Պի թիվ

Տե՛ս նաև՝ Պի (այլ կիրառումներ)

Վիքիքաղվածքն ունի քաղվածքների հավաքածու, որոնք վերաբերում են

Պի թիվ հոդվածին

$\pi$ թիվը հավասար է միավոր տրամագիծ ունեցող շրջանագծի երկարությանը։

Պի թիվ կամ $\pi ~$, մաթեմատիկական հաստատուն, որը ցույց է տալիս շրջանագծի երկարության հարաբերությունը տրամագծին։ Նշանակվում է հունական այբուբենի $\pi ~$ (պի) տառով։ Հին անվանումը՝ Լուդոլֆյան թիվ։

Հատկություններ

Տրանսցենդություն և իռացիոնալություն

• $\pi$-ն իռացիոնալ թիվ է, այսինքն՝ նրա արժեքը հնարավոր չէ ներկայացնել m/n կոտորակի տեսքով, որտեղ m-ը և n-ը ամբողջ թվեր են։ Հետևաբար, նրա տասական ներկայացումը երբեք չի վերջանում և չի հանդիսանում պարբերական։ $\pi$ թվի իռացիոնալությունը առաջին անգամ ապացուցվել է Իոհան Լամբերտի կողմից 1761 թվականին ${\frac {e-1}{2^{n}}}$ թվի տրոհումը անընդհատ կոտորակի։ 1794 թվականին Լեժանդրը բերեց $\pi$ և $\pi ^{2}$ թվերի իռացիոնալության առավել խիստ ապացույց։
• $\pi$-ն տրանսցենդենտ թիվ է, այսինքն այն չի կարող լինել որևէ ամբողջ գործակիցներով բազմանդամի արմատ։ $\pi$ թվի տրանսցենդենտությունը 1882 թվականին ապացուցվել է քյոնինգսբերգյան պրոֆեսորի կողմից, իսկ հետագայում մյունխենյան համալսարանից Ֆերդինանդ ֆոն Լինդեմանի կողմից։ Ապացույցը պարզեցրեց Ֆելիքս Կլեյնը 1894 թվականին։
• Քանի որ էվկլիդյան երկրաչափությունում շրջանի մակերեսը և շրջանագծի երկարությունը ֆունկցիա են հանդիսանում $\pi$ թվից, ապա $\pi$ թվի տրանսցենդենտության ապացույցը վերջ դրեց շրջանի քառակուսացուման վեճին, որը տևեց ավելի քան 2,5 հազար տարի։
• 1934 թվականին Գելֆանդը ապացուցեց $e^{\pi }$ թվի տրանսցենդենտությունը։ 1996 թվականին Յուրի Նեստերենկոն ապացուցեց, որ ցանկացած բնական $n$ թվի համար $\pi$ և $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ թվերը հանրահաշվորեն անկախ են, որից մասնավորապես հետևում է $\pi +e^{\pi },\pi e^{\pi }$ և $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ թվերի տրանսցենդենտությունը։
• $\pi$-ն հանդիսանում է պարբերությունների օղակի տարր (հետևաբար, հաշվելի և թվաբանական թիվ)։ Սակայն անհայտ է, արդյոք $1/\pi$-ը պատկանում է պարբերությունների օղակին։

ՈՉ ԻՌԵՆ, ՈՉ!!!!!!!!!!!!!!!

Ներկայացման ձևերը

$\pi$ թիվն ունի ներկայացման բազմապիսի ձևեր՝

• Ֆրանսուա Վիետ`

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots$

• Վալիսի բանաձևը`

${\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

• Լայբնիցի շարքը՝

${\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

• Այլ շարքեր՝

${\begin{aligned}\pi &={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}+{\tfrac {4}{8k+4}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1}{16^{k}}}\left({\tfrac {8}{8k+1}}+{\tfrac {8}{8k+2}}+{\tfrac {4}{8k+3}}-{\tfrac {2}{8k+5}}-{\tfrac {2}{8k+6}}-{\tfrac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\tfrac {2}{4k+1}}+{\tfrac {2}{4k+2}}+{\tfrac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}$

$\pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,(2k+1)}}$

• Բազմակի շարքեր՝

$\pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k}}}=4\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}}{(m^{2}+k^{2})^{2}}}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3}}}}}$

• Սահմաններ՝

$\pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m}}{\left[(2m)!\right]^{2}\,m}}$

$\pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to$ այստեղ $p_{k}\,-$ը պարզ թվեր են։

• Էյլերի նույնությունը՝

$e^{i\pi }+1=0\;$

• Այլ կապեր մաթեմատիկական հաստատունների միջև՝

${\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}$

$\pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}$

• Այսպես կոչված «Պուասոնի ինտեգրալ» կամ «Գաուսի ինտեգրալ»՝

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}$

• Ինտեգրալային սինուս։

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi$

• Արտահայտություններ դիլոգարիթմի միջոցով։

$\pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}}$

• Անորոշ ինտեգրալի միջոցով՝

$\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi$

Շղթայական կոտորակներ

Որպես իռացիոնալ թիվ, $\pi$-ն չի կարող ներկայացվել հասարակ կոտորակի ձեով։ Սակայն, մյուս իռացիոնալ թվերի նման, $\pi$-ն նույնպես կարող է ներկայացվել շղթայական կոտորակի տեսքով՝

$\pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

$\pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

Ռացիոնալ մոտավորություններ

Տարբեր ժամանակներում արվել են $\pi$ թիվը հասարակ կոտորակների միջոցով ներկայացնելու փորձեր։ Դրանցից մի քանիսը ունեն հետևյալ տեսքը (կոտրակի տասնորդական արժեքի՝ $\pi$-ին համապատասխանող մասը բերված է թավ տեսքով)`

$\pi$=	3.141592653589
22/7=	3.14285714....	Արքիմեդ (մ.թ.ա. 3-րդ դար), հին հույն մաթեմատիկոս, ֆիզիկոս և ինժեներ;
377/120=	3.14166667....	Արիբախատա (մ.թ. 5-րդ դար), հնդիկ աստղագետ և մաթեմատիկոս;
355/113=	3.14159292....	Ցզու Չունչժի (մ.թ. 5-րդ դար), չինացի աստղագետ և մաթեմատիկոս;
52163/16604=	3.141592387....
103993/33102=	3.141592653....
245850922/78256779=	3.141592653....

π թվի արժեքը

$\pi$=3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Ստորակետից հետո $\pi ~$ թվի առաջին 1000 նիշերը։

Պատմությունը

Հաստատունի սիմվոլը

Առաջին անգամ հունարեն $\pi ~$ տառով այս թիվը նշանակել է բրիտանացի մաթեմատիկոս Վիլյամ Ջոնսը 1706 թվականին, իսկ այն համընդհանուր օգտագործման դրվեց 1737 թվականին Լեոնարդ Էյլերի աշխատությունից հետո։

Այս նշանակումը առաջացել է հունարեն՝ περιφέρεια (շրջանագիծ) և περίμετρος (պարագիծ) բառերի առաջին տառից։

$\pi ~$ թվի պատմությունն ընթացավ ամբողջ մաթեմատիկայի զարգացմանը զուգահեռ։ Որոշ հեղինակներ այդ գործընթացը բաժանեցին երեք ժամանակաշրջանների՝ հնագույն ժամանակաշրջան, որի ժամանակ $\pi ~$-ն ուսումնասիրվում էր երկրաչափության տեսանկյունից, դասական դարաշրջան, որը հաջորդեց 17-րդ դարում մաթեմատիկական անալիզի զարգացմանը Եվրոպայում, և թվային համակարգիչների դարաշրջան։

Երկրաչափական ժամանակաշրջան

Այն փաստը, որ ցանկացած շրջանագծի համար նրա երկարության հարաբերությունը տրամագծին նույնն է, և այդ հարաբերությանը մի փոքր մեծ է 3-ից, դեռ հայտնի էր հին եգիպտական, հին հնդկական և հին հունական երկրաչափներին։ Ամենաշուտ հայտնի մոտարկումը թվարկվում է մ.թ.ա. 1900 թվականին, այն հավասար էր 25/8 (Բաբելոն) և 256/81 (Եգիպտոս), որոնք իրական արժեքից տարբերվում են ոչ ավել, քան 1%-ը։ Վեդայական «Շատապատխա-բրախմանա» տեքստը տալիս է $\pi ~$-ի արժեքը հավասար 339/108 ≈ 3,139 ։

$\pi$ թվի հաշվման Լյու Խուեայի ալգորիթմը

Հավանաբար Արքիմեդն է առաջինը տվել $\pi$ թվի հաշվման մաթեմատիկական եղանակը։ Դրա համար նա շրջանագծին ներգծում և արտագծում էր կանոնավոր բազմանկյուններ։ Ընդունելով շրջանագծի տրամագիծը հավասար մեկ միավորի, Արքիմեդը դիտարկում էր ներգծած բազմանկյան պարագիծը որպես շրջանագծի երկարության ստորին գնահատական, իսկ արտագծած բազմանկյան պարագիծը՝ որպես վերին գնահատական։ Դիտարկելով կանոնավոր 96-անկյունը Արքիմեդը ստացավ հետևյալ գնահատականը՝ $3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {1}{7}}$ և առաջարկեց, որ $\pi$-ն մոտավորապես հավասար է 22/7 ≈ 3,142857142857143։

Չժան Խեն 2-րդ դարում հստակեցրել է $\pi$ թվի արժեքը, առաջարկելով նրա երկու համարժեքները՝ 1) 92/29 ≈ 3,1724… , 2) ${\sqrt {10}}$ ≈ 3,1622։

Հնդկաստանում Արիաբխատան և Բխասկարան օգտագործում էին 3,1416 մոտավոր արժեքը։ Վարախամիխիրան 6-րդ դարում «Պանչա-սիդդխանտիկեում» օգտվում էր ${\sqrt {10}}$ մոտավոր արժեքից։

Մոտավորապես մեր թվարկության 265 թվին Վեյ թագավորության մաթեմատիկոս Լյու Խուեյը ներկայացրեց ցանկացած աստիճանի ճշտության $\pi$ թվի հաշվման պարզ և ճշգրիտ իտերատիվ ալգորիթմ (անգլ.՝ Liu Hui's π algorithm)։ Նա ինքնուրույն կատարեց հաշվարկ 3072-անկյունի համար և ստացավ $\pi$-ի համար հետևյալ սկզբունքը՝

$\pi \approx A_{3072}={3\cdot 2^{8}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\approx 3,14159.$

Հետագայում Լյու Խուեյը մտածեց $\pi$-ի հաշվման արագ մեթոդ և ստացավ 3,1416 մոտավոր արժեքը միայն 96-անկյունով, օգտագործելով այն փաստի առավելությունը, որ իրար հաջորդող բազմանկյունների մակերեսների տարբերությունն իրենից ներկայացնում է երկրաչափական պրոգրեսիա 4 հայտարարով։

480-ական թվականներին չինացի մաթեմատիկոս Ցզյու Չունչժին ներկայացրեց, որ $\pi$ ≈ 355/113 և ցույց տվեց, որ 3,1415926 < $\pi$ < 3,1415927, օգտվելով Լյու Խուեի ալգորիթմից 12288-անկյունի համար։ Այս արժեքը մնացել է $\pi$ թվի ճշգրիտ մոտարկումն անցած 900 տարիների համար։

Դասական ժամանակաշրջան

Մինչև 2-րդ հազարամյակը հայտնի էր $\pi$ թվի ոչ ավել 10 թվանշան։ Հետագայում $\pi$ թվի ուսումնասիրման մեծ հաջողությունները կապվել են մաթեմատիկական անալիզի զարգացման հետ, հատկապես կապված շարքերի բացահայտման հետ, որը հնարավորություն է տալիս հաշվել $\pi$ –ն ցանկացած ճշտությամբ, գումարելով շարքի ցանկալի թվով անդամները։ 1400-ական թվականներին Սանգամագրամայից Մադխավան գտավ այդպիսի շարքերից մեկը՝

${\pi }={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+\cdots$

Այս արդյունքը հայտնի է որպես Մադխավա-Լեյբնիցի շարք, կամ Գրեգորի-Լեյբնիցի շարք (այն բանից հետո, երբ այն նորից հայտնաբերվեց Ջեյմս Գրեգորիի և Գոտֆրիդ Լեյբնիցի կողմից 17-րդ դարում)։ Սակայն այս շարքը ձգտում է $\pi$-ին ավելի դանդաղ, որը բերում է մեծ թվով թվանշանների հաշվմանը պրակտիկայում, այսպես, անհրաժեշտ է հաշվել շարքի մոտավորապես 4000 անդամի գումար, որպեսզի Արքիմեդի արժեքի ճշտությունը բարելավվի։ Սակայն այն ձևափոխելով

$\pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{\frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)$

Մադխավան կարողացավ հաշվել $\pi$–ն որպես 3,14159265359, ճշգրտորեն հաշվելով թվի մեջ 11 թվանշան։ Այս ռեկորդը կարողացավ հաղթահարել պարսիկ մաթեմատիկոս Ջամաշիդ ալ Կաշին 1424 թվականին, ով իր «Շրջանագծի մասին տրակտատում» բերեց 17 նիշ, որից 16-ը ճիշտ են։

Առաջին խոշոր եվրոպական ներդրումը Արքիմեդի ժամանակներից ի վեր կատարել է հոլանդացի մաթեմատիկոս Լյուդոլֆ վան Ցեյլենը, ով շուրջ տաս տարի է ծախսել $\pi$ թվի 20 տասական նիշերով հաշվարկելու համար (այս արդյունքը հրապարակվել է 1596 թվականին)։ Օգտագործելով Արքիմեդի մեթոդը նա հասցրեց մինչև n-անկյան կրկնապատկումը, որտեղ n = 60•229։ Ներկայացնելով իր արդյունքները «Շրջանագծի մասին» («անգլ.՝ Van den Circkel») աշխատությունում Լուդոլֆը ավարտել է այն հետևյալ բառերով՝ «Ով ունի ցանկություն, թող գնա առաջ»։ Մահից հետո նրա ձեռագրերում հայտնաբերվել են $\pi$ թվի ևս 15 ճշգրիտ թվանշան։ Լուդոլֆը կտակեց, որ իր գտած թվանշանները փորագրվեն իր տապանաքարի վրա։ Ի պատիվ իրեն երբեմն $\pi$ թիվը անվանում էին «լուդոլֆովյան թիվ» կամ «Լուդոլֆի հաստատուն»։

Մոտավորապես այդ նույն ժամանակ Եվրոպայում սկսեցին զարգանալ անալիզի մեթոդները և անվերջ շարքերի հաշվումը։ Առաջին այդպիսի ներկայացումը եղել է Վիետի բանաձևը՝

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots$, հայտնաբերված Ֆրանսուա Վիետի կողմից 1593 թվականին։

Մյուս հայտնի արդյունքը հանդիսացավ Վալլիսի բանաձևը՝

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots$, որը դուրս է բերվել Ջոն Վալլիսի կողմից 1655 թվկանին։

Նմանատիպ արտադրյալներ են՝

$\pi =3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}}$		$\pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}$
$\pi =4\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}$		$\pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}$
$\pi =6\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}}}$		$\pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}}}$
$\pi =4\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4}}}}$		$\pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9}}}}$
$\pi ={\frac {16}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16}}}}$		$\pi ={\frac {36}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {5}{36}}}}$

Արտադրյալ, որն ապացուցում է Էյլերի թվի ($e$) հետ կապի նմանությունը`

$\pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k-1\right)^{{\frac {1}{2}}-k}\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}}{2k+1}}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}$

Ներկա ժամանակներում $\pi$-ի հաշվման համար օգտագործում են անալիտիկ մեթոդները, հիմնված նույնությունների վրա։ Վերևում թվարկված բանաձևերը հաշվարկային նպատակների համար քիչ ընդունելի են, քանի որ կամ օգտագործում են դանդաղ ձգտող շարքեր, կամ պահանջում են քառակուսի արմատի դուրս բերման բարդ գործողություններ։

Առաջին արդյունավետ բանաձևը 1706 թվականին ստացավ Ջոն Մեչին (անգլ.՝ John Machin)՝

${\frac {\pi }{4}}=4\,\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}$

Արկտանգենսը ներկայացնելով Թեյլորի շարքով՝

$\mathrm {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots$ , կարելի է ստանալ արագ ձգտող շարք, որը հարմար է $\pi$ թվի մեծ ճշտությամբ հաշվելու համար։

Նմանատիպ բանաձևեր ներկայումս հայտնի են որպես Մեչինի բանաձևերը (անգլ.՝ Machin-like formula), որոնք օգտագործվել են վերջին մի քանի ռեկորդների սահմանման համար և մնացին լավագույնները համակարգչային դարաշրջանում $\pi$ թվի արագ հաշվման համար հայտնի մեթոդներից։ Նշանավոր ռեկորդը սահմանվել է Իոհան Դազեի (անգլ.՝ Johann Dase) ֆենոմենալ հաշվիչով, որը 1844 թվականին Գաուսի կարգադրությամբ կիրառվել է Մեչինի բանաձևը մտքում $\pi$-ն 200 թվանշանով հաշվելու համար։ Լավագույն արդյունքը 19-րդ դարի վերջում ստացվել է անգլիացի Վիլյամ Շենկսի (անգլ.՝ William Shanks) կողմից, ով 15 տարի ծախսեց նրա համար, որ հաշվի 707 թվանշան, թեև սխալի պատճառով միայն առաջին 527-ն էին ճշգրիտ։ Որպեսզի խուսափեն այդպիսի սխալներից նման կարգի ժամանակակից հաշվարկները կատարվում են երկու անգամ։ Եթե արդյունքները համընկնում են, ապա նրանք մեծ հավանականությամբ ճշգրիտ են։ 1948 թվականին Շենկսի սխալը հայտնաբերեց առաջին համակարգիչներից մեկը, այն մի քանի ժամվա ընթացքում հաշվեց $\pi$-ն 808 թվանշանով։

Տեսական հաջողության 18-րդ դարում բերեց $\pi$ թվի միջավայրի ընկալումը, որը հնարավոր չէր հասնել միայն թվային հաշվարկի օգնությամբ։ Իոհան Գենրիխ Լամբերտը ապացուցեց $\pi$ թվի իռացիոնալությունը 1761 թվականին, իսկ Ադրիեն Մարի Լեժանդրը 1774 թվականին ապացուցեց $\pi ^{2}$-ի իռացիոնալությունը։ 1735 թվին կապ է հաստատվել պարզ թվերի և $\pi$-ի միջև, երբ Լեոնարդ Էյլերը լուծեց հանրահայտ Բազելյան խնդիրը (անգլ.՝ Basel problem)՝

${\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots$ , գումարի ճշգրիտ գտնելու խնդիրը, որը կազմում է ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$: Եվ Լեժամդրը, և Էյլերը ենթադրում էին, որ $\pi$-ն կարող է լինել տրանսցենդենտ, որը վերջին հաշվով ապացուցվեց 1882 թվականին Ֆերդինանդ ֆոն Լինդեմանի կողմից։

Համարվում է, որ Վիլյամ Ջոնսի «Նոր ներդրում մաթեմատիկայում» գիրքը 1706 թվականից առաջին անգամ օգտագործման մեջ դրեց հունարեն $\pi$ տառը այդ հաստատունի նշանակման համար, բայց այդ գրառումն առավել հանրահայտ դարձավ նրանից հետո, երբ Լեոնարդ Էյլերը այն ընդունեց 1737 թվականին։ Նա գրեց. «Գոյություն ունեն բազմաթիվ այլ եղանականեր համապատասխան կորի երկարության կամ մակերեսի կամ հարթ պատկերի որոշման համար, որը զգալիորեն կհեշտացնի փորձը, օրինակ, շրջանում տրամագիծը հարաբերվում է շրջանագծի երկարությանը, ինչպես 1-ը $\left({\frac {16}{5}}-{\frac {4}{239}}\right)-{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {16}{5^{3}}}-{\frac {4}{239^{3}}}\right)+\cdots =3{,}14159\cdots =\pi$ »։

Համակարգչային հաշվարկների դարաշրջանը

Թվային տեխնիկայի դարաշրջանում 20-րդ դարում բերեցին հաշվարկային նոր ռեկորդների ի հայտ գալուն։ Ջոն ֆոն Նեյմանը և այլք 1949 թվականին օգտագործեցին ԷԹԻՀ (էլեկտրոնային թվային ինտեգրատոր և հաշվարկիչ) $\pi$ թվի 2037 թվանշանի հաշվարկման համար, որը տևեց 70 ժամ։ Եվս մեկ հազար թվանշանով ավել ստացվեց հաջորդ տասնամյակում, իսկ միլիոներորդ նշագիծը գերազանցվեց 1973 թվականին։ Այս գործընթացը տեղի ունեցավ ոչ միայն էլ ավելի արագագործ ապարատային ապահովման շնորհիվ, այլ նաև ալգորիթմների շնորհիվ։ Կարևորագույն արդյունքներից մեկն էլ 1960 թվականին Ֆուրիեի արագ ձևափոխման ստացումն էր, որը հնարավորություն տվեց արագ կատարել թվաբանական գործողություններ շատ մեծ թվերի հետ։ 20-րդ դարի սկզբներին հնդիկ մաթեմատիկոս Սրինիվասա Ռամանուջան հայտնաբերեց բազմաթիվ նոր բանաձևեր $\pi$-ի համար, որոնցից մի քանիսը հայտնի դարձան իրենց էլեգանտությամբ և մաթեմատիկական խորությամբ։ Դրանցից մի բանաձևն է հետևյալ շարքը՝

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$ :

Չուդնովսկի եղբայրները 1987 թվականին գտան նմանատիպ մեկ այլ բանաձև՝

${\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}$ ,

որը տալիս է մոտավորապես 14 թվանշան շարքի յուրաքանչյուր անդամի համար։ Չուդնովսկիները 1980-ական թվականների վերջերին օգտագործեցին այդ բանաձևերը նրա համար, որպեսզի սահմանեն մի քանի ռեկորդներ $\pi$ թվի հաշվարկման համար, հաշվի առնելով այն, որ 1989 թվականին արդեն ստացվել էր նրա տասական ներկայացման 1 011 196 691 թվանշան։ Այս բանաձևը օգտագործվում է ծրագրերում, որոնք հաշվում են $\pi$-ն անհատական համակարգիչների վրա, ի տարբերություն գերարագ համակարգիչների, որոնք սահմանում են ժամանակակից ռեկորդները։

Միևնույն ժամանակ որպես հաջորդականություն մեծացնում է նաև ֆիքսված մեծությամբ յուրաքանչյուր հաջորդ անդամի ճշտությունը, գոյություն ունեն իտերատիվ ալգորիթմներ, որոնք յուրաքանչյուր քայլում բազմապատկում են ճիշտ թվանշանների քանակը, պահանջելով իհարկե, բարձր հաշվարկային ծախսեր յուրաքանչյուր նմանատիպ քայլերի համար։

Այդ առումով մեծ առաջընթաց կատարվեց 1975 թվականին, երբ Ռիչարդ Բրենտը և Յուջին Սալամին (Eugene Salamin (mathematician)) իրարից անկախ հայտնաբերեցին Բրենտ-Սալամինի ալգորիթմը (անգլ.՝ Gauss–Legendre algorithm), որը օգտագործելով միայն թվաբանությունը, յուրաքանչյուր քայլում կրկնապատկում է հայտնի նշանների քանակը ։ Ալգորիթմը կազմվում է սկզբնական արժեքների տեղադրումից

$a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad \quad \quad p_{0}=1$

և իտերացիայից՝

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}$

$t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}$,

քանի դեռ a_n և b_n չեն դառնում բավականին մոտիկ։ Այդ դեպքում $\pi$-ի գնահատականը տրվում է հետևյալ բանաձևով՝

$\pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}$ :

Այս սխեմայի օգտագործմամբ 25 իտերացիան բավական է 45 միլիոն տասական նշանների ստացման համար։

Յուրաքանչյուր քայլում ճշտությունը չորս անգամ մեծացնելու համար նմանատիպ ալգորիթմ գտնվել է Ջոնաթան Բորուեյնի (անգլ.՝ onathan Borwein) և Պիտեր Բորուեյնի (անգլ.՝ Peter Borwein) կողմից։ Այդ մեթոդների օգնությամբ Յասումասա Կանադան և իր խումբը սկսած 1980 թվականից սահմանեցին $\pi$ թվի հաշվման բազմաթիվ ռեկորդներ մինչև 206 158 430 000 նշան 1999 թվականին։ 2002 թվականին Կանադան և իր խումբը սահմանեցին նոր ռեկորդ՝ 1 241 100 000 000 տասական նիշ։ Թերևս Կանադայի բազմաթիվ նախորդ ռեկորդները սահմանվել են Բրենտ-Սալամինի ալգորիթմի օգնությամբ, 2002 թվականի հաշվարկում օգտագործվել են մեչինովսկիների երկու բանաձևերը, որոնք աշխատում էին դանդաղ, սակայն կտրուկ նվազեցնում են հիշողության օգտագործումը։ Հաշվարկները կատարվել են 64 հանգույցով Hitachi գերարագ համակարգչով 1 տերաբայտ օպերատիվ հիշողությամբ, որն ընդունակ էր կատարելու 2 տրիլիոն գործողություն վարկյանում։

Վերջին ժամանակներում կարևորագույն զարգացում ստացավ Բեյլ-Բորուեյն-Պլաֆֆի բանաձևը՝ ստեղծված 1997 թվականին Սայմոն Պլաֆֆի կողմից (անգլ.՝ Simon Plouffe) և կոչվեց հոդվածի հեղինակի անունով, որում նա առաջին անգամ էր հրապարակվել։ Այդ բանաձևն էր՝

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)$ ,

հատկանշական է այն, որ այն հնարավորություն է տալիս առանձնացնել $\pi$ թվի ցանկացած կոնկրետ տասնվեցական կամ երկուական թիվ առանց նախորդների հաշվման։ 1998-ից 2000 թվականներին PiHex-ի բաժանված պրոյեկտը օգտագործեց Ֆաբրիս Բելարի ձևափոխված բանաձևը $\pi$ թվի կվադրիլիոններորդ բիտի հաշվան համար, որը պարզվեց զրո էր ։

2006 թվականին Սայմոն Պլաֆֆը օգտագործելով PSQL-ը գտավ մի շարք գեղեցիկ բանաձևեր ։ Ենթադրենք q = e^π, այդ դեպքում

${\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n}-1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)$

${\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac {4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)$

և այլ տեսքի

$\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)$

որտեղ q = e^π, , $k$–ն կենտ թիվ է, և $a,b,c$-ն ռացիոնալ թվեր են։ Եթե $k$-ն $4m+3$ տեսքի է, ապա այդ բանաձևը ունի բավականին պարզ տեսք՝

$p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}}{q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)$

ռացիոնալ $p$-ի համար, որի հայտարարը թիվ է, լավ ներկայացված արտադրիչների տեսքով, թերևս ճշգրիտ ապացույցը ներկայացված չէ։

2009 թվականի օգոստոսին ճապոնական Ցուկուբո համալսարանի գիտնականները հաշվարկեցին տասական կարգի 2 576 980 377 524-ից հաջորդականություն ։

2009 թվականի դեկտեմբերի 31-ին ֆրանսիացի ծրագրավորող Ֆաբրիս Բելլարը անհատական համակարգչի վրա հաշվարկեց տասական կարգի 2 699 999 990 000-ից հաջորդականություն ։

2010 թվականի օգոստոսի 2-ին ամերիկացի ուսանող Ալեկսանդր Յին և ճապոնացի հետազոտոզ Սիգերու Կոնդոն հաշվեցին ստորակետից հետո 5 տրիլիոն թվանշանների ճշտության հաջորդականություն ։

2011 թվականի հոկտեմբերի 19-ին Ալեկսանդր Յին և Սիգերու Կոնդոն հաշվեցին ստորակետից հետո 10 տրիլիոն թվանշանների ճշտության հաջորդականություն ։

Ուշագրավ փաստեր

• 2010 թվականի դրությամբ հաշվարկված է ստորակետից հետո հինգ տրիլիոն թվանշան։
• 2011 թվականի դրությամբ հաշվարկված է ստորակետից հետո տաս տրիլիոն թվանշան։
• Մարտի 14-ին նշվում է պի թվի օրը։
• $\pi$ թվի հետ է կապված նաև հուլիսի 22-ը` «Մոտավոր $\pi$ թվի օրը» (անգլ.՝ Pi Approximation Day), այն բանի շնորհիվ, որ ամսաթվերի եվրոպական ձևաչափով այդ օրը գրվում է 22/7, իսկ այդ տեսքով գրված կոտորակը համապատասխանում է $\pi$-ի մոտավոր արժեքին։
• Պի թվի առաջին տասը նիշերը հիշելու համար կա հայերեն բանաստեղծություն (ըստ բառերում տառերի քանակի).

3.141592653 = Ահա և հեշտ և սիրով սովորեցիր մի պիտանի խրթին թիվ

Չլուծված պրոբլեմներ

• Հայտնի չէ, հանդիսանում են արդյոք $\pi$ և $e$ թվերը հանրահաշվորեն անկախ։
• Հայտնի չէ հետևյալ թվերից յուրաքանչյուրի ճշգրիտ իռացիոնալության չափը՝ $\pi$ և $\pi ^{2}$ , սակայն հայտնի է, որ $\pi$-ի համար այն չի գերազանցում 7,6063-ը։
• Անհայտ է հետևյալ թվերից յուրաքանչյուրի իռացիոնալության չափը՝ $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},e^{\pi ^{2}},e^{e},2^{e}$ ։ Նույնիսկ նրանցից յուրաքանչյուրի համար հայտնի չէ, հանդիսանում են ռացիոնալ թիվ, հանրահաշվորեն իռացիոնալ կամ տրանսցենդենտ թիվ։
• Հայտնի չէ, հանդիսանում է արդյոք ամբողջ թիվ ${}^{n}\pi$-ն որևէ դրական ամբողջ $n$-ի համար (տես Տետրացիա)։
• Հայտնի չէ, պականում է արդյոք ${\frac {1}{\pi }}$ - ն պարբերությունների օղակին։
• Մինչ օրս ոչինչ հայտնի չէ $\pi$ թվի նորմալության մասին, հայտնի չէ նույնիսկ, 0-9 թվանշաններից որն է $\pi$ թվի տասական ներկայացման մեջ կրկնվում անվերջ անգամ։