|
Պատմականորեն կեղծ միավորը սկզբում ներմուծել են իրական խորանարդ հավասարումը լուծելու համար, հաճախ իրական երեք արմատների գոյության դեպքում, նրանցից երկուսի ստացումը Կարդանոյի բանաձևից պահանջվում էր վերցնել խորանարդ արմատ կոմպլեքս թվերով։
Պնդումը, որթե կեղծ միավորը՝միավորը դա«քառակուսիքառակուսային արմատն է −1<math>-1</math>-ից», ստույգ չէ, չէքանի որ <math>-1</math> «−1»թիվն ունի երկու քառակուսիքառակուսային արմատ, որոնցից մեկըմեկը՝ «<math>i»</math>, իսկ մյուսը՝ «−i»<math>-i</math>։ Դրանցից որ մեկըմեկն ընդունել կեղծ միավոր՝ կարևոր չէ,. բոլոր հավասարությունները պահպանում են ուժը միաժամանակ փոխարինումը բոլոր «<math>i»</math>-երը «<math>-i»</math>-երով։երով Երբեմնմիաժամանակ այդփոխարինելիս։ երկիմաստությունից, որպեսզիՈրպեսզի խուսափենք սխալ հաշվումներից, պետք չէ օգտագործելընդունել <math>i</math>-ն նշանակումը ինչպես (որպես <math>\sqrt{-1}</math>).:
===Սահմանում===
Կեղծ միավորը դա թիվ է, որի քառակուսիքառակուսային արմատը հավասար է −1<math>-1</math>, այսինքն <math>i</math> դա-ը հավասարման լուծումներից մեկն է
:<math>x^2 + 1 = 0, </math> կամ <math>x^2 = -1. </math>, և այդորի ժամանակ նրա երկրորդ արմատը կլինի <math>-i</math>,որը (կարելի է ստուգել տեղադրումով։տեղադրումով)։
===Կեղծ միավորի աստիճանները===
:<math>i^{4n+2} = -1\,</math>
:<math>i^{4n+3} = -i.\,</math>
որտեղ'' <math>n'' —</math>-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է։ Այստեղից՝ <math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>, որտեղ <math>mod 4</math>-ը 4-ի [[բաժանման մնացորդն է]]:
Այստեղից: <math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>
որտեղ''mod 4'' — դա 4-ի [[բաժանման մնացորդն է]] .
<math>i^i</math>թիվը հանդիսանում է [[Вещественное число|իրական]]:
: <math>i^i={e^{(i\pi/2)i}}=e^{i^2\pi/2}=e^{-\pi/2}=0{,}20787957635\ldots</math><ref>[[Էյլերի բանաձև#Показательная форма комплексного числа|Կոմպլեքս թվի ցուցանշական ձև]]</ref>
=== Ֆակտորյալ===
[[Ֆակտորյալ]] կեղծ միավորի {{<math|''>i''}}</math> կարելի է ներկայացնել ինչպես [[Гамма-функция|ֆունկցիայի հաջորդաշարք]] {{<math|>1 + ''i''}}</math> արգումենտից:
:<math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.</math>
[[Պատկեր:Корни кубические из мнимой единицы.svg|thumb|խորանարդ արմատներ կեղծ միավորից (եռանկյան գագաթներ)]]
Կոմպլեքս թվերի դաշտում ''<math>n</math>''-րդաստիճանիրդ աստիճանի արմատը ունի ''<math>n''</math> լուծումներ։ Կոմպլեքս հարթությունում կեղծ միավորի արմատները գտնվում են [[կանոնավորԿանոնավոր բազմանկյանբազմանկյուն|կանոնավոր n -անկյան]] գագաթներում,գագաթներում՝ ներգծված միավոր շառավղով շրջանագծին։
:<math>u_k=\cos {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{{\frac{\pi}{2}} + 2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1</math>
դաԴա հետևում է [[формула Муавра|Մուավրի բանձևից]] և, այնպես որհետևաբար, կեղծ միավորը կարող է նաև ներկայացվել եռանկյունաչափական տեսքով։<math>i=\cos\ {\frac{\pi}{2}} + i\ \sin\ {\frac{\pi}{2}}</math>
<math>i=\cos\ {\frac{\pi}{2}} + i\ \sin\ {\frac{\pi}{2}}</math>
Մասնավորապես, <math>\sqrt{i } = \left\{\frac{1 + i}{\sqrt{2}};\ \frac{-1 - i}{\sqrt{2}} \right\}</math> иև <math>\sqrt[3]{i } = \left\{-i;\ \frac{i + {\sqrt{3}}}{2};\ \frac{i - {\sqrt{3}}}{2} \right\}</math> ▼
Նմանապես , կեղծ միավորի արմատը կարող է ներկայացվել ցուցանշական։ ▼▲Մասնավորապես, <math>\sqrt{i } = \left\{\frac{1 + i}{\sqrt{2}};\ \frac{-1 - i}{\sqrt{2}} \right\}</math> и <math>\sqrt[3]{i } = \left\{-i;\ \frac{i + {\sqrt{3}}}{2};\ \frac{i - {\sqrt{3}}}{2} \right\}</math>
▲Նմանապես կեղծ միավորի արմատը կարող է ներկայացվել ցուցանշական։
:<math>u_k=e^{\frac{(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1</math>
== '''Այլ կեղծ թվեր''' ==
Կելի-Դիկսոնի կառուցվածքում (կամ Կլիֆորդի հանրահաշվում) «կեղծ թվի ընդլայնումը» կարող էեն լինել մի քանիսը, և կամ նրանց քառակուսին կարող է լինել ="<math>+1"</math> կամ մինչև անգամ=" <math>0"</math>։Այդ դեպքում կարող էեն ծագել բաժանումըբաժանում զրոյի և այլ հատկություններ, տարբերվելով կոմպլեքս «<math>i»</math> հատկություններից։ Օրինակ, հատկություններից։[[Կվատերնիոն|կվատերնիոնի]] մարմնում երեք [[антикоммутативность|антикоммутативных]] կեղծ միավորներ և նաև անվերջ շատ լուծումներ ունի «<math>x^2 = -1</math>» հավասարումը:
Օրինակ, , [[կվատերնիոնի (кватернион)]]ов մարմնում երեք [[антикоммутативность|антикоммутативных]] կեղծ միավորներ և նաև անվերջ շատ լուծումներ ունի հավասարումը «<math>x^2 = -1</math>».
== Մեկնաբանության և անվան հարցադրում ==
{{Մեջբերում|Գաուսը նույնպես պնդեց, որ եթե 1, −1 и √−1 մեծությունները կոչվեցինկոչվեին համապատասխանաբար ոչ դրական, բացասական և կեղծ միավոր, այլ ուղիղ, հակադիր և կողմնակի, այդ դեպքում մարդկանց մոտ տպավորություն չէր առաջանա,որ որ այդ թվերի հետ կապված է ինչ-որ մութ գաղտնիք։Գաուսիգաղտնիք։ Գաուսի խոսքերով, երկրաչափական ներկայացումը տալիս է ճշմարիտ մետաֆիզիկայում կեղծ թվեր նոր լույսի ներքո։Հենց Գաուսն է ներմուծել «կոմլեքս թվեր» տերմինը (ի հակադրություն Դեկարտի «կեղծ թվեր»-ի ) և օգտագործեցօգտագործել նշանակման համար √−1 պայմանանշանը i. :|հեղիանակ=[[Մորիս Կլայն ]], «Մաթեմատիակա .որաշակիության կորուստներ Утрата определённости». Գլուխ VII.Անտրամաբանական զարգացում Нелогичное развитие: լուրջ դժվարություններ XIX դարի շեմին}}
== Տես նաև ==
| 