթոդները[4] և մեթոդներ՝ հիմնված Ռեջեյի հաշվարկների վրա[5]։ Թվարկված բոլոր մեթոդներն սկսում են գրավիտացիոն դաշտի հիպերմակերևույթի «լուսանկարից», այսինքն սկզբնական տվյալներից, իսկ հետո նրա էվոլյուցիան վերահսկում են մինչև մոտակա հիպերմակերևույթները՝ ընթանալով առաջ ժամանակի մեջ[6]։ Քանակական անալիզի մնացած խնդիրների պես, քանակական հարաբերականության մեջ սևեռված ուշադրություն է դարձվում թույլատրելի սկզբնական և սահմանային պայմաններով հաշվողական կայունությանը և քանակական լուծումների համապատասխանությանը։ Քանակական հարաբերականության յուրահատկությունն են հանդիսանում տրամաչափայինի առկայության ներմուծմամբ և կոորդինատային պայմաններից առաջացած բարդությունները, ինչպես նաև Այնշտայնի հավասարումների տարբեր ներկայացումների և ճշգրիտ քանակական լուծումներ ստանալու նրանց ազդեցության հնարավորությանբ։ Դաշտի դասական տեսության մեջ կիրառվող քանակական մեթոդիկաներից շատերը կիրառելի չեն ընդհանուր հարաբերականության տեսությունում, որով էլ այս շրջանում աշխատանքն տարբերվում է քանակական հարաբերականության շրջանի աշխատանքից։ Այնուամենայնիվ, քանակական հարաբերականությունը խոշորմասշտաբային խնդիրներում ունի շատ ընդհանուր տեսանկյուններ այլ հաշվողական գիտությունների, օրինակ Հաշվողական հիդրոդինամիկայի, Էլեկտադինամիկայի և Պինդ մարմնի մեխանիկայի հետ:Քանակական հարաբերականությամբ զբաղվող գիտնականները հաճախ աշխատում են կիրառական մաթեմատիկոսների հետ և առնչվում են մաթեմատիկայի այնպիսի բաժինների, ինչպիսիք են հաշվողական անալիզը, զուգահեռ հաշվարկները, մասնակի ածանցյալների դիֆերենցիալ հավասարումները և երկրաչափությունը[7]։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տեսական հիմքեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ալբերտ Այնշտայնը 1915 թվականին հրատարակել է ընդհանուր հարաբերականության տեսության վերջնական տարբերակը[8]։ Այս տեսությունը, ինչպես և նրան նախորդող հատուկ հարաբերականության տեսությունը, նկարագրում են ժամանակը և տարածությունը ինչպես մեկ միասնական օբյեկտ՝ տարածաժամանակային, որի էվոլյուցիան ենթարկվում է Այնշտայնի հավասարումներին։ Դրանք կազմում են ոչ գծային կապված մասնավոր ածանցյալների դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգը։ Այս հավասարումների դուրսբերումից մեկ հարյուրամյակ անց հայտնի դարձան Այնշտայնի հավասարումների՝ միայն համեմատաբար ոչ մեծ թվով ֆիզիկական ռեյլատիվիստական ճշգրիտ լուծումները, և նրանց մեծամասնությունը դուրս բերվեցին բարձր համաչափության ենթադրությամբ, որը հավասարումների լուծումները հեշտացնում էր, ինչպես օրինակ, Ֆրիդմանի լուծումը իզոտոպ և համասեռ տիեզերքի համար[9]։

Քանակական հարաբերականության բնագավառը ծագել է Այնշտայնի հավաասրումների լուծումների ֆիզիկական և ընդհանուր կիրառումների ուսումնասիրման ցանկությունից։ Նրանց այսպիսի լուծման անհրաժեշտ պայման հանդիսացավ միասնական քառաչափ տարածաժամանակայինի բաժանման բերումը նորից առանձնացված եռաչափ տարածական և համասեռ ժամանակի, այսպես կոչված 3+1 բաժանման։ Ընդ որում դա կարող է իրականացվել բազմաթիվ տարբեր ճանապարհներով, որոնք ընդունակ են էականորեն պարզեցնել կամ բարդացնել վերջնական հավասարումների ինտեգրումը։ Առաջին լիովին հաջողված բաժանման փորձը իրականացվել է Ռիչարդ Արնովիտտի, Սթենլի Դեզերի և Չարլզ Միզների կողմից 1950-ական թվականների վերջում Պոլ Դիրակի նախանշած համիլտոնյան ֆորմալիզմի ճանապարհին:Այն պսակվեց այսպես կոչված ԱԴՄ-ֆորմալիզմ՝ Ֆորմալիզմ Արնովիտտի-Դեզերի-Միզների հավասարումների ստացմամաբ[10]։ Չնայած տեխնիկական պատճառներով հենց այս հավասարումները պարզվեցին ոչ այնքան հարմար թվային ինտեգրման համար՝ նրանք ընդամենը թույլ հիպերբոլականկան են և դրա համար էլ հազվդեպ են կիրառվում իրական հաշվարկներում, քանակական հարաբերականությանը վերաբերող պրակտիկ մոտեցումների ճնշող մեծամասնության մեջ կիրառում են ԱԴՄ-ֆորմալիզմում կիրառվողին մոտ 3+1 բաժանումը։ Այսպիսի բաժանումը բերում է սկզբնական պայմանների սահմանափակմամբ Այնշտայնի հավասարումների փոխձևակերպմանը Կոշի հավասարումներին, որը արդեն տանում է համակարգիչներում քանակական լուծումներին[11]։

Տարածաժամանակային կոորդինատները չեն կարող որոշված լինել միանշանակորեն, դրա համար, նույնիսկ սկզբնական հիպերմակերևույթի վրա կոորդինատների ֆիքսացիայի դեպքում էլ հարևան հիպերմակերևույթին անցման ժամանակ տարածաժամանակային կոորդինատները կարելի է «հրել» տարբեր ձևով տարբեր կետերում (արդեն հատուկ հարաբերական տեսության մեջ ժամանակի հոսքի ուղղությունն ու արագությունը չեն համընկնում տարբեր իներցիալ հաշվանքի համակարգերում), որը քանակական հարաբերականության առանձնահատկություններից է։ Դա տրամաչափային ազատություն է, որը չի ազդում ֆիզիկական պրոցեսների վրա, այլ միայն նրանց նկարագրությունը կոորդինատների տերմիններն է փոխում, և, հետևաբար, լուծվող հավասարումները արտահայտվում են ընթացքի ֆունկցիայի կամայական ընտրության ժամանակ և յի տեղաշարժի դեպքում, տարածաժամանակային կոորդինատներով ֆիքսման «հրող» կետերի սկզբնականից հարևան հիպերմակերևույթի ժամանակով առաջ՝ յով, և տարածությունում կողք՝ յի, համապատասխանաբար։ Այս ֆունկցիաների ըտրության հնարավորությունը հավասարումների լուծման համար պոտենցիալ առավելություն է, սակայն այդ կոորդինատների կամ տրամաչափային պայմանների շատ «բնական» ընտրություններ, ինչպես պարզվեց, արտահայտում են լուծումների թվային անհավասարակշռություններ՝ բերելով մոդելավորման խզմանը[12]։

Ցվի Պիրան

ԱԴՄ-ֆորմալիզմի սկզբնական աշխատանքների հրատարակման ժամանակ համակարգչային տեխնիկայի զարգացումը թույլ չտվեց կատարել որոշ քանակի տրամաբանական չափերի հաշվարկներ ցանկացած խնդրի հավասարման համար։ Պատմականորեն Այնշտայնի հավասարումների քանակական լուծման առաջին փորձը նախաձենռվել է Հանի և Լինդկվիստոնի կողմից 1964 թվականին[13], որից հետո 1970-ական թվականներին Սմարրի[en][14][15] և Էպպլիի[16]։ Այս վաղ փորձերը կապված էին Միզների սկզբնական տվյալների էվոլյուցիայի հետ աքսիալ համաչափ տարածություններում (հայտնի որպես «2+1-չափում»)։ Համարյա նույն ժամանակ Ցվի Պիրանը գրեց առաջին կոդը, որը նկարագրում էր գրավիտացիոն ալիքների ճառագայթմամբ պայմանավորված գլանաձև-համաչափ համակարգի էվոլյուցիան[17]։ Պիրանը իր մշակումներում դրեց քանակական հարաբերականության մեջ կիրառվող շատ կոնցեպցիաների սկիզբը, ինչպիսիսք են ազատ էվոլյուցիան (free evolution) և սահմանային էվոլյուցիայան (constrained evolution), դրանք մեթոդներ են, որորնք տարբեր ձևով են մոտենում ժամանակի մեջ սկզբնական սահմանային պրոբլեմի էվոլյուցիային[18][19]։ Համաչափության կիրառումը իջեցրել է հաշվողական հիշողության հզորության անհրաժեշտ պահանջները՝ գիտնականներին թույլ տալով խնդրի լուծման համար օգտագործել այն ժամանակվա համակարգիչները[17]։

Վաղ արդյունքները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Առաջին իրական հաշվարկները իսկական աստղաֆիզիկական խնդրի՝ պտույտով կոլապսի համար իրականացվել են 1980-ական թվականներին Ռիչարդ Սթարքի և Ցվի Պիրանի կողմից[20]. նրանցում առաջին անգամ հաշվարկվեցին սև խոռոչի կողմից ճառագայթված գրավիտացիոն ալիքները։ Այս հրատարակումից ավելի քան երկու տասնամյակ անց մշակվեցին քանակական հարաբերականության բնագավառում ընդամենը մի քանի նոր արդյունքներ, հավանաբար, այս պրոբլեմների լուծման համար անհրաժեշտ բավական հզոր համակարգիչների բացակայության պատճառով։ 1990-ական թվականներին սև խոռոչների «Մեծ կոչի» Ալիյանսը (անգլ. Binary Black Hole Grand Challenge Alliance), օգտագործելով խնդրի ակսիալ համաչափությունից ծագած պարզեցումները, հաջողությամբ մոդելավորում էր երկու սև խոռոչների ճակատային բախումը։ Ստացված լուծման համար խումբը կարողացավ հաշվել իրադարձությունների հորիզոնը նախամշակման փուլում[21]։

Այնշտայնի հավասարումների քանակական լուծումների հայտնի լուծումներից մի քանիսը լրիվ եռաչափ տարածական երկրաչափության մեջ կիզակետվել է շվարցշիլդյան չպտտվող սև խոռոչում, որը իրենից ներկայացնում է Այնշտայնի հավասարման ստատիկ և սֆերիկ-համաչափ լուծում։ Այն հիանալի թեստ է քանակական հարաբերականության մեթոդների համար, քանի որ, առաջինը՝ լուծումը հայտնի է ճշգրիտ անալիտիկ ձևով, որով կարելի է համեմատել քանակական արդյունքները, երկրորդ՝ այն ստատիկ է և նրան կարող է հարել ժամանակի ընթացքում ցանկացած սև խոռոչ, երրորդ՝ այն պարունակում է քանակական մոդելավորման ամենից բարդ օբյեկտներից մեկը՝ կենտրոնում ֆիզիկական Գրավիտացիոն սինգուլյարությունը։ Այս լուծումն ստանալու առաջին փորձերից մեկը ձեռնարկվել է Աննիսոնի և համահեղինակների կողմից 1995 թվականին[22]։

Այս աշխատանքում նրանք նշեցին.

Եռաչափ քանակական հարաբերականության մեջ առաջընթացը մասնավորապես դանդաղում է հաշվողական հզորությամբ հիշողությունով համակարգիչների բացակայության պատճառով, որը անհրաժեշտ է եռաչափ տարածությունում լավ թույլտվությամբ հաշվումների համար։

Բնագավառի զարգացումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հետագա տարիների ընթացքում համակարգիչների հզորացմանը զուգահեռ տարատեսակ հետազոտական խմբերի կողմից մշակվել են հաշվարկների էֆեկտիվությունը բարձրացնելու համար ալտերնատիվ տեխնիկաներ։ Սկզբից Lazarus խումբը մշակեց մեթոդներ, որոնք օգտագործեցին սև խոռոչների միաձուլման ոչ գծային ԱԴՄ-հավասարումը լուծող կարճ մոդելավորման նախկին արդյունքներն այն բանի համար, որպեսզի ապահովեն միայնակ սև խոռոչի խոտորման գծային հավասարումների տեսության ավելի կայուն կոդի սկզբնական տվյալները[23]։ Հետագայում սև խոռոչների մոդելավորման հարաբերություններում մշակվեցին երկու տեխնիկաներ՝ (1) բացառումը և (2) «խայթոցների» մեթոդը, որոնք թույլ էին տալիս հավասարումների լուծումների մեջ խուսափել ֆիզիկական սինգուլյարության հետ կապված պրոբլեմներից[24]։ Այս մեթոդների համադրումը գտնված համապատասխան կոորդինատական պայմանների հետ 2005 թվականին թույլ տվեցին երկակի սև խոռոչների մոդելավորման մեջ առաջընթաց իրականացնել, որի սկզբնաղբյուրը Պրետորիուսի աշխատանքն էր[25]։ Մի քանի տարի անց նոր մեթոդների քանակական հավասարակշռությունը թույլ տվեց արդեն մոդելավորել երկակի սև խոռոչների պրակտիկորեն կամայական կոնֆիգուրացիաներ, որոնք նկարագրում են իրար շուրջ տասնյակ և հարյուրավոր պտույտներ։ Բացի դրանից քանակական հարաբերականության մեջ սկսեցին կիրառվել հաշվարկման ցանցի հարմարեցված փոքրացման մեթոդները, որոնք կիրառվում են հաշվողական հիդրոդինամիկայում[26]։

Lazarus նախագիծ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Lazarus նախագիծը (1998-2005) թվականին մշակվել է «Մեծ կոչից» հետո ինչպես աստղաֆիզիկական ռելեվանտային արդյունքների դուրս բերման մեթոդիկա այն ժամանակվա համար հասանելի երկակի սև խոռոչների համադրման կարճ քանակական մոդելավորման պրոցեսների միաձուլումից։ Այն ժամանակ սուպերհամակարգիչների վրա Այնշտայնի հավասարումների ինտեգրման հայտնի բոլոր փորձերը երկակի սև խոռոչների տարածաժամանակային տարբեր տեսակի անկայունություններ պատճառով չէին կարող առաջ շարժվել նույնիսկ համակարգի մեկ լրիվ պտույտից հետո։ Նախագծի սահմաններում հետազոտողները զուգակցում էին մոտ մեթոդները մինչև Պոստնյուտոնյան հետագիծը և խոռոչների զույգի մեկին փոխարկվելուց հետո (միայնակ սև խոռոչների խոտորումները) բուն պրոցեսի ամբողջական քանակական լուծումների հետ[23]։

Lazarus նախագծի մոտեցումը այն ժամանակվա համար ամենահարմար մոտեցումն էր երկակի սև խոռոչների պրոբլեմի համար և տվեց բազմաթիվ ճշգրիտ աստղաֆիզիկական կից արդյունքներ, ինչպիսիք են գրավիտացիոն ալիքներով էներգիայի և անկյունային մոմենտի փոխանցումը[27][28], սև խոռոչների միաձուլման ժամանակ առաջացած իմպուլսը[29] և սև խոռոչում ծագող անկյունային մոմենտի, իմպուլսի և վերջնական զանգվածի նշանակությունը[30]։

Նախագծի մեթոդները թույլ տվեցին նաև հաշվարկել միաձուլման պրոցեսում ճառագայթված գրավիտացիոն ալիքների դետալական ձևերը. այն կարևոր էր Գրավիտացիոն տելեսկոպի համար, և նախանշեցին, որ սև խոռոչների բախումը ընթանում է տիեզերքում առավել հզոր էներգիայի շպրտմամբ, երբ վայրկյանի ընթացքում գրավիտացիոն ճառագայթման տեսքով ավելի շատ էներգիա է ազատվում, քան տիեզերքի բոլոր աստղերը կճառագայթեյին նրա գոյության ընթացքում. գրավիտացիոն ճառագայթումը տանում է համակարգի բերված զանգվածի մի քանի տոկոսը[31]։

Բացառման մեթոդը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

(անգլ. excision technique) բացառման մեթոդում, որը առաջին անգամ 1990-ականներին է առաջադրվել[32],Իրադարձությունների հորիզոնում տարածաժամանակայինի մի մասը, որը պարուրում է սև խոռոչի սինգուլյարությունը, պարզապես բացառվում է էվոլյուցիայից։ Տեսականորեն դա չի կարող ազդել լուծման վրա իրադարձությունների հորիզոնից դուրս պատճառի սկզբունքի հետևանքով և հորիզոնի հատկությունների՝ քանի որ ոչ մի ձևի ֆիզիկական փոխազդեցություն հորիզոնի տակ չի կարող ազդել նրանից դուրս ֆիզիկայի վրա։ Այսպիսով, եթե սև խոռոչի ներսում պարզապես չլուծվի, ապա նրանից դուրս այնուամենայնիվ կարելի է ստանալ ճշգրիտ իրական լուծում։ Կարելի է «բացառել» ներքին դինամիկան, սինգուլյարությունը պարուրող հորիզոնի վրա դուրս եկող ճառագայթների սահմանային պայմանները բացակայության ահմանը դնելով[33]։

Բացառման մեթոդը մշակվել է մի քանի տարվա ընթացքում, այդ թվում գտնվել են տրամաչափային պայմաններ, որոնք մեծացրել են լուծման արարողակարգի կայունությունը, և ցուցադրվել է հաշվողական ցանցի վրայով բացառված շրջանների հատկությունը[34][35][36][37][38][39]։ 2005 թվականին այս մեթոդի միջոցով հրատարակվեց երկու սև խոռոչների միաձուլման և ուղեծրի առաջին կայուն հաշվարկը[25]։

«Խայթոցների» մեթոդը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

«Խայթոցների» մեթոդում (անգլ. puncture method) լուծումը բաժանվում է անալիտիկ մասի[40], որը պարունակում է սև խոռոչի սինգուլյարությունը՝ խայթոց, և հաշվարկի վրա կառուցված մասի, որը չի պարունակում սինգուլյարությունը։ Այս մեթոդը չի հանդիսանում Բրիլ-Լինդկվիստի ալգորիթմի ընդհանրացումը[41] հանգստի վիճակում սև խոռոչի սկզբնական տվյալների համար և կարող է հետագայում ընդհանրացվել Բոուեն-Յորքի ալգորիթմի[42] պտտվող և շարժվող սև խոռոչների սկզբնական պայմանների համար։ Մինչ 2005 թվականը բոլոր հրատարակված օրինակներում պահանջվում էր մեթոդի կիրառումը, որպեսզի մոդելավորման ողջ պրոցեսի ընթացքում բոլոր խայթոցների կոորդինատները ֆիքսվեն։ Իհարկե, սև խոռոչները, գտնվելով իրար անմիջական մոտ, կշարժվեն գրավիտացիոն ուժերի ազդեցությամբ, այսպիսով, խայթոցների ֆիքսված կոորդինատները նշանակում են, որ կոորդինատների համակարգները դառնում են «ձգված» կամ «աղավաղված», որը բերում է մոդելավորման որոշ էտապներում թվային անհավասարակշռության։ Անալոգային էֆեկտները պահանջում են այլ մեթոդի՝ սինգուլյարության խուսափման կիրառմանը, երբ սև խոռոչները մոդելավորման ժամանակ ձևավորվում են մատերիայի կոլապսի միջոցով, իսկ կոորդինատական պայմանները ընտրվում են այնպես, որ ժամանակի ընթացքում էվոլյուցացված եռաչափ հիպերմակերևույթը չի հասնում մինչ հաշվարկի վերջ սինգուլյարության՝ ձևավորելով ձգված «պոզ» նրա շուրջ[43]։

2005 թվականին հետազոտողները առաջին անգամ կոորդինատների համակարգում ցուցադրեցին խայթոցների շարժումը, այսպիսով լուծելով մեթոդի նախկին պրոբլեմներից մի քանիսը, որը թույլ տվեց ճշգրտորեն հետևել սև խոռոչների երկարատև էվոլյուցիան[25][44][45]։

Ընտրելով համապատասխան կոորդինատական պայմաններ և կատարելով սինգուլյարության շրջակայքում ֆիզիկական դաշտերի կոպիտ անալիտիկ մոտավորություններ (քանի որ սև խոռոչից ոչ մի ֆիզիկական էֆեկտ չի կարող դուրս գալ, և ապպրոկսիմացիայի կոպտությունը կարևոր չէ)՝ կարելի է ստանալ ինչպես իրար շուրջ պտտվող երկու սև խոռոչների խնդրի թվային լուծումները, այնպես էլ ճշգրտորեն հաշվել նրանց գրավիտացիոն ճառագայթումը[46]։

Հաշվարկման ցանցի ադապտիվ մանրացումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հաշվարկման ցանցի ադապտիվ մանրացումը՝ որպես թվային մեթոդ, ֆիզիկայում կիրառվել է շատ ավելի վաղ՝ նախքան քանակական հարաբերականության զարգացումը։ Վերջինիս մեջ այն առաջին անգամ կիրառվել է 1980-ական թվականներին Չոպտուիկի Սկալյար դաշտի կոլապսի կրիտիկական երևույթների պրոցեսների ուսումնասիրության աշխատանքներում, երբ դաշտի կոնֆիգուրացիաները գտնվում են սև խոռոչի սահմանային կազմավորման և տարածության մեջ նրա սահմանային ցաքուցրիվ լինելու մեջ[47][48]։ Նախնական աշխատանքները միաչափ էին, քանի որ օգտագործվել էր գնդաձև համաչափությունը, իսկ հետո մեթոդը ընդհանրացվել էր երկու չափումների համար[49]։ Մանրացման երկչափ մեթոդները կիրառվել են նաև Ոչ համասեռ կոսմոլոգիայի[50][51] և շվարցշիլդյան սև խոռոչների ուսումնասիրման ժամանակ[52]։ Այժմ ադապտիվ մանրացման մեթոդները դարձել են քանակական հարաբերականության մեջ ստանդարտ գործիք և օգտագործվում են սև խոռոչների ու այլ կոմպակտ օբյեկտների, ինչպես և պատահարներից առաջացած գրավիտացիոն ալիքների տարածման ուսումնասիրման համար[53][54]։

Ժամանակակից զարգացումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու նեյտրոնային աստղերի միաձուլման մոդելավորման տեսանելիության կադր՝ սև խոռոչի կազմավորմամբ (NASA, 2014)

Քանակական հարաբերականության վերաբերյալ մինչ մեր ժամանակները յուրաքանչյուր տարի գրվում են տասնյակ և հարյուրավոր հոդվածներ, որոնք ներկայացնում են ընդհանուր հարաբերականության տեսության մաթեմատիկայի, գրավիտացիոն ալիքների և աստղաֆիզիկայի բնագավառի արդյունքների լայն սպեկտր, որ ստացվել են իրար շուրջ պտտվող սև խոռոչների խնդրի լուծման ժամանակ։ Այդ ժամանակ օգտագործված մեթոդներն ընդհանրացվել են աստղաֆիզիկական բինարային համակարգերի ուսումնասիրության համար, որոնք ներառում են նեյտրոնային աստղեր, սև խոռոչներ[55] և բազմաթիվ սև խոռոչներ[56]։ Այս աշխատանքներում նաև նշվում է, որ երկու պտտվող սև խոռոչների միաձուլումից ստացված խոռոչը կարող է զարգացնել 4000 և նույնիսկ 10000կմ/վ արագություն, որը հնարավորություն է տալիս նրան ցանկացած ծանոթ գալակտիկայի սահմաններից դուրս գալ[57][58]։ Մոդելավորումը թույլ է տալիս նաև էներգիայի արտահոսք միաձուլման ժամանակ, որը կարող է կազմել հանգստի զանգվածի ավելի քան 8 %-ը, և սև խոռոչի պտտման առանցքի կտրուկ փոփոխության հնարավորություն, որն էլ բացատրում է ռադիոգալակտիկաներում Ռեյլատիվիստիկ շիթի ուղղության փոփոխությունները[59]։ Ուսումնասիրման կարևոր ուղղություն է համարվում նաև միաձուլվող սև խոռոչների գրավիտացիոն ճառագայթման ձևի կատալոգի ստեղծումը, առանց որի այդ ազդանշանների որոնումը տրված LIGO և VIRGO տիպի դետեկտորները ունենում են պակաս զգայնություն[60]։

Քանակական հարաբերականության ժամանակակակից մեթոդների ճշգրտությունը գրավիտացիոն ալիքների հայտնագործումից հետո պրակտիկայում անմիջականորեն դարձել է հնարավոր ստուգել։ GW150914 ազդանշանը 4 % սխալմունքի սահմաններում համընկնում է քանակական հարաբերականությանբ կանխագուշակմանը[61]։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. ↑ 1,0 1,1 Baumgarte T. W., Shapiro S. L. Numerical Relativity, 2010, Preface. Sec. What is numerical relativity?
  2. ↑ Choptuik M. W. Computational Methods in General Relativity: The Theory, 2006
  3. ↑ Baumgarte T. W., Shapiro S. L. Numerical Relativity, 2010, Sec. 2.6 The constraint and evolution equations and Introduction of Ch. 3 Constructing initial data
  4. ↑ Winicour J. Characteristic Evolution and Matching(անգլ.). — Т. 15. — № 2. — doi:10.12942/lrr-2012-2 — Bibcode: 2012LRR....15....2W
  5. ↑ Gentle Adrian P. Regge Calculus: A Unique Tool for Numerical Relativity(անգլ.) // General Relativity and Gravitation. — 2002. — В. 10. — Т. 34. — С. 1701—1718. — ISSN 0001-7701. — doi:10.1023/A:1020128425143
  6. ↑ Cook G. Initial Data for Numerical Relativity(անգլ.) // Living Reviews in Relativity. — 2000. — Т. 3. — № 5. — doi:10.12942/lrr-2000-5 — Bibcode: 2000LRR.....3....5C — gr-qc/0007085
  7. ↑ Baumgarte T. W., Shapiro S. L. Numerical Relativity, 2010, Ch. 6 Numerical methods
  8. ↑ Einstein, Albert. Der Feldgleichungen der Gravitation. {{cite book}}: |work= ignored (օգնություն)
  9. ↑ Stephani H., Kramer D., MacCallum M., Hoenselaers C., Herlt E. Sec. 1.1 What are exact solutions, and why study them? // Exact Solutions of Einstein's Field Equations. — Cambridge University Press, 2003. — (Cambridge Monographs on Mathematical Physics). — ISBN 9781139435024
  10. ↑ Arnowitt R., Deser S., Misner C. W. The dynamics of general relativity // Gravitation: An Introduction to Current Research / Ed. by L. Witten. — New York: Wiley, 1962. — С. 227–265.
  11. ↑ Baumgarte T. W., Shapiro S. L. Numerical Relativity, 2010, Ch. 2 The 3+1 decompostion of Einstein’s equations
  12. ↑ Baumgarte T. W., Shapiro S. L. Numerical Relativity, 2010, Ch. 4 Choosing coordinates: the lapse and shift
  13. ↑ Hahn S. G., Lindquist R. W. The two-body problem in geometrodynamics // Annals of Physics. — 1964. — Т. 29. — С. 304-331. — doi:10.1016/0003-4916(64)90223-4 — Bibcode: 1964AnPhy..29..304H
  14. ↑ Smarr, Larry (1975). The Structure of General Relativity with a Numerical Example. Austin, Texas. {{cite book}}: |work= ignored (օգնություն)CS1 սպաս․ location missing publisher (link)
  15. ↑ Smarr L. Spacetimes generated by computers: Black holes with gravitational radiation // N. Y. Acad. Sci. — 1977. — Т. 302. — С. 569. — doi:10.1111/j.1749-6632.1977.tb37076.x
  16. ↑ Eppley, K. (1975). The numerical evolution of the collision of two black holes. Princeton, New Jersey. {{cite book}}: |work= ignored (օգնություն)CS1 սպաս․ location missing publisher (link)
  17. ↑ 17,0 17,1 Piran T. Cylindrical general relativistic collapse // Phys. Rev. Lett. — 1978. — В. 16. — Т. 41. — С. 1085. — doi:10.1103/PhysRevLett.41.1085 — Bibcode: 1978PhRvL..41.1085P
  18. ↑ Alcubierre M. Introduction to 3+1 Numerical Relativity, 2008, Sec. 2.6 Free versus constrained evolution
  19. ↑ Bona C., Palenzuela-Luque C., Bona-Casas C. Elements of Numerical Relativity and Relativistic Hydrodynamics, 2009, Subsec. 2.3.3 Evolution strategies
  20. ↑ Stark R. F., Piran T. Gravitational-wave emission from rotating gravitational collapse // Physical Review Letters. — 1985. — Т. 55. — С. 891-894. — doi:10.1103/PhysRevLett.55.891 — Bibcode: 1985PhRvL..55..891S
  21. ↑ Matzner R. A., Seidel H. E., Shapiro S. L., Smarr L., Suen W.-M., Teukolsky S. A., Winicour J. Geometry of a Black Hole Collision // Science. — 1995. — В. 5238. — Т. 270. — С. 941-947. — doi:10.1126/science.270.5238.941 — Bibcode: 1995Sci...270..941M
  22. ↑ Anninos P., Massó J., Seidel E., Suen W.-M., Towns J. Three-dimensional numerical relativity: The evolution of black holes // Physical Review D. — 1995. — В. 4. — Т. 52. — С. 2059-2082. — doi:10.1103/PhysRevD.52.2059 — Bibcode: 1995PhRvD..52.2059A — gr-qc/9503025
  23. ↑ 23,0 23,1 Baker J., Campanelli M., Lousto C. O. The Lazarus project: A pragmatic approach to binary black hole evolutions // Physical Review D. — 2002. — В. 4. — Т. 65. — С. 044001. — doi:10.1103/PhysRevD.65.044001 — Bibcode: 2002PhRvD..65d4001B — gr-qc/0104063
  24. ↑ Baumgarte T. W., Shapiro S. L. Numerical Relativity, 2010, Ch. 13 Binary black hole evolution
  25. ↑ 25,0 25,1 25,2 Pretorius F. Evolution of Binary Black-Hole Spacetimes // Physical Review Letters. — 2005. — В. 12. — Т. 95. — С. 121101. — doi:10.1103/PhysRevLett.95.121101 — Bibcode: 2005PhRvL..95l1101P — gr-qc/0507014
  26. ↑ Baumgarte T. W., Shapiro S. L. Numerical Relativity, 2010, Subsec. 6.2.5 Mesh refinement
  27. ↑ Baker J., Brügmann B., Campanelli M., Lousto C. O., Takahashi R. Plunge Waveforms from Inspiralling Binary Black Holes // Physical Review Letters. — 2001. — В. 12. — Т. 87. — С. 121103. — doi:10.1103/PhysRevLett.87.121103 — Bibcode: 2001PhRvL..87l1103B — gr-qc/0102037
  28. ↑ Baker J., Campanelli M., Lousto C. O., Takahashi R. Modeling gravitational radiation from coalescing binary black holes // Physical Review D. — 2002. — В. 12. — Т. 65. — С. 124012. — doi:10.1103/PhysRevD.65.124012 — Bibcode: 2002PhRvD..65l4012B — astro-ph/0202469
  29. ↑ Campanelli M. Understanding the fate of merging supermassive black holes // Classical and Quantum Gravity. — 2005. — Т. 22. — С. 387. — doi:10.1088/0264-9381/22/10/034 — Bibcode: 2005CQGra..22S.387C — astro-ph/0411744
  30. ↑ Baker J., Campanelli M., Lousto C. O., Takahashi R. Coalescence remnant of spinning binary black holes // Physical Review D. — 2004. — В. 2. — Т. 69. — С. 027505. — doi:10.1103/PhysRevD.69.027505 — Bibcode: 2004PhRvD..69b7505B — astro-ph/0305287
  31. ↑ Berti E., Cardoso V., Gonzalez J. A., Sperhake U., Hannam M., Husa S., Brügmann B. Inspiral, merger, and ringdown of unequal mass black hole binaries: A multipolar analysis(անգլ.) // Physical Review D. — 2007. — В. 6. — Т. 76. — С. 064034 (1—40). — doi:10.1103/PhysRevD.76.064034 — Bibcode: 2007PhRvD..76f4034B — gr-qc/0703053
  32. ↑ Alcubierre M., Brügmann B. Simple excision of a black hole in 3+1 numerical relativity // Physical Review D. — 2001. — В. 10. — Т. 63. — С. 104006. — doi:10.1103/PhysRevD.63.104006 — Bibcode: 2001PhRvD..63j4006A — gr-qc/0008067
  33. ↑ Baumgarte T. W., Shapiro S. L. Numerical Relativity, 2010, Subsec. 13.1.2 Black hole excision
  34. ↑ C. Bona, J. Masso, E. Seidel, J. Stela New formalism for numerical relativity // Phys. Rev. Lett.. — 1995. — В. 4. — Т. 75. — С. 600–603. — doi:10.1103/PhysRevLett.75.600 — Bibcode: 1995PhRvL..75..600B — gr-qc/9412071
  35. ↑ Cook G. B., Huq M. F., Klasky S. A., Scheel M. A., Abrahams A. M., Anderson A., Anninos P., Baumgarte T. W., Bishop N. T., Brandt S. R., Browne J. C., Camarda K., Choptuik M. W., Correll R. R., Evans C. R., Finn L. S., Fox G. C., Gómez R., Haupt T., Kidder L. E., Laguna P., Landry W., Lehner L., Lenaghan J., Marsa R. L., Masso J., Matzner R. A., Mitra S., Papadopoulos P., Parashar M., Rezzolla L., Rupright M. E., Saied F., Saylor P. E., Seidel E., Shapiro S. L., Shoemaker D., Smarr L., Suen W. M., Szilágyi B., Teukolsky S. A., van Putten M. H., Walker P., Winicour J., York J. W. Boosted Three-Dimensional Black-Hole Evolutions with Singularity Excision // Physical Review Letters. — 1998. — Т. 80. — С. 2512-2516. — doi:10.1103/PhysRevLett.80.2512 — Bibcode: 1998PhRvL..80.2512C — gr-qc/9711078
  36. ↑ Alcubierre M. Hyperbolic slicings of spacetime: singularity avoidance and gauge shocks // Classical and Quantum Gravity. — 2003. — Т. 20. — С. 607-623. — Bibcode: 2003CQGra..20..607A — gr-qc/0210050
  37. ↑ Alcubierre M., Brügmann B., Diener P., Koppitz M., Pollney D., Seidel E., Takahashi R. Gauge conditions for long-term numerical black hole evolutions without excision // Physical Review D. — 2003. — В. 8. — Т. 67. — С. 084023. — doi:10.1103/PhysRevD.67.084023 — Bibcode: 2003PhRvD..67h4023A — gr-qc/0206072
  38. ↑ Brügmann B., Tichy W., Jansen N. Numerical Simulation of Orbiting Black Holes // Physical Review Letters. — 2004. — В. 21. — Т. 92. — С. 211101. — doi:10.1103/PhysRevLett.92.211101 — Bibcode: 2004PhRvL..92u1101B — gr-qc/0312112
  39. ↑ Shoemaker D., Smith K., Sperhake U., Laguna P., Schnetter E., Fiske D. Moving black holes via singularity excision // Classical and Quantum Gravity. — 2003. — В. 16. — Т. 20. — С. 3729-3743. — doi:10.1088/0264-9381/20/16/313 — Bibcode: 2003CQGra..20.3729S — gr-qc/0301111
  40. ↑ Brandt S., Brügmann B. A Simple Construction of Initial Data for Multiple Black Holes // Physical Review Letters. — 1997. — В. 19. — Т. 78. — С. 3606-3609. — doi:10.1103/PhysRevLett.78.3606 — Bibcode: 1997PhRvL..78.3606B — gr-qc/9703066
  41. ↑ Brill D. R., Lindquist R. W. Interaction Energy in Geometrostatics // Physical Review. — 1963. — В. 1. — Т. 131. — С. 471-476. — doi:10.1103/PhysRev.131.471 — Bibcode: 1963PhRv..131..471B
  42. ↑ Bowen J. M., York Jr., J. W. Time-asymmetric initial data for black holes and black-hole collisions // Physical Review D. — 1980. — В. 8. — Т. 21. — С. 2047-2056. — doi:10.1103/PhysRevD.21.2047 — Bibcode: 1980PhRvD..21.2047B
  43. ↑ Baumgarte T. W., Shapiro S. L. Numerical Relativity, 2010, Subsec. 13.1.1 Singularity avoiding coordinates
  44. ↑ Baker J. G., Centrella J., Choi D.-I., Koppitz M., van Meter J. Gravitational-Wave Extraction from an Inspiraling Configuration of Merging Black Holes // Physical Review Letters. — 2006. — В. 11. — Т. 96. — С. 111102. — doi:10.1103/PhysRevLett.96.111102 — Bibcode: 2006PhRvL..96k1102B — gr-qc/0511103
  45. ↑ Campanelli M., Lousto C. O., Marronetti P., Zlochower Y. Accurate Evolutions of Orbiting Black-Hole Binaries without Excision // Physical Review Letters. — 2006. — В. 11. — Т. 96. — С. 111101. — doi:10.1103/PhysRevLett.96.111101 — Bibcode: 2006PhRvL..96k1101C — gr-qc/0511048
  46. ↑ Baumgarte T. W., Shapiro S. L. Numerical Relativity, 2010, Subsec. 13.1.3 The moving puncture method
  47. ↑ Choptuik, M. W. (1989). «Experiences with an adaptive mesh refinement algorithm in numerical relativity». In Evans, C.; Finn, L.; Hobill, D. (eds.). Frontiers in numerical relativity. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521366666.
  48. ↑ Choptuik M. W. Universality and scaling in gravitational collapse of a massless scalar field // Physical Review Letters. — 1993. — В. 1. — Т. 70. — С. 9-12. — doi:10.1103/PhysRevLett.70.9 — Bibcode: 1993PhRvL..70....9C
  49. ↑ Choptuik M. W., Hirschmann E. W., Liebling S. L., Pretorius F. Critical collapse of the massless scalar field in axisymmetry // Physical Review D. — 2003. — В. 4. — Т. 68. — С. 044007. — doi:10.1103/PhysRevD.68.044007 — Bibcode: 2003PhRvD..68d4007C — gr-qc/0305003
  50. ↑ Hern, Simon David (1999). Numerical relativity and inhomogeneous cosmologies. Ph.D. Dissertation, Cambridge University.
  51. ↑ Belanger, Z. B. (2001). Adaptive mesh refinement in the T2 symmetric spacetime. Master's Thesis, Oakland University.
  52. ↑ Schnetter E., Hawley S. H., Hawke I. Evolutions in 3D numerical relativity using fixed mesh refinement // Classical and Quantum Gravity. — 2004. — Т. 21. — С. 1465-1488. — doi:10.1088/0264-9381/21/6/014 — Bibcode: 2004CQGra..21.1465S — gr-qc/0310042
  53. ↑ Imbiriba B., Baker J., Choi D.-I., Centrella J., Fiske D. R., Brown J. D., van Meter J. R., Olson K. Evolving a puncture black hole with fixed mesh refinement // Physical Review D. — 2004. — В. 12. — Т. 70. — С. 124025. — doi:10.1103/PhysRevD.70.124025 — Bibcode: 2004PhRvD..70l4025I — gr-qc/0403048
  54. ↑ Fiske D. R., Baker J. G., van Meter J. R., Choi D.-I., Centrella J. M. Wave zone extraction of gravitational radiation in three-dimensional numerical relativity // Physical Review D. — 2005. — В. 10. — Т. 71. — С. 104036. — doi:10.1103/PhysRevD.71.104036 — Bibcode: 2005PhRvD..71j4036F — gr-qc/0503100
  55. ↑ Etienne Z. B., Liu Y. T., Shapiro S. L., Baumgarte T. W. General relativistic simulations of black-hole-neutron-star mergers: Effects of black-hole spin // Physical Review D. — 2009. — В. 4. — Т. 79. — С. 044024. — doi:10.1103/PhysRevD.79.044024 — Bibcode: 2009PhRvD..79d4024E — 0812.2245
  56. ↑ Lousto C. O., Zlochower Y. Foundations of multiple-black-hole evolutions // Physical Review D. — 2008. — В. 2. — Т. 77. — С. 024034. — doi:10.1103/PhysRevD.77.024034 — Bibcode: 2008PhRvD..77b4034L — 0711.1165
  57. ↑ Campanelli M., Lousto C. O., Zlochower Y., Merritt D. Maximum Gravitational Recoil // Physical Review Letters. — 2007. — В. 23. — Т. 98. — С. 231102. — doi:10.1103/PhysRevLett.98.231102 — Bibcode: 2007PhRvL..98w1102C — gr-qc/0702133
  58. ↑ Healy J., Herrmann F., Hinder I., Shoemaker D. M., Laguna P., Matzner R. A. Superkicks in Hyperbolic Encounters of Binary Black Holes // Physical Review Letters. — 2009. — В. 4. — Т. 102. — С. 041101. — doi:10.1103/PhysRevLett.102.041101 — Bibcode: 2009PhRvL.102d1101H — 0807.3292
  59. ↑ Campanelli M., Lousto C. O., Zlochower Y., Krishnan B., Merritt D. Spin flips and precession in black-hole-binary mergers // Physical Review D. — 2007. — В. 6. — Т. 75. — С. 064030. — doi:10.1103/PhysRevD.75.064030 — Bibcode: 2007PhRvD..75f4030C — gr-qc/0612076
  60. ↑ Hinder I., Buonanno A., Boyle M., Etienne Z. B., Healy J., Johnson-McDaniel N. K., Nagar A., Nakano H., Pan Y., Pfeiffer H. P., Pürrer M., Reisswig C., Scheel M. A., Schnetter E., Sperhake U., Szilágyi B., Tichy W., Wardell B., Zenginoğlu A., Alic D., Bernuzzi S., Bode T., Brügmann B., Buchman L. T., Campanelli M., Chu T., Damour T., Grigsby J. D., Hannam M., Haas R., Hemberger D. A., Husa S., Kidder L. E., Laguna P., London L., Lovelace G., Lousto C. O., Marronetti P., Matzner R. A., Mösta P., Mroué A., Müller D., Mundim B. C., Nerozzi A., Paschalidis V., Pollney D., Reifenberger G., Rezzolla L., Shapiro S. L., Shoemaker D., Taracchini A., Taylor N. W., Teukolsky S. A., Thierfelder M., Witek H., Zlochower Y. Error-analysis and comparison to analytical models of numerical waveforms produced by the NRAR Collaboration // Classical and Quantum Gravity. — 2013. — В. 2. — Т. 31. — С. 025012. — doi:10.1088/0264-9381/31/2/025012 — Bibcode: 2013CQGra..31b5012H — 1307.5307
  61. ↑ The LIGO Scientific Collaboration, the Virgo Collaboration Tests of general relativity with GW150914(անգլ.) // ArXiv e-prints. — 2016. — Bibcode: 2016arXiv160203841T — 1602.03841 Архивировано из первоисточника 15 փետրվարի 2016.

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հանրագիտարաններ
Դասագրքեր
  • Baumgarte T. W., Shapiro S. L. Numerical Relativity: Solving Einstein's Equations on the Computer. — Cambridge University Press, 2010. — ISBN 9780521514071
  • Alcubierre M. Introduction to 3+1 Numerical Relativity. — Oxford University Press, 2008. — ISBN 9780199205677
  • Bona C., Palenzuela-Luque C., Bona-Casas C. Elements of Numerical Relativity and Relativistic Hydrodynamics: From Einstein's Equations to Astrophysical Simulations. — 2-е изд. — Springer-Verlag, 2009. — (Lecture Notes in Physics, Том 783). — ISBN 9783642011634
  • Gourgoulhon E. 3+1 Formalism in General Relativity: Bases of Numerical Relativity. — Springer-Verlag, 2012. — (Lecture Notes in Physics, Том 846). — ISBN 9783642245244

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ակնարկներ
Տարբեր
✯
 Այս հոդվածն ընտրվել է Հայերեն Վիքիպեդիայի օրվա հոդված:
Ստացված է «https://hy.wikipedia.org/w/index.php?title=Քանակական_հարաբերականություն&oldid=9549591» էջից