Եռանկյունաչափություն

Եռանկյունաչափություն (հունարեն՝ τρίγωνον (եռանկյուն) և հունարեն՝ μέτρεο (չափում եմ), այսինքն, եռանկյան չափումները), մաթեմատիկայի բաժին, որում ուսումնասիրվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն ու դրանց կիրառումը երկրաչափությունում։ Այս տերմինն առաջին անգամ ի հայտ է եկել 1595 թվականին, որպես գերմանացի մաթեմատիկոս Բարտոլոմեուս Պիտիկսուսի (1561—1613) գրքի վերնագիր, իսկ ինքը գիտությունը, դեռևս հին ժամանակներում օգտագործվել է աստղագիտական, ճարտարապետական, գեոդեզիական (գիտություն, որն ուսումնասիրում է Երկիր մոլորակի ձևն ու չափերը) չափումների ժամանակ։

Եռանկյունաչափական հաշվարկներն օգտագործվում են երկրաչափության, ֆիզիկայի, ինժեներական գործի փաստացի բոլոր բաժիններում։ Հատկապես մեծ նշանակություն ունի տրիանգուլյացիայի տեխնիկան, որը հնարավորություն է տալիս աստղագիտության մեջ չափել ոչ հեռու գտնվող աստղերի հեռավորությունը ուղեցույցների միջև, վերահսկել արբանյակների ճիշտ տեղորոշումը։ Ինչպես նաև, ուշագրավ է եռանկյունաչափության կիրառումը այնպիսի բնագավառներում, ինչպիսիք են երաժշտության տեսություն, ակուստիկա, օպտիկա, ֆինանսական շուկաների անալիզ, էկեկտրոնիկա, հավանականության տեսություն, վիճակագրություն, կենսաբանություն, բժշկություն (ներառյալ ուլտրաձայնային հետազոտությունը (ՈւՁՀ) և համակարգչային տոմոգրաֆիան), դեղագործություն, քիմիա, թվերի տեսություն, (և, որպես հետևանք, կրիպտոգրաֆիա), սեյսմոլոգիա, օդերևութաբանություն, օվկիանոսագիտություն, քարտեզագիտություն, էլեկտրոնային տեխնիկա, մեքենաշինություն, համակարգչային գրաֆիկա, բյուրեղագիտություն։

Պատմություն

Հիմնական հոդված՝ Եռանկյունաչափության պատմություն

Պատկեր:Hipparchos 1.jpeg

Առաջին եռանկյունաչափական աղյուսակները ստեղծվել են Հիպարքոսի կողմից, ով այժմ առավել հայտնի է, որպես «եռանկյունաչափության հայրը»

Շումերյան աստղագետները ուսումնասիրել են անկյան չափումը, շրջանները 360 աստիճանների բաժանելով։ Նրանք, հետագայում նաև բաբելոնացիները ուսումնասիրել են նման եռանկյունների կողմերի հարաբերակցությունը և հայտնաբերել այդ հարաբերակցության որոշ հատկություններ, սակայն այն՝ եռանկյունների կողմերն ու անկյունները գտնելու համակարգված մեթոդի չվերածեցին։ Հին նուբիացիները նմանատիպ մեթոդ էին օգտագործում։

Մ․թ․ա․ 3-րդ դարում հույն մաթեմատիկոսները՝ Էվկլիդես, Արքիմեդես, և այլոք ուսումնասիրում էին շրջանների լարերի և ներգծված անկյունների հատկությունները և ժամանակակից եռանկյունաչափական բանաձևերին համարժեք թեորեմներ ապացուցեցին, չնայած դրանք ներկայացրել էին ավելի շուտ երկրաչափորեն, քան հանրահաշվորեն։ Մ․թ․ա․ 140 թվականին Հիպարքոսը (Նիկիայից, Փոքր Ասիա) լարերի առաջին աղյուսակն է ներկայացրել, ժամանակակից եռանկյունաչափական աղյուսակների անալոգը և դրանք օգտագործել է եռանկյունաչափական խնդիրներ և գնդային եռանկյունաչափության խնդիրներ լուծելու համար։ Մ.թ.ա. 2-րդ դարում, հունա-եգիպտական աստղագետ Պտղոմեոսը (Ալեքսանդրիայից, Եգիպտոս) իր առաջին գրքի 11-րդ գլխում կառուցեց եռանկյունաչափական մանրամասն աղյուսակներ։ Պտղոմեոսն իր եռանհյունաչափական ֆունկցիաները սահմանելու համար օգտագործում է լարի երկարությունը, որոնք քիչ ենտարբերվում սինուսից, որ օգտագործում ենք այսօր։ Մինչ ավելի մանրամասն աղյուսակների ստեղծումը դարեր անցան, իսկ Պտղոմեոսի տրակտատը հետագա 1200 տարիներին շարունակում էր օգտագործվել աստղագիտական եռանկյունաչափական հաշվարկներում միջին դարերի Բյուզանդիայում, արաբամուսուլմանական, և, հետագայում նաև Եվրոպական աշխարհում։

Սինուսի ժամանակակից ընկալումը առաջին անգամ հաստատվել է Surya Siddhanta-ում, իսկ դրա հատկությունները հետագայում փաստագրվել են 5-րդ դարում հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Արյաբհատայի կողմից։ Այս հունական և հնդկական աշծատանքները թարգմանվել և զարգացվել են միջնադարյան մուսուլման մաթեմատիկոսների կողմից։ Արդեն 10-րդ դարում մուսուլման մաթեմատիկոսները օգտագործում էին բոլոր վեց եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, դրանց արժեքների աղյուսակներ էին կազմում և կիրառում գնդաձև երկրաչափության խնդիրներում։ Պարսիկ էրուդիտ Նասր ալ-Դին Թուսին նկարագրվում էր որպես եռանկյունաչափության, որպես առանձին մաթեմատիկական ճյուղի, ստեղծող։ Նասր ալ-Դին Թուսին առաջինն էր, որ եռանկյունաչափությունը դիտարկեց որպես աստղագիտությունից անկախ մաթեմատիկական բնագավառ և նա ջնդձև եռանկյունաչափությունը զարգացրեց ներկայիս ձևաչափին։ Նա գնդաձև եռանկյունաչափության մեջ թվարկել էր ուղղանկյուն եռանկյան վեց տարբեր դեպքեր և իր On the Sector Figure աշխատանքում սահմանեց հարթ և գնդաձև եռանկյունների օրենքը, գնդաձև եռանկյունների համար հայտնաբերեց տանգենսների օրենքը և երկու օրենքի համար էլ ապացույց ապահովեց։ Knowledge of trigonometric functions and methods reached Western Europe via Latin translations of Ptolemy's Greek Almagest as well as the works of Persian and Arab astronomers such as Al Battani and Nasir al-Din al-Tusi. One of the earliest works on trigonometry by a northern European mathematician is De Triangulis by the 15th century German mathematician Regiomontanus, who was encouraged to write, and provided with a copy of the Almagest, by the Byzantine Greek scholar cardinal Basilios Bessarion with whom he lived for several years. At the same time, another translation of the Almagest from Greek into Latin was completed by the Cretan George of Trebizond. Trigonometry was still so little known in 16th-century northern Europe that Nicolaus Copernicus devoted two chapters of De revolutionibus orbium coelestium to explain its basic concepts.

Հին հունական մաթեմատիկոսները շրջանագծի աղեղը հաշվելու համար օգտագործում էին լարերի մեթոդը։ Շրջանագծի կենտրոնից լարին տարված ուղղահայցը երկու հավասար մասի է բաժանում աղեղն ու նրան հենված լարը։

Եռանկյունաչափական հարաբերություններ

Հիմնական հոդված՝ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ

Այս ուղղանկյուն եռանկյան մեջ: sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b.

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները դրանք ուղղանկյան կողմերի միջև հարաբերություններն են։ Այս հարաբերությունները ներկայացվում են A հայտի անկյան հետևյալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով, որտեղ a, b և c-ն վերաբերում են նկարում ներկայացված եռանկյան կողմերի երկարություններն են․

• Sine ֆունկցիա (sin), սահմանվում է որպես անկյան դիմացի կողմի հարաբերությունը ներքնաձիգին։

$\sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{c}}.$

• Cosine ֆունկցիան (cos), սահմանվում է որպես անկյան կից կողմի հարաբերությունը ներքնաձիգին։

$\cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{c}}.$

• Tangent ֆունկցիան(tan), սահմանվում է որպես անկյան դիմացի կողմի հարաբերությունը կից կողմին։

$\tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/c}{b/c}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.$

Քանի որ միևնույն A սուր անկյամբ երկու ուղղանկյուն եռանկյուն նման են,, ուստի եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կախված են միայն A անկյունից։

Այս ֆունկցիաների մուլտիպլիկատիվ ինվերսիաները համապատասխանաբար կոչվում են cosecant (csc), secant (sec), և cotangent (cot)․

$\csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {c}{a}},$

$\sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {c}{b}},$

$\cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.$

Փաստացի, կամայական եռանկյան վերաբերյալ հարցերին այս ֆունկցիաների միջոցով հնարավոր է պատասխանել, օգտվելով սինուսի և կոսինուսի օրենքներից։։ Այս օրենքների օգնությամբ հնարավոր է հաշվել անհայտ անկյունները և կողմերը, եթե տրված են երկու կողմը և նրանց միջև ընկած անկյունը, երկու անկյունը և նրանց ընդանուր կողմը կամ երբ տրված են եռանկյան երեք կողմերը։

Միավոր շրջան և եռանկյունաչափական ընդհանուր արժեքներ

Հիմնական հոդված՝ Միավոր շրջան

Նկար 1a – θ անկյան սինուսը և կոսինուսը, որոշված միավոր շրջանի օգնությամբ։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կարող են ներկայացվել նաև միավոր շրջանի օգնությամբ, որն իրենից ներկայացնում է 1 շառավղով շրջան, կենտրոնը կոորդինատային հարթության սկզբնակետում։ In this setting, the terminal side of an angle A placed in standard position will intersect the unit circle in a point (x,y), where $x=\cos A$ and $y=\sin A$. This representation allows for the calculation of commonly found trigonometric values, such as those in the following table:

Ֆունկցիա	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$	$2\pi /3$	$3\pi /4$	$5\pi /6$	$\pi$
սինուս	0	$1/2$	${\sqrt {2}}/2$	${\sqrt {3}}/2$	1	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	0
կոսինուս	1	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	0	$-1/2$	$-{\sqrt {2}}/2$	$-{\sqrt {3}}/2$	-1
Տանգենս	0	${\sqrt {3}}/3$	$1$	${\sqrt {3}}$	undefined	$-{\sqrt {3}}$	$-1$	$-{\sqrt {3}}/3$	0
սեկանս	1	$2{\sqrt {3}}/3$	${\sqrt {2}}$	$2$	undefined	$-2$	$-{\sqrt {2}}$	$-2{\sqrt {3}}/3$	-1
կոսեկանս	undefined	$2$	${\sqrt {2}}$	$2{\sqrt {3}}/3$	1	$2{\sqrt {3}}/3$	${\sqrt {2}}$	$2$	undefined
կոտանգենս	undefined	${\sqrt {3}}$	$1$	${\sqrt {3}}/3$	0	$-{\sqrt {3}}/3$	$-1$	$-{\sqrt {3}}$	undefined

Կիրառություններ

Աստղագիտություն

Հիմնական հոդված՝ Աստղագիտություն

Դարեր շարունակ գնդաձև եռանկյունաչափությունն օգտագործվել է արևի, լուսնի և աստղերի դիրքերը որոշելու համար , խավարումները կանխագուշակելու և մոլորակների ուղեծրերը նկարագրելու համար:

Մեր ժամանակներում, տրիանգուլյացիայի տեխնիկան օգտագործվում է աստղագիտության մեջ՝ մոտակա աստղերից հեռավորությունը չափելու համար, Ինչպես նաև արբանյակային նավիգացիայի համակարգերում։

Նավիգացիա

Հիմնական հոդված՝ Նավիգացիա

[Սեքստանտներն օգտագործվում են չափելու արևի կամ աստղերի անկյունը հորիզոնի նկատմամբ։ Այսպիսի չափումների օգնությամբ, օգտագործելով եռանկյունաչափություն և նավի ժամացույցը կարելի է որաշել նավի դիրքը։

Պատմականորեն եռանկյունաչափությունն օգտագործվում էր առագաստանավերի տեղակայման լայնություններն ու երկայնությունները որոշելու, նավարկման պլանավորման և դրա ընթացքում հեռավորությունները հաշվելու համար։

Եռանկյունաչափությունը շարունակվում է օգտագործվել նավիգացիայում այնպիսի միջոցներով Global Positioning System և արհեստական ինտելեկտով ավտոնոմ տրանսպորտային միջոցների համար։

Գեոդեզիա

Հիմնական հոդված՝ Գեոդեզիա

Գեոդեզիայում եռանկյունաչափությունն օգտագործվում է երկարության, մակերեսի և օբյեկտների միջև հարաբերական անկյունները հաշվելու համար։

Ավելի լայն մասշտաբով, եռանկյունաչափությունը օգտագործվում է աշխարհագրության մեջ, կողմնորոշիչ նշանների միջև հեռավորությունները չափելու համար։

Պարբերական ֆունկցիաներ

Հիմնական հոդվածներ՝ Ֆուրիեի շարքեր և Ֆուրիեի ձևափոխություն

Function $s(x)$ ֆունկցիան (կարմիրով) տարբեր ամպլիտուդների և հարմոնիկ հաճախությունների վեց սինուսոիդների գումար է։ Նրանց գումարումը կոչվում է Ֆուրիեի շարքեր։ $S(f)$ Ֆուրիեի ձևափոխությունը (կապույտով), որը արտապատկերում է ամպլիտուդը հաճախությունից կախված, 6 հաճախականություն է դուրս բերում (կենտ հարմոնիկայով) և (1/odd number) դրանց կենտ ամլիտուդով

Սինուս և կոսինուս ֆունկցիաները հիմնարար են պարբերական ֆունկցիաների տեսության համար, ինչպիսիք են ձայնը և լույսը նկարագրող ալիքները: Ֆուրիեն բացահայտեց որ յուրաքանչյուր անընդհատ ֆունկցիա, պարբերական ֆունկցիա կարող է ներկայացվել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անվերջ գումարի տեսքով։

Նույնիսկ պարբերական ֆունկցիաները կարող են ներկայացվել որպես սինուսների և կոսինուսների ինտեգրալ, Ֆուրիեի ձևափոխության միջոցով։ Սա կիրառություն ունի շատ ոլորտներում, ներառյալ քվանտային մեխանիկայում և կապի ոլորտում։

Օպտիկա և Ձայնագիտություն

Հիմնական հոդվածներ՝ Օպտիկա և Ձայնագիտություն

Եռանկյունաչափությունն օգտակար է շատ ֆիզիկական գիտություններում, ներառյալ ձայնագիտությունը, և օպտիկան։ Այս ոլորտներում նրանք օգտագործվում են նկարագրելու ձայնային և լուսային ալիքները, ինչպես նաև լուծելու սահմանային փոխանցման հետ կապված խնդիրները։

Այլ կիրառություններ

Եռանկյունաչափություն կամ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ օգտագործող այլ ոլորտներ են երաժշտության տեսություն, գեոդեզիա, սինթեզատոր, ճարտարապետություն, էլեկտրոնիկա, կենսաբանություն, բժշկական վիզուալիզացիա (CT scans և ուլտրաձայն), քիմիա, թվերի տեսություն (և հետևաբար կրիպտոլոգիա), սեյսմոլոգիա, օդերևութաբանություն, օվկիանոսագիտություն, պատկերի սեղմում, հնչյունաբանություն, տնտեսագիտություն, էլեկտրական ճարտարագիտություն, մեխանիկական ճարտարագիտություն, քաղաքացիական շինարարություն, համակարգչային գրաֆիկա, քարտեզագրություն, Բյուրեղագիտություն և խաղերի մշակում։

Նույնություններ

Հիմնական հոդված՝ Եռանկյունաչափական նույնություններ

a,b,c կողմերով եռանկյուն և համապատասխանաբար A,B,C հանդիպակաց անկյուններ

Եռանկյունաչափությունը հիշարճան է իր բազմաթիվ նույնություններով՝ հավասարումներով, որոնք ճիշտ են բոլոր հնարավոր մուտքերի համար։

Միայն անկյուններ պարունակող նույնությունները հայտնի են որպես եռանկյունաչափական նույնություններ. մյուս հավասարումները, որ վերաբերում են տրված եռանկյան թե կողմերին և թե անկյուններին, հայտնի են որպես եռանկյան նույնություններ,։

Եռանկյան նույնություններ

Հետևյալ նույնություններում A, B և C եռանկյան անկյուններն են, իսկ a, b և c անկյունների հանդիպակած կողմերի երկարություններն են։ (ինչպես ցույց է տրված դիագրամում)։

Սինուսների օրենք

Կամայական եռանկյան համար սինուսի օրենքը պնդում է:

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},$

որտեղ $\Delta$ եռանկյան մակերեսն է և R-ը եռանկյան արտագծծյալ շրջանագծի շառավիղը։

$R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.$

Կոսինուսի օրենք

Կոսինուսի օրենքը (հայտնի որպես կոսինուսի բանաձև) Պյութագորասի թեորեմի ընդլայնումն է կամայական եռանկյունների համար։

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,$

կամ համարժեք․

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.$

Տանգենսների օրենք

Տանգենսների օրենքը, որ մշակվել էր Ֆրանսուա Վիետի կողմից, կոսինուսների օրենքի այլընտրանքն է, երբ պետք է գտնել եռանկյան անհայտ կողմը, ապահովելով պարզ հաշվարկներ եռանկյունաչափական աղյուսակներ օգտագործելիս։ Այն ներկայացվում է․

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}$

Մակերես

Տրված է եռանկյան երկու կողմերը՝ a և b և դրանց միջև ընկած C անկյունը, եռանկյան մակերեսը ներկայացվում է որպես երկու կողմերի և դրանց միջև ընկած անկյան սինուսի արտադրյալ։

Հերոնի բանաձևը եռանկյան մակերեսը հաշվելու մեկ այլ եղանակ է։ Եթե եռանյունը ունի This formula states that if a triangle has sides of lengths a, b և c երկարությամբ կողմեր, և պարագիծը

$s={\frac {1}{2}}(a+b+c),$

ապա եռանկյան մակերեսը հավասար է․

${\mbox{Area}}=\Delta ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\frac {abc}{4R}}$,

որտեղ R-ը եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի շառավիղն է։

${\mbox{Մակերեսը}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C.$

Եռանկյունաչափական նույնություններ

Պյութագորյան նույնություններ

Հետևյալ եռանկյունաչափական նույնությունները վերաբերում են Պյութագորասի թեորեմին և տեղի ունեն ցանկացած արժեքի համար․

$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\$

$\tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\$

$\cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\$

Էյլերի բանաձևը

Էյլերի բանաձևը պնդում է $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, հետևում է անալիտիկ նույնությունը սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արտահայտված e և i կեղծ միավորի տերմիններով։

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.$

Այլ եռանկյաունաչափական նույնություններ

Հիմնական հոդված՝ Եռանկյունաչափական նույնություններ

Այլ եռանկյունաչափական նույնությունների թվում են անկյան կիսորդի, անկյունների գումարի և տարբերության, գումարի արտադրյալի նույնությունները։