Տեսակարար անկյունային մոմենտ

Տեսակարար անկյունային մոմենտը (հաճախ նշանակվում է ${\vec {h}}$ կամ $\mathbf {h}$), երկնային մեխանիկայում մարմնի ստացվում է այդ մարմնի անկյունային մոմենտը բաժանած նրա զանգվածի վրա: Երկու պտտվող մարմինների դեպքում դա նրանց հարաբերական դիրքի և հարաբերական գծային մոմենտի վեկտորական արտադրյալն է, բաժանած տվյալ մարմնի զանգվածի վրա։ Տեսակարար հարաբերական անկյունային մոմենտը կարևոր դեր է խաղում երկու մարմինների խնդրի վերլուծության մեջ, քանի որ այն մնում է հաստատուն տվյալ ուղեծրի համար իդեալական պայմաններում: «Տեսակարար» բառը այս համատեքստում ցույց է տալիս անկյունային մոմենտը միավոր զանգվածի դեպքում: Տեսակարար հարաբերական անկյունային մոմենտը Միավորների միջազգային համակարգում չափվում է քառակուսի մետր վայրկյանով։

Սահմանում

Տեսակարար անկյունային մոմենտը սահմանվում է որպես հարաբերական դիրքի վեկտոր $\mathbf {r}$ և հարաբերական արագության վեկտոր $\mathbf {v}$-ի վեկտորական արտադրյալ: $$\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} ={\frac {\mathbf {L} }{m}}$$

որտեղ $\mathbf {L}$-ը անկյունային մոմենտի վեկտորն է, որը սահմանվում է որպես $\mathbf {r} \times m\mathbf {v}$։

$\mathbf {h}$ վեկտորը միշտ ուղղահայաց է ակնթարթային օսկուլացնող ուղեծրային հարթությանը, որը համընկնում է ակնթարթային խոտորված ուղեծրի հետ։ Այն պարտադիր չէ, որ ուղղահայաց լինի միջին ուղեծրային հարթությանը ժամանակի ընթացքում։

Երկու մարմինների դեպքում հաստատունության ապացույց

Դիրքի վեկտոր $\mathbf {r}$, արագության վեկտոր $\mathbf {v}$, իրական անոմալիա $\theta$ և $m_{2}$ թռիչքի հետագծի անկյուն $\phi$՝ $m_{1}$-ի շուրջ ուղեծրում։ Նկարված են նաև էլիպսի ամենակարևոր չափումները (որոնց թվում է, նկատի ունեցեք, որ իրական անոմալիա $\theta$-ը պիտակավորված է որպես $\nu$)։

Որոշակի պայմաններում կարելի է ապացուցել, որ տեսակարար անկյունային մոմենտը հաստատուն է։ Այս ապացույցի պայմաններն են՝

• Մեկ մարմնի զանգվածը շատ ավելի մեծ է, քան մյուսի զանգվածը։ ($m_{1}\gg m_{2}$)
• Կոորդինատային համակարգը իներցիալ է։
• Յուրաքանչյուր մարմին կարող է դիտարկվել որպես գնդաձև սիմետրիկ կետային զանգված։
• Համակարգի վրա, բացի երկու մարմինները միացնող գրավիտացիոն ուժից, այլ ուժեր չեն ազդում։

Ապացույց

Ապացույցը սկսվում է երկու մարմնի շարժման հավասարումից, որը ստացվում է Նյուտոնի համընդհանուր ձգողականության օրենքից։ $${\ddot {\mathbf {r} }}+{\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0$$

որտեղ՝

• $\mathbf {r}$-ը $m_{1}$-ից մինչև $m_{2}$ դիրքի վեկտորն է՝ սկալյար մեծությամբ $r$։
• ${\ddot {\mathbf {r} }}$-ը $\mathbf {r}$-ի երկրորդ ժամանակային ածանցյալն է։ (արագացում)
• $G$-ը գրավիտացիոն հաստատունն է։

Դիրքի վեկտորի և շարժման հավասարման վեկտորական արտադրյալը հետևյալն է՝

$$\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=0$$

Քանի որ $\mathbf {r} \times \mathbf {r} =0$ երկրորդ անդամը կրճատվում է՝

$$\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0$$

Կարելի է նաև եզրակացնել, որ՝ $${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}$$

Այս երկու հավասարումների միացումը տալիս է՝ $${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)=0$$

Քանի որ ժամանակի ածանցյալը հավասար է զրոյի, $\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}$ մեծությունը հաստատուն է։ Օգտագործելով արագության վեկտորը $\mathbf {v}$ դիրքի փոփոխության արագության փոխարեն, իսկ $\mathbf {h}$-ը՝ անկյունային իմպուլսի համար. $$\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v}$$-ը հաստատուն է։

Սա տարբերվում է իմպուլսի նորմալ կառուցումից՝ $\mathbf {r} \times \mathbf {p}$, քանի որ այն չի ներառում տվյալ մարմնի զանգվածը։

Կեպլերի մոլորակային շարժման օրենքները

Հիմնական հոդված՝ Կեպլերի օրենքներ

Կեպլերի մոլորակային շարժման օրենքները կարող են ապացուցվել գրեթե անմիջապես վերը նշված հարաբերություններով։

Առաջին օրենք

Ապացույցը կրկին սկսվում է երկու մարմինների խնդրի հավասարումից։ Այս անգամ վեկտորական արտադրյալը բազմապատկվում է հարաբերական անկյունային մոմենտով $${\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}\times \mathbf {h}$$

Ձախ կողմը հավասար է ածանցյալին ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)}$, քանի որ անկյունային մոմենտը հաստատուն է։

Որոշ քայլերից հետո (որոնք ներառում են վեկտորի եռակի արտադրյալի օգտագործումը և սկալյար ${\dot {r}}$-ը որպես ճառագայթային արագություն սահմանելը, ի տարբերություն ${\dot {\mathbf {r} }}$ վեկտորի նորմայի), աջ կողմը դառնում է հետևյալը՝ $$-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {h} \right)=-{\frac {\mu }{r^{3}}}\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -r^{2}\mathbf {v} \right)=-\left({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}\mathbf {r} -{\frac {\mu }{r}}\mathbf {v} \right)=\mu {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)$$

Այս երկու արտահայտությունները հավասարեցնելը և ժամանակի ընթացքում ինտեգրելը հանգեցնում է (ինտեգրման հաստատունով $\mathbf {C}$) $${\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} =\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C}$$

Այժմ այս հավասարումը բազմապատկվում է (սկալյար արտադրյալ) $\mathbf {r}$-ով և վերադասավորվում է $${\begin{aligned}\mathbf {r} \cdot \left({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {h} \right)&=\mathbf {r} \cdot \left(\mu {\frac {\mathbf {r} }{r}}+\mathbf {C} \right)\\\Rightarrow \left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {h} &=\mu r+rC\cos \theta \\\Rightarrow h^{2}&=\mu r+rC\cos \theta \end{aligned}}$$

Վերջապես ստացվում է ուղեծրի հավասարումը $$r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \theta }}$$

այն է կոնական հատույթի հավասարում բևեռային կոորդինատներով կիսաֆոկալ առանցքով ${\textstyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}$ և էքսցենտրիսիտետով ${\textstyle e={\frac {C}{\mu }}}$-ով։

Երկրորդ օրենք

Երկրորդ օրենքը անմիջապես բխում է վերը նշված երեք հավասարումներից երկրորդից՝ տեսակարար հարաբերական անկյունային մոմենտի բացարձակ արժեքը հաշվարկելու համար:

Եթե ${\textstyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}}{h}}\,\mathrm {d} \theta }$ հավասարման այս ձևը կապենք ${\textstyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}}{2}}\,\mathrm {d} \theta }$ հարաբերության հետ՝ անվերջ փոքր անկյուն ունեցող $\mathrm {d} \theta$ (մեկ շատ փոքր կողմով եռանկյուն) հատվածի մակերեսի համար, ապա հավասարումը հետևյալն է՝

$$\mathrm {d} t={\frac {2}{h}}\,\mathrm {d} A$$

Երրորդ օրենք

Կեպլերի երրորդ օրենքը երկրորդ օրենքի ուղղակի հետևանք է։ Մեկ պտույտի վրա ինտեգրումը տալիս է ուղեծրային պարբերություն $$T={\frac {2\pi ab}{h}}$$

էլիպսի $\pi ab$ մակերեսի համար։ Փոքր կիսաառանցքը $b={\sqrt {ap}}$-ով փոխարինելով, իսկ տեսակարար հարաբերական անկյունային մոմենտը՝ $h={\sqrt {\mu p}}$-ով, ստացվում է $$T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}$$

Այսպիսով, արբանյակի մեծ կիսաառանցքի և ուղեծրային պարբերության միջև կա կապ, որը կարող է բերվել կենտրոնական մարմնի հաստատունի։

Տես նաև

• Տեսակարար ուղեծրային էներգիա, երկու մարմինների խնդրի մեկ այլ պահպանվող մեծություն։