Տեսակարար ուղեծրային էներգիա

Տեսակարար ուղեծրային էներգիան $\varepsilon$ (կամ տեսակարար vis-viva էներգիա) գրավիտացիոն երկու մարմինների խնդրի մեջ երկու պտտվող մարմինների մեխանիկական էներգիայի (նրանց փոխադարձ պոտենցիալ էներգիայի, $\varepsilon _{p}$, և նրանց կինետիկ էներգիայի, $\varepsilon _{k}$) և նրանց նվազեցված զանգվածի գումարի հաստատուն քանորդն է:

Ըստ ուղեծրային էներգիայի պահպանման հավասարման (նաև կոչվում է vis-viva հավասարում), տեսակարար ուղեծրային էներգիան ժամանակի ընթացքում չի փոխվում՝ $${\begin{aligned}\varepsilon &=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}$$ որտեղ

• $v$-ն հարաբերական ուղեծրային արագությունն է;
• $r$-ը մարմինների միջև ուղեծրային հեռավորությունն է;
• $\mu ={G}(m_{1}+m_{2})$-ն մարմինների ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետրերի գումարն է;
• $h$-ը տեսակարար հարաբերական անկյունային մոմենտն է՝ հարաբերական անկյունային մոմենտը բաժանած նվազեցված զանգվածի վրա։
• $e$-ը էքսցենտրիսիտետն է։
• $a$-ը մեծ կիսաառանցքը է։

Դա տեսակարար էներգիայի տեսակ է, որը սովորաբար արտահայտվում է ${\frac {\text{MJ}}{\text{կգ}}}$ (մեգաջոուլ մեկ կիլոգրամի համար) կամ ${\frac {{\text{կմ}}^{2}}{{\text{վ}}^{2}}}$ (քառակուսի կիլոմետր մեկ քառակուսի վայրկյանի համար) միավորներով։ Էլիպտիկ ուղեծրի համար տեսակարար ուղեծրային էներգիան մեկ կիլոգրամ զանգվածը երկրորդ տիեզերական արագությամբ (պարաբոլիկ հետագիծ) արագացնելու համար անհրաժեշտ լրացուցիչ էներգիայի բացասականն է։ Հիպերբոլիկ ուղեծրի համար այն հավասար է պարաբոլիկ ուղեծրի համեմատ ավելցուկային էներգիային։ Այս դեպքում տեսակարար ուղեծրի էներգիան նաև անվանում են բնութագրող էներգիա։

Հավասարումներ տարբեր ուղեծրերի համար

Էլիպտիկ ուղեծրի համար, տեսակարար ուղեծրի էներգիայի հավասարումը, երբ համակցվում է ուղեծրի ապսիդներից մեկում տեսակարար անկյունային մոմենտի պահպանման հետ, պարզեցվում է հետևյալ կերպ՝

$$\varepsilon =-{\frac {\mu }{2a}}$$

որտեղ

• $\mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)$-ը ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետրն է;
• $a$-ը ուղեծրի մեծ կիսաառանցքն է։

Ապացույց

Տեսակարար անկյունային մոմենտը (h) էլիպտիկ ուղեծրի համար տրված է՝ $$h^{2}=\mu p=\mu a\left(1-e^{2}\right)$$ օգտագործենք տեսակարար ուղեծրային էներգիայի հավասարման ընդհանուր ձևը՝ $$\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}$$ քանի որ, որ պերիկենտրոնում հարաբերական արագությունը կազմում է $$v_{p}^{2}={h^{2} \over r_{p}^{2}}={h^{2} \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu a\left(1-e^{2}\right) \over a^{2}(1-e)^{2}}={\mu \left(1-e^{2}\right) \over a(1-e)^{2}}$$ Այսպիսով, մեր տեսակարար ուղեծրային էներգիայի հավասարումը դառնում է՝ $$\varepsilon ={\frac {\mu }{a}}{\left[{1-e^{2} \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{(1-e)(1+e) \over 2(1-e)^{2}}-{1 \over 1-e}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{1+e \over 2(1-e)}-{2 \over 2(1-e)}\right]}={\frac {\mu }{a}}{\left[{e-1 \over 2(1-e)}\right]}$$ և վերջապես վերջին պարզեցմամբ ստանում ենք՝ $$\varepsilon =-{\mu \over 2a}$$

Պարզեցում

պարաբոլիկ ուղեծիր համար այս հավասարումը պարզեցվում է մինչև $$\varepsilon =0.$$

Հիպերբոլիկ հետագծի համար տեսակարար ուղեծրային էներգիայի հավասարումը տրվում է նաև՝ $$\varepsilon ={\mu \over 2a}.$$

Այս դեպքում տեսակարար ուղեծրային էներգիան կոչվում է նաև բնութագրող էներգիա (կամ $C_{3}$) և հավասար է պարաբոլիկ ուղեծրի համար նախատեսված էներգիայի համեմատ ավելցուկային տեսակարար էներգիային։

Այն կապված է հիպերբոլիկ ավելցուկային արագությանը $v_{\infty }$-ի (ուղեծրային արագությունը անվերջության մեջ) հետ՝ $$2\varepsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}.$$

Այն կարևոր է միջմոլորակային առաքելությունների համար։

Այսպիսով, եթե ուղեծրի դիրքի վեկտորը ($\mathbf {r}$) և |ուղեծրի արագության վեկտորը ($\mathbf {v}$) հայտնի են մեկ դիրքում, և $\mu$-ն հայտնի է, ապա էներգիան կարող է հաշվարկվել և դրանից, ցանկացած այլ դիրքի համար, ուղեծրային արագությունը։

Փոփոխության արագություն

Էլիպտիկ ուղեծրի համար մեծ կիսաառանցքի փոփոխության նկատմամբ տեսակարար ուղեծրի էներգիայի փոփոխության արագությունը կազմում է $${\frac {\mu }{2a^{2}}}$$ որտեղ

• $\mu ={G}(m_{1}+m_{2})$-ը ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետրն է;
• $a\,\!$-ը ուղեծրի մեծ կիսաառանցքն է։

Շրջանաձև ուղեծրերի դեպքում այս արագությունը ուղեծրում ձգողականության կեսն է։ Սա համապատասխանում է այն փաստին, որ նման ուղեծրերի համար ընդհանուր էներգիան պոտենցիալ էներգիայի կեսն է, քանի որ կինետիկ էներգիան պոտենցիալ էներգիայի կեսից պակաս է։

Լրացուցիչ էներգիա

Եթե կենտրոնական մարմինը ունի «R» շառավիղ, ապա էլիպտիկ ուղեծրի լրացուցիչ տեսակարար էներգիան՝ համեմատած մակերեսին անշարժ լինելու հետ, կազմում է

$$-{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}$$

$2a-R$ մեծությունը էլիպսի մակերևույթից բարձրությունն է գումարած պերիկենտրոնի հեռավորությունը: Երկրի համար $a$-ն $R$-ից մի փոքր ավելի լրացուցիչ տեսակարար էներգիան կազմում է $(gR/2)$, որը արագության հորիզոնական բաղադրիչի կինետիկ էներգիան է, այսինքն՝ ${\textstyle {\frac {1}{2}}V^{2}={\frac {1}{2}}gR}$, $V={\sqrt {gR}}$:

Օրինակներ

ՄՏԿ

Միջազգային տիեզերական կայանը ունի 91,74 րոպե (5504 վրկ] ուղեծրային պարբերություն, հետևաբար Կեպլերի երրորդ օրենքի համաձայն նրա ուղեծրի մեծ կիսաառանցքը 6738  կմ է։

Այս ուղեծրի հետ կապված տեսակարար ուղեծրային էներգիան −29,6 ՄՋ/կգ է՝ պոտենցիալ էներգիան −59,2 ՄՋ/կգ է, իսկ կինետիկ էներգիան՝ 29,6 ՄՋ/կգ։ Համեմատած մակերևույթի պոտենցիալ էներգիայի հետ, որը կազմում է −62,6 ՄՋ/կգ, լրացուցիչ պոտենցիալ էներգիան կազմում է 3,4 ՄՋ/կգ, իսկ ընդհանուր լրացուցիչ էներգիան՝ 33,0 ՄՋ/կգ: Միջին արագությունը 7,7 կմ/վ է, այս ուղեծրին հասնելու զուտ հավելյալ արագությունը՝ 8,1 կմ/վ (իրական հավելյալ արագությունըն սովորաբար 1,5–2,0 կմ/վ-ով ավելին է մթնոլորտային դիմադրության և գրավիտացիոն կորուստների պատճառով):

Աճը մեկ մետրի համար կկազմի 4,4 Ջ/կգ՝ այս արագությունը համապատասխանում է տեղական ձգողականության 8,8 մ/վ²-ի կեսին:

100 կմ բարձրության համար (շառավիղը՝ 6471 կմ):

Էներգիան կազմում է −30,8 ՄՋ/կգ՝ պոտենցիալ էներգիան՝ −61,6 ՄՋ/կգ, իսկ կինետիկ էներգիան՝ 30,8 ՄՋ/կգ: Համեմատած մակերևույթի պոտենցիալ էներգիայի հետ, որը կազմում է −62,6 ՄՋ/կգ: Լրացուցիչ պոտենցիալ էներգիան կազմում է 1,0 ՄՋ/կգ, ընդհանուր լրացուցիչ էներգիան՝ 31,8 ՄՋ/կգ:

Աճը մեկ մետրի համար կկազմի 4,8 Ջ/կգ՝ այս արագությունը համապատասխանում է տեղական ձգողականության կեսին՝ 9,5 մ/վրկ²: Արագությունը 7,8 կմ/վ է, այս ուղեծրին հասնելու համար զուտ հավելյալ արագությունը՝ 8,0 կմ/վ։

Հաշվի առնելով Երկրի պտույտը, հավելյալ արագությունը մինչև 0,46 կմ/վ պակաս է (սկսած հասարակածից և դեպի արևելք շարժվելով) կամ ավելին (եթե շարժվում է դեպի արևմուտք)։

Տես նաև

• Ցիոլկովսկու հավասարում
• Բնութագրող էներգիա