Վեկտորային ֆունկցիա

Վեկտորային ֆունկցիա

Ենթակատեգորիա	• relation  • Հարաբերություններ   • ֆունկցիա
Codomain	վեկտորական տարածություն
Հակառակը	scalar function

Վեկտորային ֆունկցիա, ֆունկցիա, որի արժեքները վեկտորներ են երկու, երեք կամ ավելի չափանի $\mathbb {V}$ վեկտորական տարածության մեջ։ Ֆունկցիայի արգումենտները կարող են լինել՝

• մեկ սկալյար փոփոխական․ այդ դեպքում վեկտորային ֆունկցիայի արժեքները $\mathbb {V}$-ում որոշում են որոշակի կոր,
• m սկալյար փոփոխականներ․ այդ դեպքում վեկտորային ֆունկցիայի արժեքները $\mathbb {V}$-ում ձևավորում են, ընդհանուր առմամբ, m-չափանի մակերևույթ,
• վեկտորային փոփոխական․ այդ դեպքում վեկտորային ֆունկցիան սովորաբար դիտվում է որպես վեկտորային դաշտ $\mathbb {V}$-ում։

Մեկ սկալյար փոփոխականի վեկտորային ֆունկցիա

Պարզության համար հետագայում կսահմանափակվենք եռաչափ տարածության դեպքով, թեև ընդհանուր դեպքի ընդլայնումը դժվար չէ: Մեկ սկալյար փոփոխականի վեկտորային ֆունկցիա $\mathbf {r} (t)$-ն ցույց է տալիս իրական թվերի որոշակի տիրույթ $t_{1}\leqslant t\leqslant t_{2}$ տարածական վեկտորների բազմության մեջ (ինտերվալը կարող է լինել նաև անսահման):

Ընտրելով կոորդինատների միավորի վեկտորները $\mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}}$, մենք կարող ենք վեկտորային ֆունկցիան բաժանել երեք կոորդինատային ֆունկցիաների x ( t ), y ( t ), z ( t ):

$\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {\hat {i}} +y(t)\mathbf {\hat {j}} +z(t)\mathbf {\hat {k}}$

Որպես շառավիղ–վեկտորներ, վեկտորային ֆունկցիայի արժեքները տարածության մեջ կազմում են որոշակի կոր, որի համար t-ն պարամետր է:

Վեկտորային ֆունկցիայի սահմանը

Վեկտորային ֆունկցիա $\mathbf {r} (t)$ սահման ունի $\mathbf {r_{0}}$ երբ $t\to t_{0}$ (կամ երբ $t\to \infty$ ), Եթե

$\lim _{t\to t_{0}}|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0\quad (\lim _{t\to \infty }|\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}} |=0)$

վեկտորային ֆունկցիայի սահման

(այսուհետ $|\mathbf {v} |$ նշանակում է $\mathbf {v}$ վեկտորի մոդուլ)։ Այս սահմանը կարող է վերաշարադրվել առանցմոդուլի։

$\lim _{t\to t_{0}}\mathbf {r} (t)=\mathbf {r_{0}} \quad (\lim _{t\to \infty }\mathbf {r} (t)=\mathbf {r_{0}} )$

Այլ կերպ ասած, սա նշանակում է, որ երկրաչափական փոփոխական վեկտորը $\mathbf {r} (t)$ երբ $t\to t_{0}$ ձգտում է հաստատուն $\mathbf {r_{0}}$ վեկտորի երկարությամբ և ուղղությամբ :

Ընտրենք ֆիքսված կետ $O$, որի մեջ տեղադրում ենք փոփոխական վեկտորի սկիզբը $\mathbf {r} (t)={\overrightarrow {OR}}(t)$ (տես նկարը աջ կողմում): Այն դեպքում, երբ $t\to t_{0}$ շարժվող վերջը $R$ փոփոխական վեկտոր ${\overrightarrow {OR}}(t)$ ձգտում է ֆիքսված կետի $R_{0}$–ի, ֆիքսված վեկտոր ${\overrightarrow {OR_{0}}}=\mathbf {r_{0}}$ կա փոփոխական վեկտորի սահման ${\overrightarrow {OR}}(t)=\mathbf {r} (t)$։ Վեկտորային տարբերությունը՝ $\mathbf {r} (t)-\mathbf {r_{0}}$ իրենից ներկայացնում է ${\overrightarrow {R_{0}R}}(t)$, իսկ վերջինիս մոդուլը անվերջ փոքր է :

Այն դեպքում, երբ վեկտորային ֆունկցիայի մոդուլը $|\mathbf {r} (t)|$ անվերջ փոքր է, իսկ $\mathbf {r}$ վեկտորը կոչվում է անվերջ փոքր։

Վեկտորային ֆունկցիայի անընդհատությունը որոշվում է այնպես, ինչպես սովորական սկալյար ֆունկցիայի անընդհատությունը (այսինքն՝ հետևյալ կերպ

$\mathbf {r} (t)=\lim _{\Delta t\to 0}\mathbf {r} (t+\Delta t)$)

այս դեպքում վեկտորի ֆունկցիայի անընդհատությունը կարող է հստակ արտահայտվել որպես նրա հոդոգրաֆի հոծ գիծ։ Վեկտորային ֆունկցիա $\mathbf {r} (t)$ անընդհատ (վեկտորային) ֆունկցիան է $t$ արգումենտից կախված այն և միայն այն դեպքում, եթե վեկտորի կոորդինատները նույնպես անընդհատ (սկալյար) ֆունկցիաներ են $t$–ից կախված .

Վեկտորային ֆունկցիայի սահմանն ունի սովորական հատկություններ

• Վեկտորային ֆունկցիաների գումարի սահմանը հավասար է գումարելիների սահմանների գումարին (ենթադրելով, որ դրանք կան)։
• Վեկտորային ֆունկցիաների սկալյար արտադրյալի սահմանը հավասար է արտադրիչների սահմանների սկալյար արտադրյալին։
• Վեկտորային ֆունկցիաների վեկտորական արտադրյալի սահմանը հավասար է արտադրիչների սահմանների վեկտորային արտադրյալին։

Վեկտորային ֆունկցիայի ածանցյալը ըստ պարամետրի

Սահմանենք վեկտորային ֆունկցիայի $\mathbf {r} (t)$ ածանցյալը ըստ պարամետրի

${\frac {d}{dt}}\mathbf {r} (t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)}{h}}$.

Եթե ածանցյալը $t$ կետում գոյություն ունի, ասվում է, որ վեկտորային ֆունկցիան այս կետում դիֆերենցելի է: Ածանցյալի համար կոորդինատային ֆունկցիաները կլինեն $x'(t),\ y'(t),\ z'(t)$։

Վեկտորային ֆունկցիայի ածանցյալի հատկությունները (ենթադրվում է, որ ածանցյալներ գոյություն ունեն)։

• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)+\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}+{\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}$ — գումարի ածանցյալը ածանցյալների գումարն է
• ${\frac {d}{dt}}(f(t)\mathbf {r} (t))={\frac {df(t)}{dt}}\mathbf {r} (t)+f(t){\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}$ — այստեղ f(t)-ն դիֆերենցելի սկալյար ֆունկցիա է:
• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t))={\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)+\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}$ — սկալյար արտադրյալի դիֆերենցումը
• ${\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t)\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf {r_{1}} (t)}{dt}}\mathbf {r_{2}} (t)\right]+\left[\mathbf {r_{1}} (t){\frac {d\mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]$ — վեկտորային արտադրյալի դիֆերենցումը
• ${\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t))=\left({\frac {d\mathbf {a} (t)}{dt}},\mathbf {b} (t),\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),{\frac {d\mathbf {b} (t)}{dt}},\mathbf {c} (t)\right)+\left(\mathbf {a} (t),\mathbf {b} (t),{\frac {d\mathbf {c} (t)}{dt}}\right)$ — խառը արտադրյալի դիֆերենցումը

Մի քանի սկալյար փոփոխականների վեկտորային ֆունկցիա

Պարզության համար մենք կսահմանափակվենք եռաչափ տարածության մեջ երկու փոփոխականի դեպքով: Վեկտորային ֆունկցիայի արժեքներ $\mathbf {r} (u,v)$ (դրանց հոդոգրաֆը ) ընդհանուր առմամբ ձևավորում է երկչափ մակերևույթ, որի վրա u, v արգումենտները կարող են դիտվել որպես մակերևույթի կետերի ներքին կոորդինատներ։

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,\ v)$ հավասարումը կոորդինատներուվ ունի հետևյալ ձևը

$x=x(u,\ v);\ y=y(u,\ v);\ z=z(u,\ v)$

Կոորդինատային ցանց գնդի վրա

Մեկ փոփոխականի դեպքում մենք կարող ենք սահմանել վեկտորային ֆունկցիայի ածանցյալները, որոնցից այժմ կլինեն երկուսը՝ ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}$։ Մակերեւույթի մի հատվածը կլինի չվերասեռված (այսինքն, մեր դեպքում, երկչափ), եթե դրա վրա $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right]$ չի դառնում նույնաբար զրո։

Այս մակերևույթի վրա հարմար է կորեր սահմանել հետևյալ ձևով՝

$u=u(t);\ v=v(t)$,

որտեղ t-ն կորի պարամետրն է: $u(t),\ v(t)$ ենթադրվում է, որ դրանք դիֆերենցելի են, և դիտարկվող շրջանում դրանց ածանցյալները չպետք է միաժամանակ դառնան զրո: Հատուկ դեր են խաղում կոորդինատային գծերը, որոնք մակերևույթի վրա կազմում են կոորդինատային ցանց։

$u=t;\ v=const$ — առաջին կոորդինատային գիծն է

$u=const;\ v=t$ — երկրորդ կոորդինատային գիծն է

Եթե մակերույթի վրա հատուկ կետեր չկան ( $\left[{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right]$ ոչ մի տեղ չի դառնում զրո), ապա մակերևույթի յուրաքանչյուր կետով անցնում են ուղիղ երկու կոորդինատային գիծ:

Արտաքին աղբյուրներ

• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. Изд-е 3-е. М.: Высшая школа, 1966. 252 с., ил.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: Наука, 1977. 871 с., ил.
• Кочин Г. Ф. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. Изд-е 9-е. М.: Наука, 1965. 427 с., ил.
• Краснов М. Л., Киселёв А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. (Серия: «Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов») М.: Наука, 1978. 159 с., ил.