Կոշի-Ադամարի թեորեմ (նաեւ, Ադամարի թեորեմը աստիճանային շարքերի մասին), պնդում, որը գնահատում է աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը որոշ դեպքերում: Անվանակոչվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Կոշիի եւ Ադամարի պատվին: Թեորեմն առաջին անգամ հրապարակել է Կոշին, 1821 թվականին[1], սակայն այն աննկատ է մնացել մինչեւ Ադամարի վերահայտնաբերումը[2]: Ադամարն իր արդյունքները հրապարակել է 1888 թվականին[3]: Նա թեորեմը ներառել է 1892 թվականի իր դոկտորական դիսերտացիայում[4]:
Ձեւակերպումը
Դիցուք, - ը զուգամիտության շառավղով աստիճանային շարք է: Այդ դեպքում՝
եթե վերին սահմանը գոյություն ունի եւ դրական է, ապա ;
եթե , ապա ;
եթե վերին սահմանը գոյություն չունի, ապա :
Ապացույց
Դիցուք, .
Եթե այնպիսի կետ է, որ , ապա եւ հնարավոր է գտնել այնպիսի թիվ, որ գրեթե բոլոր -երի համար տեղի ունենա անհավասարությունը: Այստեղից հետեւում է, որ երկրաչափական պրոգրեսիան շարքի զուգամետ վերին սահման է, այսինքն՝ :
Հակառակ դեպքում, այսինքն եթե բավարարում է պայմանին, ապա եւ անվերջ թվով համարների համար տեղի կունենա անհավասարությունը: Հետեւաբար, շարքը կետում տարամետ է, քանի որ նրա անդամները չեն ձգտում զրոյի:
Դիցուք, : Այս դեպքում ցանկացած -ի համար հաջորդականությունը զուգամիտում է զրոյի: Այդ իսկ պատճառով, եթե ընտրենք թիվ, ապա գրեթե բոլոր համարների համար տեղի կունենա անհավասարությունը, որտեղից, ինչպես եւ դեպքում, հետեւում է շարքի զուգամիտությունը կետում: Ֆորմալ՝ :
վերին սահմանը - ում գոյություն չունի (այսինքն, ֆորմալ՝ ) այն եւ միայն այն դեպքում, երբ հաջորդականությունը վերեւից սահմանափակ չէ: Եթե , ապա անսահմանափակ է նաեւ հաջորդականությունը: Հետեւաբար՝ շարքը կետում տարամետ է: Հարկ է նշել, որ դեպքում շարքը զուգամիտում է -ի: Վերջնական՝ (այսինքն, ֆորմալ՝ , փաստացի՝ ):
↑Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, էջեր 116–117, ISBN978-0-387-96302-0. Իտալերենից թարգմանվել է անգլերեն՝ Warren Van Egmond.
↑Hadamard, J., «Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable», C. R. Acad. Sci. Paris, 106: 259–262.