Խաղերի տեսություն

Խաղերի տեսությունը մաթեմատիկայի մի ճյուղ է, որն ուսումնասիրում է ռացիոնալ ակտորների կողմից օպտիմալ որոշումների ընդունումը մրցակցության ժամանակ։ Մրցակցություն ասելով հասկանում ենք մի երևույթ, որին մասնակցում են տարբեր կողմեր՝ տարբեր հնարավորություններով ընձեռված, որոնք ունեն տարբեր հետաքրքրություններ և որոնք ազատ են ընտրելու իրենց համար առավել արդյունավետ ռազմավարությունը։ Մրցակցության վերաբերող առանձին մասեր քննարկվել են տարբեր մաթեմատիկոսների կողմից։ Բայց առավել լայն մաթեմատիկայի այս ճյուղը առաջին անգամ քննարկվել է ամերիկացի գիտնականներ Նեյմանի և Մորգենշտերնի կողմից (1944), որպես մաթեմատիկական մոտեցման մեթոդ մրցակցային տնտեսության մեջ։ Հետագա զարգացման հետևանքով այն ավելի զարգացավ և դարձավ առանձին ճյուղ։

Խաղերի տեսությունը (game theory) որոշումների ընդունման մաթեմատիկական մոդելավորում է, որը իրականացվում է երկու կամ ավելի ակտորների կողմից և որտեղ յուրաքանչյուրը հետապնդում է մեկ կամ մի քանի նպատակ, և այդ նպատակները կարող են ամբողջովին կամ մասնակի կերպով համընկնել։

Շատ հաճախ գործնականում հանդիպում են այնպիսի դեպքեր, երբ անհրաժեշտ է ընդունել որոշումներ ինֆորմացիայի բացակայության պայմաններում, առաջանում են իրադրություններ, երբ երկու (կամ մի քանի) կողմերը հետապնդում են տարբեր նպատակներ, և հաճախ յուրաքանչյուր կողմի հետագա գործունեությունը կախված է մրցակցի համապատասխան քայլերից, այսինքն՝ յուրաքանչյուր խաղացողի քայլերի արդյունքը կախված է լինում հակառակորդի պատասխան քայլից, խաղի հիմնական նպատակը խաղացողներից մեկի հաղթանակն է (սա իհարկե 0 միավոր խաղի դեպքում)։ Տնտեսության մեջ այսպիսի դեպքեր շատ հաճախ են հանդիպում, օրինակ՝ փոխհարաբերությունները արտադրողի և մատակարարի միջև, վաճառողի և սպառողի միջև և այլն։ Այս բոլոր դեպքերում էլ կողմերից յուրաքանչյուրը ձգտում է մինիմալացնել իր ծախսերը՝ մաքսիմալացնելով իր շահույթը։ Բացի դրանից կողմերից յուրաքանչյուրը պետք է հաշվի նստի ոչ միայն իր նպատակների հետ, այլ նաև հակառակորդ կողմի նպատակների հետ՝ հաշվի առնելով այն բոլոր անհայտ և հայտնի որոշումները, որոնք կարող են ընդունվել գործընկեր կազմակերպությունների կողմից։

Ծագած այսպիսի խնդիրների ճիշտ լուծման համար անհրաժեշտ են հիմնավորված և գործող մեթոդներ։ Հենց այսպիսի մեթոդների մշակմամբ էլ զբաղվում է խաղերի տեսությունը։ Խաղերի տեսության հիմնական հասկացությունները՝

Հակամարտության մաթեմաթիկական մոդելը անվանում են խաղ, կողմերը, որոնք մասնակցում են այդ խաղին, անվանում են խաղացողներ, իսկ խաղի ելքն էլ՝ շահույթ։

Խաղը կոչվում է 2 հոգանոց խաղ, եթե այդ խաղին մասնակցում են երկու խաղացողներ, և այն կոչվում է n հոգանոց երբ խաղին մասնակցում են n խաղացող։

Խաղը կոչվում է 0 միավոր խաղ (կամ антагонистической), եթե խաղացողներից մեկի շահումը հավասար է մյուս խաղացողի նույնչափ կորստին, այսինքն եթե a նշանակենք առաջին խաղացողի շահումը, իսկ b՝ մյուս խաղացողինը, ապա 0 միավոր խաղի դեպքում b = -а, դրա համար էլ բավարար է դիտարկել միայն a։ Խաղացողների կողմից իրականացվող գործընթացները կոչվում են քայլեր։ Քայլերն կարող են լինել գիտակցական և պատահական։ Գիտակցական քայլերը խաղացողի կողմից գիտակից կերպով կատարված ընտրությունն է հնարավոր քայլերից (օրինակ քայլը շախմատում)։ Պատահական քայլը պատահական ընտրված քայլն է (օրինակ, երբ բաժանում ենք խաղաթղթերը)։

Խաղացողի ռազմավարություն անվանում են այն քայլերի ամբողջությունը, որը կատարում է խաղացողը յուրաքանչյուր առաջացած իրավիճակում։ Սովորաբար խաղի ընթացքում յուրաքանչյուր քայլում խաղացողը ընտրություն է կատարում՝ կախված կոնկրետ իրավիճակից։ Բայց տեսականորեն հնարավոր է բոլոր որոշումները ընդունել միանգամից, որոնք կարող են իրականացվել իրար հետևից առաջացած ցանկացած իրավիճակում։ Խաղը կոչվում է վերջավոր, եթե յուրաքանչյուր խաղացողի ռազմավարության քանակը սահմանափակ է, և անվերջ՝ հակառակ դեպքում։ Խաղը լուծելու համար պետք է յուրաքանչյուր խաղացող ռազմավարություն մշակի, որը պետք է բավարարի օպտիմալությանը, այսինքն խաղացողներից մեկը պետք է ստանա մաքսիմալ շահույթ, երբ երկրորդը հավատարիմ է մնում իր ռազմավարությանը։ Նույն ժամանակ երկրորդ խաղացողը պետք է ունենա մինիմում վնաս, եթե առաջինը հավատարիմ է մնում իր ռազմավարությանը։ Այսպիսի ռազմավարությունները կոչվում են օպտիմալ ռազմավարություններ։ Վերջիններս պետք է բավարարեն դիմացկունության պայմանին, այսինքն՝ յուրաքանչյուր խաղացողի համար շահավետ չպետք է լինի հրաժարվել իր ռազմավարությունից նույն խաղում։ Եթե խաղը կրկնվում է շատ անգամներ, ապա խաղացողներին հետաքրքրում է ոչ թե հաղթանակը կամ պարտությունը յուրաքանչյուր կարճ խաղերում, այլ միջին հաղթանակը կամ պարտությունը։

Խաղերի տեսության նպատակը հանդիսանում է օպտիմալ ռազմավարության մշակումը յուրաքանչյուր խաղացողի համար։ Խաղերը կարելի է դասակարգել ըստ խաղացողների քանակի, ռազմավարության քանակի, ըստ խաղացողների փոխհարաբերության, ըստ շահույթի չափի, քայլերի քանակության, ըստ ինֆորմացիայի հասանելիության։ Ըստ խաղացողների քանակի տարբերում են երկու և n հոգանոց խաղեր։ Ավելի լայն ուսումնասիրված է երկու հոգանոց խաղերը։ Ինչքան ավելի շատ խաղացողներ, այնքան ավելի շատ խնդիրներ։ Ըստ ռազմավարությունների քանակի՝ կարելի է բաժանել վերջավոր և անվերջ խաղեր։ Եթե կան վերջավոր թվով ռազմավարություններ, ապա խաղը անվանում են վերջավոր, հակառակ դեպքում՝ անվերջ։ Ըստ խաղացողների միջև փոխհրաբերությունների՝ կարելի է բաժանել հետևյալ տեսակի խաղերը՝ 1. Ոչ կոալիցիոն խաղեր. Խաղացողները չեն կարող փոխհամաձայնեցնել իրենց քայլերը, 2. Կոալիցիոն կամ կոոպերատիվ խաղեր. Կարող են կոալիցիա կազմել։ Ըստ շահույթի չափի խաղերը բաժանվում են՝ 0 միավոր խաղի (բոլոր խաղացողների ընդհանուր կապիտալը չի փոխվում) և ոչ զրոյական խաղեր։ Խաղերը տարբերվում են նաև ըստ հաղթանակի ֆունկցիայի. Մատրիցային, բիմատրիցային, անընդհատ, դուելների տեսակի և այլն։