Տանգենսների թեորեմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Տանգենսների թեորեմ, եռանկյան երկու անկյունների տանգենսները և այդ անկյունների դիմաց ընկած կողմերի երկարություններն իրար հետ կապող թեորեմ[1]:

Չնայած նրան, որ տանգենսների թոերեմն այնպիսի լայն հայտնիություն չունի, ինչպես սինուսների և կոսինուսների թեորեմները, բավականին օգտակար թեորեմա է, և կարող է կիրառվել այն դեպքերում, երբ հայտնի են եռանկյան երկու կողմերն ու մի անկյունը, կամ, ընդհակառակը, երկու անկյունը և մեկ կողմը:

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տանգենսների թեորեմը գնդային անկյունների համար XIII դարում նկարագրել է պարսկական մաթեմատիկ Նասր ալ-Դին Թուսին (1201—1274), որը նաև իր հինգ տոմանոց «Տրակտատ լիարժեք քառանկյան մասին» աշխատության մեջ հարթ եռանկյունների համար ներկայացրել է սինուսների թեորեման[2][3]:

Թեորեմն անվանում են նաև «Ռեգիոմոնտանի բանաձև», գերմանացի աստղագետ և մաթեմատիկոս Յոհաննա Մյուլլերի պատվին, ով դուրս էր բերել այդ բանաձևը (լատ.՝ Regiomontanus): Մյուլլերին անվանեցին «Կյոնիգսբերժեց», գերմաներն՝ König՝ արքա, Berg՝ սար, իսկ լատիներեն «արքա» և «սար» ուղղական հովով՝ regis և montis: Այստեղից «Ռեգիոմոնտան»-ը Մյուլլերի լատինացված ազգանունն է[4]:

Նկար 1. Եռանկյուն

Նկար 1-ում a, b, և c-ն եռանկյան երեք կողմերի երկարություններն են, α, β, և γ-ն համապատասխան կողմերի դիմաց ընկած անկյուներն են (դիմացի անկյունները): Տանգենսների թեորեմը պնդում է, որ

Ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տանգենսների թեորեմը կարելի է ապացուցել սինուսների թեորեմի միջոցով.

Թող՝

որտեղից

Այստեղից հետևում է, որ

Հայտնի եռանկյունաչափական նույնությունն օգտագործելով

ստանում ենք.

Երկու անկյունների սինուսների գումարի և տարբերության փոխարեն ապացույցի մեջ կարելի է կիրառել հետևյալ հայտնի նույնությունը.

:

Մոլվեյդի բանաձևերի կիրառմամբ մեկ այլ ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

որտեղ -ն համապատասխան գագաթներով եռանկյան անկյուններն են և -ն՝ համապատասխանաբար և , և , և գագաթների միջև ընկած կողմերի երկարությունները:

  • Մասերի բաժանելով վերջին հավասարությունների աջ և ձախ մասերը և իրար հավասարեցնելով ստացված երկու արդյունքները, ունենում ենք.
  • Հաշվի առնելով, որ , վերջնական ունենում ենք.

ինչն էլ պահանջվում էր ապացուցել:

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Eli Maor. Trigonometric Delights // Princeton University Press, 2002.
  2. Marie-Thérèse Debarnot Trigonometry // Encyclopedia of the history of Arabic science, volume 2 / Rushdī Rāshid, Régis Morelon. — Routledge, 1996. — С. 182. — ISBN 0415124115
  3. Q. Mushtaq, J. L. Berggren Trigonometry // History of Civilizations of Central Asia, volume 4, rart 2 / Bosworth C. E., Asimov M. S.. — Motilal Banarsidass Publ., 2002. — С. 190. — ISBN 8120815963
  4. О. В. Мантуров. Толковый словарь математических терминов