«Նյոթերի թեորեմ»–ի խմբագրումների տարբերություն
Հեռացվում է {{խմբագրում եմ}} կաղապարը |
չ կետադրական |
||
Տող 2. | Տող 2. | ||
'''Նյոթերի թեորեմը''' պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ [[սիմետրիա (ֆիզիկա)|սիմետրիայի]] համապատասխանում է որոշակի [[պահպանման օրենք]]. |
'''Նյոթերի թեորեմը''' պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ [[սիմետրիա (ֆիզիկա)|սիմետրիայի]] համապատասխանում է որոշակի [[պահպանման օրենք]]. |
||
*[[Ժամանակ |
*[[Ժամանակ]]ի համասեռությանը համապատասխանում է [[էներգիայի պահպանման օրենք]]ը։ |
||
*[[Տարածություն|Տարածության]] համասեռությանը համապատասխանում է [[իմպուլսի պահպանման օրենք]]ը։ |
*[[Տարածություն|Տարածության]] համասեռությանը համապատասխանում է [[իմպուլսի պահպանման օրենք]]ը։ |
||
*Տարածության [[Իզոտրոպություն|իզոտրոպությանը]] համապատասխանում է [[իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենք]]ը։ |
*Տարածության [[Իզոտրոպություն|իզոտրոպությանը]] համապատասխանում է [[իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենք]]ը։ |
||
*[[Տրամաչափային սիմետրիա |
*[[Տրամաչափային սիմետրիա]]յին համապատասխանում է [[Լիցքի պահպանման օրենք|էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը]] և այլն։ |
||
Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է [[գործողություն (ֆիզիկա)|գործողության]] [[ֆունկցիոնալ]] ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է [[ |
Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է [[գործողություն (ֆիզիկա)|գործողության]] [[ֆունկցիոնալ]] ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է [[լագրանժյան]]ի [[ինվարիանտ (ֆիզիկա)|ինվարիանտությունը]] ձևափոխությունների որոշ [[Լիի խումբ|անընդհատ խմբի]] նկատմամբ։ |
||
Թեորեմը սահմանել են [[Գյոթինգենի համալսարան|գյոթինգենյան դպրոցի]] գիտնականներ [[Դավիդ Հիլբերտ |
Թեորեմը սահմանել են [[Գյոթինգենի համալսարան|գյոթինգենյան դպրոցի]] գիտնականներ [[Դավիդ Հիլբերտ]]ը, [[Ֆելիքս Կլայն]]ը և [[Էմմի Նյոթեր]]ը։ Ապացուցել է Էմմի Նյոթերը 1915 թվականին, հրատարակել՝ 1918 թվականին<ref>{{cite journal | author = Noether E | year = 1918 | title = Invariante Variationsprobleme | journal = Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse | volume = 1918 | pages = 235–257 }}</ref>։ |
||
== Ձևակերպում == |
== Ձևակերպում == |
||
Տող 16. | Տող 16. | ||
: <math>I=\sum^n_{i=1}\left( \frac{d}{ds} g^s(q_i) \right) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}</math>։ |
: <math>I=\sum^n_{i=1}\left( \frac{d}{ds} g^s(q_i) \right) \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}</math>։ |
||
Ձևակերպենք [[անվերջ փոքր |
Ձևակերպենք [[անվերջ փոքր]]երի ձևափոխությունների տերմիններով։ Դիցուք կոորդինատների անվերջ փոքր ձևափոխությունը |
||
: <math>g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)</math> |
: <math>g^s(\vec q) = \vec q_0 + s \vec \psi (\vec q,\; t)</math> |
||
տեսքն ունի, իսկ <math>L(q,\; \dot q,\; t)</math> Լագրանժնի ֆունկցիան ինվարիանտ է այդ ձևափոխությունների նկատմամբ, այսինքն |
տեսքն ունի, իսկ <math>L(q,\; \dot q,\; t)</math> Լագրանժնի ֆունկցիան ինվարիանտ է այդ ձևափոխությունների նկատմամբ, այսինքն |
||
Տող 31. | Տող 31. | ||
=== Դաշտի տեսություն === |
=== Դաշտի տեսություն === |
||
Նյոթերի թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել անվերջ մեծ թվով [[ազատության աստիճաններ |
Նյոթերի թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել անվերջ մեծ թվով [[ազատության աստիճաններ]]ով համակարգի համար։ Այդպիսի համակարգեր են [[Գրավիտացիոն դաշտ|գրավիտացիոն]] և [[էլեկտրամագնիսական դաշտ|էլեկտրամագնիսական]] դաշտերը։ |
||
Դիցուք համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան կախված է <math>n</math> պոտենցիալներից, որոնք իրենց հերթին կախված են <math>k</math> կոորդինատներից։ Գործողության ֆունկցիոնալը կունենա |
Դիցուք համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան կախված է <math>n</math> պոտենցիալներից, որոնք իրենց հերթին կախված են <math>k</math> կոորդինատներից։ Գործողության ֆունկցիոնալը կունենա |
||
: <math>S = \int L(A^i,\; \partial_\mu A^i,\; x^\mu)\, d \Omega,\quad i=1, \ldots,\; n,\quad \mu=1,\; \ldots,\; k,\quad d\Omega = dx^1\ldots dx^k</math> |
: <math>S = \int L(A^i,\; \partial_\mu A^i,\; x^\mu)\, d \Omega,\quad i=1, \ldots,\; n,\quad \mu=1,\; \ldots,\; k,\quad d\Omega = dx^1\ldots dx^k</math> |
||
Տող 45. | Տող 45. | ||
Դիցուք ունենք <math>S=\int L (\vec u, \vec x,\dots ) \, d\boldsymbol x</math> գործողության ֆունկցիոնալով [[վարիացիոն խնդիր]]։ Այստեղ <math>L</math>-ը [[լագրանժյան]]ն է. <math>x</math>-ն՝ անկախ փոփոխականներ, <math>u</math>-ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ <math>x</math>-ից։ <math>L</math> կարող է կախված լինել նաև <math>u</math>-ի ածանցյալներից ըստ <math>x</math>-ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։ |
Դիցուք ունենք <math>S=\int L (\vec u, \vec x,\dots ) \, d\boldsymbol x</math> գործողության ֆունկցիոնալով [[վարիացիոն խնդիր]]։ Այստեղ <math>L</math>-ը [[լագրանժյան]]ն է. <math>x</math>-ն՝ անկախ փոփոխականներ, <math>u</math>-ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ <math>x</math>-ից։ <math>L</math> կարող է կախված լինել նաև <math>u</math>-ի ածանցյալներից ըստ <math>x</math>-ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։ |
||
Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի [[դիֆերենցիալ հավասարումներ |
Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի [[դիֆերենցիալ հավասարումներ]]ի, որոնք կարելի է գրել |
||
<math>\mathrm{E_\alpha} (L)=0~,~\alpha=1\dots q</math> |
<math>\mathrm{E_\alpha} (L)=0~,~\alpha=1\dots q</math> |
||
Տող 54. | Տող 54. | ||
<math>u^{\alpha}_{x_i}</math>-ն <math>u^{\alpha}</math> ֆունկցիայի ածանցյալն է ըստ <math>x_i</math> փոփոխականի։ Բազմակետը նշանակում է, որ եթե <math>L</math>-ը կախված է առաջինից բարձի կարգի ածանցյալներից, ապա <math>\mathrm{E}</math>-ին պետք է ավելացնել համապատասխան գումարելիները։ Ամփոփ գրառմամբ |
<math>u^{\alpha}_{x_i}</math>-ն <math>u^{\alpha}</math> ֆունկցիայի ածանցյալն է ըստ <math>x_i</math> փոփոխականի։ Բազմակետը նշանակում է, որ եթե <math>L</math>-ը կախված է առաջինից բարձի կարգի ածանցյալներից, ապա <math>\mathrm{E}</math>-ին պետք է ավելացնել համապատասխան գումարելիները։ Ամփոփ գրառմամբ |
||
<math>\mathrm{E_\alpha}= \sum_J (-D)_J\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_J}</math>, |
<math>\mathrm{E_\alpha}= \sum_J (-D)_J\frac{\partial}{\partial u^{\alpha}_J}</math>, |
||
որտեղ <math>J</math> — մուլտինդեքսն է։ Գումարումը կատարվում է ըստ բոլոր բաղադրիչների այնպես, որ <math>u^{\alpha}_J</math> ածանցյալը մտնում է <math>L</math>-ի մեջ։ |
որտեղ <math>J</math> — մուլտինդեքսն է։ Գումարումը կատարվում է ըստ բոլոր բաղադրիչների այնպես, որ <math>u^{\alpha}_J</math> ածանցյալը մտնում է <math>L</math>-ի մեջ։ |
||
Տող 62. | Տող 62. | ||
==== Պահպանման օրենքներ ==== |
==== Պահպանման օրենքներ ==== |
||
Պահպահման օրենքները դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար |
Պահպահման օրենքները դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար |
||
<math>\mathrm{Div} \vec P =0</math> |
<math>\mathrm{Div} \vec P =0</math> |
||
տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ <math>\mathrm{Div}</math>-ն լրիվ [[դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիա]] ([[լրիվ ածանցյալ |
տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ <math>\mathrm{Div}</math>-ն լրիվ [[դիվերգենցիա (մաթեմատիկա)|դիվերգենցիա]] ([[լրիվ ածանցյալ]]ներով դիվերգենցիալ) է ըստ <math>x</math>-ի։ <math>\vec P</math>-ն <math>u</math>-ի, <math>x</math>-ի և ըստ <math>x</math>-ի <math>u</math>-ի ածանցյալների հարթ ֆունկցիաներ են։ |
||
''Պահպանման տրիվալ օրենքներ'' են կոչվում այն պահպանման օրենքները, |
''Պահպանման տրիվալ օրենքներ'' են կոչվում այն պահպանման օրենքները, |
||
* որոնց համար <math>\mathrm{Div} \vec P =0</math>-ն ինքնին նույնություն է՝ առանց որևէ դիֆերենցիալ հավասարում հաշվի առնելու, կամ |
* որոնց համար <math>\mathrm{Div} \vec P =0</math>-ն ինքնին նույնություն է՝ առանց որևէ դիֆերենցիալ հավասարում հաշվի առնելու, կամ |
||
Տող 93. | Տող 93. | ||
«Ընդհանրացումն» այն իմաստով է, որ <math>\xi</math> և <math>\varphi</math>-ն կարող են կախված լինել ոչ միայն <math>u</math>-ից և <math>x</math>-ից, այլև <math>u</math>-ի ածանցյալներից ըստ <math>x</math>-ի։ |
«Ընդհանրացումն» այն իմաստով է, որ <math>\xi</math> և <math>\varphi</math>-ն կարող են կախված լինել ոչ միայն <math>u</math>-ից և <math>x</math>-ից, այլև <math>u</math>-ի ածանցյալներից ըստ <math>x</math>-ի։ |
||
''Սահմանում.'' <math>\vec v</math>-ն կոչվում է <math>S</math> ֆունկցիոնալի ''վարիացիոն սիմետրիա'', եթե գոյություն ունի <math>\vec{\mathrm{B}}(\vec u, \vec x,\dots )</math> համախումբ այնպես, որ |
''Սահմանում.'' <math>\vec v</math>-ն կոչվում է <math>S</math> ֆունկցիոնալի ''վարիացիոն սիմետրիա'', եթե գոյություն ունի <math>\vec{\mathrm{B}}(\vec u, \vec x,\dots )</math> համախումբ այնպես, որ |
||
<math>\mathrm{pr}\, \vec v (L) +L\, \mathrm{Div}\, \vec \xi=\mathrm{Div}\, \vec{\mathrm{B}}</math>։ |
<math>\mathrm{pr}\, \vec v (L) +L\, \mathrm{Div}\, \vec \xi=\mathrm{Div}\, \vec{\mathrm{B}}</math>։ |
||
<math>\mathrm{pr}\, \vec v</math>-ն <math>\vec v</math>-ի ''շարունակությունն'' է։ Շարունակությունը հաշվի է առնում, որ <math>\vec v</math>-ի գործողությունը <math>u</math>-ի և <math>x</math>-ի վրա առաջացնում է նաև ածանցյալների անվերջ փոքր փոփոխություն, և տրվում է |
<math>\mathrm{pr}\, \vec v</math>-ն <math>\vec v</math>-ի ''շարունակությունն'' է։ Շարունակությունը հաշվի է առնում, որ <math>\vec v</math>-ի գործողությունը <math>u</math>-ի և <math>x</math>-ի վրա առաջացնում է նաև ածանցյալների անվերջ փոքր փոփոխություն, և տրվում է |
||
<math>\mathrm{pr}\, \vec v = \vec v + \sum_{\alpha,J}\varphi^J_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha_J}~,~\varphi^J_\alpha=D_J \bigl(\varphi_\alpha-\sum_i \xi^i u^\alpha_i \bigr)</math> |
<math>\mathrm{pr}\, \vec v = \vec v + \sum_{\alpha,J}\varphi^J_\alpha\frac{\partial}{\partial u^\alpha_J}~,~\varphi^J_\alpha=D_J \bigl(\varphi_\alpha-\sum_i \xi^i u^\alpha_i \bigr)</math> |
||
Տող 103. | Տող 103. | ||
բանաձևերով։ Շարունակության համար բանաձևում պետք է բացի <math>\vec v</math>-ից վերցնել այնպիսի <math>\partial /\partial u^\alpha_J</math>-ով բաղադրիչներ, որոնց համար <math>u^\alpha_J</math>-ն մտնում է <math>L</math>-ի մեջ, կամ, ընդհանուր դեպքում, այն արտահայտության մեջ, որի վրա ազդում է շարունակությունը։ |
բանաձևերով։ Շարունակության համար բանաձևում պետք է բացի <math>\vec v</math>-ից վերցնել այնպիսի <math>\partial /\partial u^\alpha_J</math>-ով բաղադրիչներ, որոնց համար <math>u^\alpha_J</math>-ն մտնում է <math>L</math>-ի մեջ, կամ, ընդհանուր դեպքում, այն արտահայտության մեջ, որի վրա ազդում է շարունակությունը։ |
||
Վարիացիոն սիմետրիայի սահմանման իմաստն այն է, որ <math>\vec v</math>-ն անվերջ փոքր ձևափոխություն է, որոնք առաջին աստիճանում փոխում են <math>S</math> ֆունկցիոնալն այնպես, որ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ձևափոխվում են համարժեք հավասարումների։ Ճիշտ է հետևյալ թեորեմը. |
Վարիացիոն սիմետրիայի սահմանման իմաստն այն է, որ <math>\vec v</math>-ն անվերջ փոքր ձևափոխություն է, որոնք առաջին աստիճանում փոխում են <math>S</math> ֆունկցիոնալն այնպես, որ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ձևափոխվում են համարժեք հավասարումների։ Ճիշտ է հետևյալ թեորեմը. |
||
Եթե <math>\vec v</math>-ն վարիացիոն սիմետրիա է, ապա <math>\vec v</math>-ն հանդիսանում է Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների (ընդհանրացված) սիմետրիա. |
Եթե <math>\vec v</math>-ն վարիացիոն սիմետրիա է, ապա <math>\vec v</math>-ն հանդիսանում է Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների (ընդհանրացված) սիմետրիա. |
||
Տող 113. | Տող 113. | ||
==== Վեկտորական դաշտերի բնութագրեր ==== |
==== Վեկտորական դաշտերի բնութագրեր ==== |
||
<math>Q_\alpha=\varphi_\alpha-\sum_i\xi^i u^\alpha_i</math> ֆունկցիաների համախումբը (վերը բերված նշանակումներով) կոչվում է <math>\vec v</math> վեկտորական դաշտի բնութագիր։ <math>\vec v</math>-ի փոխարեն կարելի է վերցնել |
<math>Q_\alpha=\varphi_\alpha-\sum_i\xi^i u^\alpha_i</math> ֆունկցիաների համախումբը (վերը բերված նշանակումներով) կոչվում է <math>\vec v</math> վեկտորական դաշտի բնութագիր։ <math>\vec v</math>-ի փոխարեն կարելի է վերցնել |
||
<math>\vec v_Q=\sum_\alpha Q_\alpha \frac{\partial}{\partial u^\alpha}</math> |
<math>\vec v_Q=\sum_\alpha Q_\alpha \frac{\partial}{\partial u^\alpha}</math> |
||
Տող 121. | Տող 121. | ||
<math>\vec v</math>-ն և <math>\vec v_Q</math>-ն ըստ էության նույն սիմետրիան են սահմանում, այդ պատճառով եթե հայտնի են <math>Q_\alpha</math>-ի բնութագրերը, կարելի է համարել, որ դրանով սիմետրիան տրված է։ <math>\vec v_Q</math>-ի շարունակությունը որոշվում է <math>\vec v</math>-ի շարունակության նման, բայց ֆորմալ տեսանկյունից ավելի պարզ է, քանի որ կարիք չկա առանձին հաշվի առնելու <math>\xi</math>- երի ներդրումները։ |
<math>\vec v</math>-ն և <math>\vec v_Q</math>-ն ըստ էության նույն սիմետրիան են սահմանում, այդ պատճառով եթե հայտնի են <math>Q_\alpha</math>-ի բնութագրերը, կարելի է համարել, որ դրանով սիմետրիան տրված է։ <math>\vec v_Q</math>-ի շարունակությունը որոշվում է <math>\vec v</math>-ի շարունակության նման, բայց ֆորմալ տեսանկյունից ավելի պարզ է, քանի որ կարիք չկա առանձին հաշվի առնելու <math>\xi</math>- երի ներդրումները։ |
||
Նյոթերի թեորեմը կապ է հաստատում պահպանման օրենքների բնութագրերի և վեկտորական դաշտերի բնութագրերի միջև։ |
Նյոթերի թեորեմը կապ է հաստատում պահպանման օրենքների բնութագրերի և վեկտորական դաշտերի բնութագրերի միջև։ |
||
==== Նյոթերի թեորեմ ==== |
==== Նյոթերի թեորեմ ==== |
||
Տող 128. | Տող 128. | ||
== Պահպանման օրենքներ == |
== Պահպանման օրենքներ == |
||
Դասական մեխանիկայում [[էներգիա |
Դասական մեխանիկայում [[էներգիա]]յի, [[իմպուլս (շարժման քանակ)|իմպուլսի]] և [[իմպուլսի մոմենտ]]ի [[պահպանման օրենքներ]]ն արտածվում են համակարգի [[լագրանժյան]]ի համասեռություն-իզոտրոպությունից. լագրանժյանը (Լագրանժի ֆունկցիան) ինքնին չի փոփոխվում ժամանակի ընթացքում և չի փոփոխվում տարածության մեջ համակարգի տեղափոխությունից կամ պտույտից։ Ըստ էության դա նշանակում է, որ լաբորատորիայում գտնվող որևէ փակ համակարգի դիտարկելիս, անկախ լաբորատորիայի դիրքից և փորձն անցկացնելու ժամանակից, կստացվեն նույն արդյունքները։ Համակարգի լագրանժյանի մյուս սիմետրիաները, եթե կան այդպիսիք, համապատասխանում են տվյալ համակարգում պահպանվող այլ մեծությունների ([[շարժման ինտեգրալ]]ների), օրինակ, [[երկու մարմինների խնդիր|երկու մարմինների]] գրավիտացիոն և կուլոնյան խնդրի լագրանժյանի սիմետրիան հանգեցնում է որ միայն էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման, այլև՝ [[Լապլա-Ռունգե-Լենցի վեկտոր]]ի պահպանման։ |
||
== Կիրառություններ == |
== Կիրառություններ == |
||
Նյոթերի թեորեմը թույլ է տալիս նշանակալի տեղեկություն ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հատկությունների մասին՝ ելնելով միայն նրանց սիմետրիայից։ Այն նաև [[սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ |
Նյոթերի թեորեմը թույլ է տալիս նշանակալի տեղեկություն ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հատկությունների մասին՝ ելնելով միայն նրանց սիմետրիայից։ Այն նաև [[սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներ]]ի ինտեգրման եղանակներից մեկն է, քանի որ թույլ է տալիս որոշ դեպքերում գտնել հավասարումների համակարգի առաջին ինտեգրալը և այդպիսով նվազեցնել անհայտ ֆունկցիաների թիվը։ Օրինակ, |
||
* Համակարգի [[իմպուլսի պահպանման օրենք|իմպուլսի պահպանումը]] բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե ''X'' առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով <math>p_x</math> իմպուլսը պահպանվում է։ |
* Համակարգի [[իմպուլսի պահպանման օրենք|իմպուլսի պահպանումը]] բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե ''X'' առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով <math>p_x</math> իմպուլսը պահպանվում է։ |
||
* [[Իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենք|Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը]] բխում է տարածության [[պտույտ |
* [[Իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենք|Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը]] բխում է տարածության [[պտույտ]]ների նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ |
||
* [[Էներգիայի պահպանման օրենք|Էներգիայի պահպանումը]] ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։ |
* [[Էներգիայի պահպանման օրենք|Էներգիայի պահպանումը]] ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։ |
||
[[Մասնակի ածանցյալներով հավասարումներ |
[[Մասնակի ածանցյալներով հավասարումներ]]ի դեպքում անհրաժեշտ է փնտրել անվերջ թվով առաջին ինտեգրալներ։ Նույնիսկ դրանք իմանալով՝ սովորաբար հեշտ չէ գտնել ընդհանուր լուծում։ |
||
Հիմնարար բնույթի շնորհիվ Նյոթերի թեորեմը կիրառվում է ֆիզիկային այնպիսի բնագավառներում, ինչպես [[քվանտային մեխանիկա]]ն է՝ հենց իմպուլսի, իմպուլսի մոմենտի և այլ հասկացությունները սահմանելու համար։ Հավասարումների ինվարիանտությունը որոշ սիմետրիաների նկատմամբ այդ մեծությունների միակ իսկությունն է դառնում և երաշխավորում է նրանց պահպանումը։ |
Հիմնարար բնույթի շնորհիվ Նյոթերի թեորեմը կիրառվում է ֆիզիկային այնպիսի բնագավառներում, ինչպես [[քվանտային մեխանիկա]]ն է՝ հենց իմպուլսի, իմպուլսի մոմենտի և այլ հասկացությունները սահմանելու համար։ Հավասարումների ինվարիանտությունը որոշ սիմետրիաների նկատմամբ այդ մեծությունների միակ իսկությունն է դառնում և երաշխավորում է նրանց պահպանումը։ |
||
Դաշտի քվանտային տեսությունում Նյոթերի թեորեմի համակերպը ''Ուորդ-Տակահաշիի նույնաությունն'' է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավելյալ պահպանման օրենքներ։ Օրինակ, [[ |
Դաշտի քվանտային տեսությունում Նյոթերի թեորեմի համակերպը ''Ուորդ-Տակահաշիի նույնաությունն'' է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավելյալ պահպանման օրենքներ։ Օրինակ, [[էլեկտրական լիցք]]ի պահպաման օրենքը բխում է մասնիկի [[կոմպլեքս թվեր|կոմպլեքս]] [[ալիքային ֆունկցիա]]յի փուլի փոփոխության նկատմամբ ֆիզիկական համակարգի ինվարիանտությունից և էլեկտրամագնիսական դաշտի [[վեկտորական պոտենցիալ|վեկտորական]] ու [[սկալյար պոտենցիալ|սկալյար]] պոտենցիալների համապատասխան [[տրամաչափային ինվարիանտություն|տրամաչափավորումից]]։ |
||
Նյոթերի լիցքը կիրառվում է նաև ստացիոնար [[սև խոռոչ |
Նյոթերի լիցքը կիրառվում է նաև ստացիոնար [[սև խոռոչ]]ի [[էնտրոպիա (թերմոդինամիկա)|էնտրոպիան]] հաշվելու համար<ref>[http://arxiv.org/abs/gr-qc/9503052 Calculating the entropy of stationary black holes]. {{ref-en}}</ref>։ |
||
== Ծանոթագրություններ == |
== Ծանոթագրություններ == |
07:17, 30 Ապրիլի 2015-ի տարբերակ
Նյոթերի թեորեմը պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ սիմետրիայի համապատասխանում է որոշակի պահպանման օրենք.
- Ժամանակի համասեռությանը համապատասխանում է էներգիայի պահպանման օրենքը։
- Տարածության համասեռությանը համապատասխանում է իմպուլսի պահպանման օրենքը։
- Տարածության իզոտրոպությանը համապատասխանում է իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը։
- Տրամաչափային սիմետրիային համապատասխանում է էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը և այլն։
Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է գործողության ֆունկցիոնալ ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է լագրանժյանի ինվարիանտությունը ձևափոխությունների որոշ անընդհատ խմբի նկատմամբ։
Թեորեմը սահմանել են գյոթինգենյան դպրոցի գիտնականներ Դավիդ Հիլբերտը, Ֆելիքս Կլայնը և Էմմի Նյոթերը։ Ապացուցել է Էմմի Նյոթերը 1915 թվականին, հրատարակել՝ 1918 թվականին[1]։
Ձևակերպում
Դասական մեխանիկա
դիֆեոմորֆիզմների յուրաքանչյուր միապարամետրական խմբի, որի լագրանժյանը պահպանվում է, համապատասխանում է համակարգի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է
- ։
Ձևակերպենք անվերջ փոքրերի ձևափոխությունների տերմիններով։ Դիցուք կոորդինատների անվերջ փոքր ձևափոխությունը
տեսքն ունի, իսկ Լագրանժնի ֆունկցիան ինվարիանտ է այդ ձևափոխությունների նկատմամբ, այսինքն
- , եթե ։
Այդ դեպքում համակարգի համար գոյություն ունի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է
- ։
Թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել ժամանակն ընդգրկող ձևափոխությունների համար, եթե ժամանակի շարժումը պատկերացնենք որոշ պարամետրից կախված, ընդ որում շարժման պրոցեսում ։ Այդ դեպքում
ձևափոխություններից հետևում է առաջին ինտեգրալը՝
- ։
Դաշտի տեսություն
Նյոթերի թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել անվերջ մեծ թվով ազատության աստիճաններով համակարգի համար։ Այդպիսի համակարգեր են գրավիտացիոն և էլեկտրամագնիսական դաշտերը։ Դիցուք համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան կախված է պոտենցիալներից, որոնք իրենց հերթին կախված են կոորդինատներից։ Գործողության ֆունկցիոնալը կունենա
տեսքը։ Դիցուք պոտենցիալների տարածության դիֆեոմորֆիզմների խումբը պահպանում է Լագրանժի ֆունկցիան։ Այդ դեպքում պահպանվում է
վեկտորը, որը կոչվում է Նյոթերի հոսքի վեկտոր։ Գումարում է կատարվում ըստ կրկնվող ինդեքսների. ։ Նյոթերի հոսքի վեկտորի պահպանման իմաստն այն է, որ
այդ պատճառով հոսքը կոորդինատների տարածության ցանկացած փակ մակերևույթով 0 է։ Մասնավորապես, եթե կոորդինատներից առանձնացնենք մեկը՝ ժամանակ կոչվածը, և դիտարկենք հաստատուն ժամանակի հիպերհարթությունը, ապա հոսքը այդպիսի հիպերհարթությունով հաստատուն է ժամանակի ընթացքում, պայմանով, որ դաշտը անվերջությունում բավարար արագ է նվազում, իսկ հիպերմակերևույթը կոմպակտ չէ, այնպես որ վեկտորի հոսքը երկու հիպերմակերևույթների միջակա տարածության տիրույթի կողային սահմանով հավասար է 0։ Դաշտի դասական տեսության մեջ այդպիսի հատկություն ունի, օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիա-իմպուլսի թենզորը։ Վակուումում դաշտի լագրանժյանը բացահայտ կախված չէ կոորդինատներից, այդ պատճառով ունենք էներգիայի-իմպուլսի հոսքին զուգորդվող պահպանվող մեծություն։
Դիֆերենցիալ հավասարումներ
Դիցուք ունենք գործողության ֆունկցիոնալով վարիացիոն խնդիր։ Այստեղ -ը լագրանժյանն է. -ն՝ անկախ փոփոխականներ, -ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ -ից։ կարող է կախված լինել նաև -ի ածանցյալներից ըստ -ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։
Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումների, որոնք կարելի է գրել
տեսքով, որտեղ -երը Էյլեր-Լագրանժի օպերատորներն են՝
,
-ն ֆունկցիայի ածանցյալն է ըստ փոփոխականի։ Բազմակետը նշանակում է, որ եթե -ը կախված է առաջինից բարձի կարգի ածանցյալներից, ապա -ին պետք է ավելացնել համապատասխան գումարելիները։ Ամփոփ գրառմամբ ,
որտեղ — մուլտինդեքսն է։ Գումարումը կատարվում է ըստ բոլոր բաղադրիչների այնպես, որ ածանցյալը մտնում է -ի մեջ։
Նյոթերի թեորեմը կապում է ֆունկցիոնալի այսպես կոչված վարիացիոն սիմետրիաները պահպանման օրենքների հետ, որոնք տեղի են ունենում Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների լուծումներով։
Պահպանման օրենքներ
Պահպահման օրենքները դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար
տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ -ն լրիվ դիվերգենցիա (լրիվ ածանցյալներով դիվերգենցիալ) է ըստ -ի։ -ն -ի, -ի և ըստ -ի -ի ածանցյալների հարթ ֆունկցիաներ են։ Պահպանման տրիվալ օրենքներ են կոչվում այն պահպանման օրենքները,
- որոնց համար -ն ինքնին նույնություն է՝ առանց որևէ դիֆերենցիալ հավասարում հաշվի առնելու, կամ
- որոնց համար -ն 0 է դառնում, հենց տեղադրում ենք դիֆերենցիալ հավասարումները՝ առանց դիվերգենցիաները հաշվելու (լուծումներում պահպանվում է նույնական զրոն), կամ
- որոնց համար -ն նախորդ դեպքերի գծային կոմբինացիան է։
Եթե և ֆունկցիաներով երկու պահպանման օրենքների համար տարբերությունը պահպանման տրիվիալ օրենք է, ապա այդպիսի պահպանման օրենքները կոչվում են համարժեք։
Յուրաքանչյուր պահպանման օրենք համարժեք է բնութագրական ձև ունեցող պահպանման օրենքին, այսինքն այնպիսի օրենքին, որի համար
,
որտեղ -ն արտահայտություններ են, որոնք մտնում են դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ համակարգերի մեջ. ։ Նկարագրվող դեպքի համար և
։
կախված են -ից, -ից և ըստ -ի -ի ածանցյալներից և կոչվում են պահպանման օրենքի բնութագրեր։
Վարիացիոն սիմետրիաներ
Դիցուք ունենք ընդհանրացված վեկտորական դաշտ.
։
«Ընդհանրացումն» այն իմաստով է, որ և -ն կարող են կախված լինել ոչ միայն -ից և -ից, այլև -ի ածանցյալներից ըստ -ի։
Սահմանում. -ն կոչվում է ֆունկցիոնալի վարիացիոն սիմետրիա, եթե գոյություն ունի համախումբ այնպես, որ
։
-ն -ի շարունակությունն է։ Շարունակությունը հաշվի է առնում, որ -ի գործողությունը -ի և -ի վրա առաջացնում է նաև ածանցյալների անվերջ փոքր փոփոխություն, և տրվում է
բանաձևերով։ Շարունակության համար բանաձևում պետք է բացի -ից վերցնել այնպիսի -ով բաղադրիչներ, որոնց համար -ն մտնում է -ի մեջ, կամ, ընդհանուր դեպքում, այն արտահայտության մեջ, որի վրա ազդում է շարունակությունը։
Վարիացիոն սիմետրիայի սահմանման իմաստն այն է, որ -ն անվերջ փոքր ձևափոխություն է, որոնք առաջին աստիճանում փոխում են ֆունկցիոնալն այնպես, որ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ձևափոխվում են համարժեք հավասարումների։ Ճիշտ է հետևյալ թեորեմը.
Եթե -ն վարիացիոն սիմետրիա է, ապա -ն հանդիսանում է Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների (ընդհանրացված) սիմետրիա.
։
Այս բանաձևը նշանակում է, որ արտահայտությունների անվերջ փոքր փոփոխությունները, որոնք այստեղ գրված են տեսքով, լուծումներում 0 են դառնում։
Վեկտորական դաշտերի բնութագրեր
ֆունկցիաների համախումբը (վերը բերված նշանակումներով) կոչվում է վեկտորական դաշտի բնութագիր։ -ի փոխարեն կարելի է վերցնել
Վեկտորական դաշտ, որը կոչվում է -ի էվոլյուցիոն ներկայացուցիչ։
-ն և -ն ըստ էության նույն սիմետրիան են սահմանում, այդ պատճառով եթե հայտնի են -ի բնութագրերը, կարելի է համարել, որ դրանով սիմետրիան տրված է։ -ի շարունակությունը որոշվում է -ի շարունակության նման, բայց ֆորմալ տեսանկյունից ավելի պարզ է, քանի որ կարիք չկա առանձին հաշվի առնելու - երի ներդրումները։
Նյոթերի թեորեմը կապ է հաստատում պահպանման օրենքների բնութագրերի և վեկտորական դաշտերի բնութագրերի միջև։
Նյոթերի թեորեմ
ընդհանրացված վեկտորական դաշտը սահմանում է ֆունկցիոնալի սիմետրիաների խումբը միայն և միայն այն դեպքում, եթե նրա բնութագիրը պահպանման օրենքի բնութագիրն է Էյլեր-Լագրանժի համապատասխան հավասարումների համար։
Պահպանման օրենքներ
Դասական մեխանիկայում էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքներն արտածվում են համակարգի լագրանժյանի համասեռություն-իզոտրոպությունից. լագրանժյանը (Լագրանժի ֆունկցիան) ինքնին չի փոփոխվում ժամանակի ընթացքում և չի փոփոխվում տարածության մեջ համակարգի տեղափոխությունից կամ պտույտից։ Ըստ էության դա նշանակում է, որ լաբորատորիայում գտնվող որևէ փակ համակարգի դիտարկելիս, անկախ լաբորատորիայի դիրքից և փորձն անցկացնելու ժամանակից, կստացվեն նույն արդյունքները։ Համակարգի լագրանժյանի մյուս սիմետրիաները, եթե կան այդպիսիք, համապատասխանում են տվյալ համակարգում պահպանվող այլ մեծությունների (շարժման ինտեգրալների), օրինակ, երկու մարմինների գրավիտացիոն և կուլոնյան խնդրի լագրանժյանի սիմետրիան հանգեցնում է որ միայն էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման, այլև՝ Լապլա-Ռունգե-Լենցի վեկտորի պահպանման։
Կիրառություններ
Նյոթերի թեորեմը թույլ է տալիս նշանակալի տեղեկություն ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հատկությունների մասին՝ ելնելով միայն նրանց սիմետրիայից։ Այն նաև սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրման եղանակներից մեկն է, քանի որ թույլ է տալիս որոշ դեպքերում գտնել հավասարումների համակարգի առաջին ինտեգրալը և այդպիսով նվազեցնել անհայտ ֆունկցիաների թիվը։ Օրինակ,
- Համակարգի իմպուլսի պահպանումը բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե X առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով իմպուլսը պահպանվում է։
- Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը բխում է տարածության պտույտների նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։
- Էներգիայի պահպանումը ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։
Մասնակի ածանցյալներով հավասարումների դեպքում անհրաժեշտ է փնտրել անվերջ թվով առաջին ինտեգրալներ։ Նույնիսկ դրանք իմանալով՝ սովորաբար հեշտ չէ գտնել ընդհանուր լուծում։
Հիմնարար բնույթի շնորհիվ Նյոթերի թեորեմը կիրառվում է ֆիզիկային այնպիսի բնագավառներում, ինչպես քվանտային մեխանիկան է՝ հենց իմպուլսի, իմպուլսի մոմենտի և այլ հասկացությունները սահմանելու համար։ Հավասարումների ինվարիանտությունը որոշ սիմետրիաների նկատմամբ այդ մեծությունների միակ իսկությունն է դառնում և երաշխավորում է նրանց պահպանումը։
Դաշտի քվանտային տեսությունում Նյոթերի թեորեմի համակերպը Ուորդ-Տակահաշիի նույնաությունն է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավելյալ պահպանման օրենքներ։ Օրինակ, էլեկտրական լիցքի պահպաման օրենքը բխում է մասնիկի կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայի փուլի փոփոխության նկատմամբ ֆիզիկական համակարգի ինվարիանտությունից և էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական ու սկալյար պոտենցիալների համապատասխան տրամաչափավորումից։
Նյոթերի լիցքը կիրառվում է նաև ստացիոնար սև խոռոչի էնտրոպիան հաշվելու համար[2]։
Ծանոթագրություններ
- ↑ Noether E (1918). «Invariante Variationsprobleme». Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse. 1918: 235–257.
- ↑ Calculating the entropy of stationary black holes. (անգլ.)
Գրականություն
- Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М, Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
- Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М, Наука, 280 с., 1983 г.
Արտաքին հղումներ
- Նյոթերի հոդվածներն անգլերեն թարգմանությամբ
- Ջոն Բաեսի հոդվածը նյոթերի թեորեմի մասին (անգլ.)
- Nina Byers, E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws
- Նյոթերի թեորեմը MathPages կայքում (անգլ.)
- Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. (անգլ.)
- Giachetta G., Mangiarotti L.,Sardanashvily G. On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003.