«Կոմպլեքս թիվ»–ի խմբագրումների տարբերություն
No edit summary |
No edit summary |
||
Տող 1. | Տող 1. | ||
'''Կոմպլեքս թիվը (կեղծ թիվը)''' [[իրական թվեր]]ի դաշտի ընդլայնումն է։ Ֆորմալ ձևով այն առաջացել է քառակուսի հավասարումներ լուծելու ժամանակ, որում հավասարման արմատի քառակուսին պետք է լինի [[բացասաան թիվ]]:<br /> |
'''Կոմպլեքս թիվը (կեղծ թիվը)''' [[իրական թվեր]]ի դաշտի ընդլայնումն է։ Ֆորմալ ձևով այն առաջացել է քառակուսի հավասարումներ լուծելու ժամանակ, որում հավասարման արմատի քառակուսին պետք է լինի [[բացասաան թիվ]]:<br /> |
||
Հետագայում գտել են, որ կոմպլեքս թվերի օգտագործումը հնարավորություն է տալիս հարմար և կոմպակտ ձևով ներկայացնել բազմաթիվ մաթեմատիկական մոդելներ, որոնք օգտագործվում են մաթեմատիկական ֆիզիկայում և այլ բնական գիտություններում /էլեկտրոտեխնիկա, հիդրոդինամիկա, քարտեզագրություն, քվանտային մեխանիկա, տատանումների տեսությունում, քաոսների տեսությունում և այլն.../:<br /> |
Հետագայում գտել են, որ '''կոմպլեքս թվերի''' օգտագործումը հնարավորություն է տալիս հարմար և կոմպակտ ձևով ներկայացնել բազմաթիվ մաթեմատիկական մոդելներ, որոնք օգտագործվում են մաթեմատիկական ֆիզիկայում և այլ բնական գիտություններում /էլեկտրոտեխնիկա, հիդրոդինամիկա, քարտեզագրություն, քվանտային մեխանիկա, տատանումների տեսությունում, քաոսների տեսությունում և այլն.../:<br /> |
||
'''Կոմպլեքս թվերի''' բազմությունը սովորաբար նշանակում են <math>\C</math>-ով / |
'''Կոմպլեքս թվերի''' բազմությունը սովորաբար նշանակում են <math>\C</math>-ով /{{lang-la|Complex}} - '''կոմպլեքս''' բառից/:<br /> |
||
== Սահմանում == |
== Սահմանում == |
||
'''Կոմպլեքս թվերի''' դաշտը կարելի է հասկանալ որպես [[իրական թվեր]]ի դաշտի այնպիսի ընդլայնում, որում հավասարումը, որտեղ անհայտի քառակուսին բացասական է (օրինակ,<math>\ z^2 \ =-1 </math> ), ունի լուծում։ Այլ ձևով կարելի է ասել, որ [[իրական թվեր]]ի դաշտը լրացվում է բացասական մեծությունների արմատներով, որոնք կոչվել են |
'''Կոմպլեքս թվերի''' դաշտը կարելի է հասկանալ որպես [[իրական թվեր]]ի դաշտի այնպիսի ընդլայնում, որում հավասարումը, որտեղ անհայտի քառակուսին բացասական է (օրինակ,<math>\ z^2 \ =-1 </math> ), ունի լուծում։ Այլ ձևով կարելի է ասել, որ [[իրական թվեր]]ի դաշտը լրացվում է բացասական մեծությունների արմատներով, որոնք կոչվել են '''կեղծ թվեր''':<br /> |
||
Ցանկացած այսպիսի կեղծ թիվ կարելի է ներկայացնել երկու իրական |
Ցանկացած այսպիսի '''կեղծ թիվ''' կարելի է ներկայացնել երկու [[իրական թվեր]]ի և պարզ կեղծ արտադրիչի օգնությամբ՝ <math>\ x+iy </math>, որտեղ <math>\ x </math>-ը և <math>\ y </math>-ը [[իրական թվեր]] են, իսկ <math>\ i </math>-ն՝ կեղծ միավոր: Հիմք ընդունելով սա, '''կեղծ թիվը''' այժմ հաճախ անվանում են '''կոմպլեքս''': '''Կոմպլեքս թվի''' այսպիսի ներկայացումը կոչվում է հանրահաշվական: Գոյություն ունեն '''կոմպլեքս թվերի''' ներկայացման այլ ձևեր:<br /> |
||
Հաջորդ երկու պարզ մոդելները ցույց են տալիս, որ թվերի նման չհակասող համակարգի ստեղծումը հնարավոր է: Բերված երկու սահմանումները բերում են իրական թվերի դաշտի <math> \R </math> ընդլայնման իզոմորֆությանը, ինչպես և <math>\ z^2 + 1 </math> բազմանդամի դաշտերի այլ կառուցվածքներ: Կոմպլեքս թվերը ստեղծում են հանրահաշվորեն փակ դաշտ, ինչը նշանակում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով <math>\ n </math> աստիճանի բազմանդամը ունի ճիշտ <math>\ n </math> կոմպլեքս արմատներ (հանրահաշվի հիմնական թեորեմը): Սա հիմնական պատճառն է մաթեմատիկական հետազոտություններում կոմպլեքս թվերի լայն կիրառման համար: <br /> |
Հաջորդ երկու պարզ մոդելները ցույց են տալիս, որ թվերի նման չհակասող համակարգի ստեղծումը հնարավոր է: Բերված երկու սահմանումները բերում են [[իրական թվերի]] դաշտի <math> \R </math> ընդլայնման իզոմորֆությանը, ինչպես և <math>\ z^2 + 1 </math> բազմանդամի դաշտերի այլ կառուցվածքներ: '''Կոմպլեքս թվերը''' ստեղծում են հանրահաշվորեն փակ դաշտ, ինչը նշանակում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով <math>\ n </math> աստիճանի բազմանդամը ունի ճիշտ <math>\ n </math> կոմպլեքս արմատներ (հանրահաշվի հիմնական թեորեմը): Սա հիմնական պատճառն է մաթեմատիկական հետազոտություններում '''կոմպլեքս թվերի''' լայն կիրառման համար: <br /> |
||
===Ստանդարտ մոդել=== |
===Ստանդարտ մոդել=== |
||
<math>\ z </math> կարելի է արտահայտել որպես երկու իրական |
<math>\ z </math> կարելի է արտահայտել որպես երկու [[իրական թվեր]]ի զույգ՝ <math>\ (x, y) </math>: Ներմուծենք այդպիսի զույգերի գումարման և բազմապատկման գործողությունները հետևյալ ձևով՝<br /> |
||
*<math>\ (x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y') </math>,<br /> |
*<math>\ (x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y') </math>,<br /> |
||
*<math>\ (x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx')</math>:<br /> |
*<math>\ (x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx')</math>:<br /> |
||
Այս մոդելում իրական |
Այս մոդելում [[իրական թվեր]]ը հանդիսանում են '''կոմպլեքս թվերի''' ենթաբազմություն և ներկայացվում են <math>\ (x; 0) </math> զույգի տեսքով, ընդ որում այդպիսի զույգերի հետ գործողությունները համընկնում են [[իրական թվեր]]ի գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ: [[Զրո]]ն ներկայացվում է <math>\ 0=(0; 0) </math> զույգով, իսկ մեկը՝ <math>\ 1=(1; 0) </math> զույգով, իսկ կեղծ միավորը՝ <math>\ i=(0; 1) </math> զույգով: '''Կոմպլեքս թվերի''' բազմությունում [[զրո]]ն և մեկը ունեն նույն հատկությունները, ինչպես [[իրական թվեր]]ի բազմությունում, իսկ '''կեղծ թվի''' քառակուսին, ինչպես կարելի է ճշտել, հավասար է <math>\ (-1; 0) </math>, այսինքն՝ <math>\ -1 </math>: <br /> |
||
Դժվար չէ ցույց տալ, որ վերևում նշված գործողություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ որ նմանատիպ գործողություններն իրական |
Դժվար չէ ցույց տալ, որ վերևում նշված գործողություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ որ նմանատիպ գործողություններն [[իրական թվեր]]ի հետ: Բացառություն են կազմում միայն հատկությունները, որոնք կապված են կարգերի համեմատման հետ (մեծ-փոքր), որովհետև հնարավոր չէ ընդլայնել միայնակ թվերի կարգը, նրանում ընդգրկելով թվերի զույգերի կարգավորումը, որպեսզի կարգերի համեմատման գործողությունները նախկինի պես լինեն համաձայնեցված:<br /> |
||
=== Մատրիցային մոդել === |
=== Մատրիցային մոդել === |
||
Կոմպլեքս թվերը կարելի է ներկայացնել նաև իրական մատրիցայի ընտանիքի տեսքով՝ <br /> |
'''Կոմպլեքս թվերը''' կարելի է ներկայացնել նաև իրական մատրիցայի ընտանիքի տեսքով՝ <br /> |
||
<math> \begin{pmatrix}x & y \\ -y & x\end{pmatrix} </math><br /> |
<math> \begin{pmatrix}x & y \\ -y & x\end{pmatrix} </math><br /> |
||
պարզ մատրիցային գումարումով և արտադրյալով:<br /> |
պարզ մատրիցային գումարումով և արտադրյալով:<br /> |
||
Տող 25. | Տող 25. | ||
==Գործողություններ կոմպլեքս թվերի հետ== |
==Գործողություններ կոմպլեքս թվերի հետ== |
||
*'''Համեմատում'''՝<br /> |
*'''Համեմատում'''՝<br /> |
||
<math>\ a+bi=c+di </math> համեմատումը նշանակում է, որ <math>\ a=c </math> և <math>\ b=d </math> (երկու կոմպլեքս թվեր հավասար են մեկը մյուսին այն և միայն այն դեպքում, երբ հավասար են նրանց իրական և կեղծ մասերը):<br /> |
<math>\ a+bi=c+di </math> համեմատումը նշանակում է, որ <math>\ a=c </math> և <math>\ b=d </math> (երկու '''կոմպլեքս թվեր''' հավասար են մեկը մյուսին այն և միայն այն դեպքում, երբ հավասար են նրանց իրական և կեղծ մասերը):<br /> |
||
*'''Գումարում'''՝<br /> |
*'''Գումարում'''՝<br /> |
||
<math>\ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i </math>: |
<math>\ (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i </math>: |
||
Տող 38. | Տող 38. | ||
== Երկրաչափական մոդել == |
== Երկրաչափական մոդել == |
||
[[Պատկեր:complex-erkrachapakan.png|thumb|Նկ. 1 Կոմպլեքս թվի երկրաչափական մոդելը]] |
[[Պատկեր:complex-erkrachapakan.png|thumb|Նկ. 1 '''Կոմպլեքս թվի''' երկրաչափական մոդելը]] |
||
Հարթության վրա դիտարկենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը: Յուրաքանչյուր կոմպլեքս թվին <math>\ z = x + i y </math> հարթության վրա համապատասխանեցնենք <math>\ (x, y) </math> կոորդինատներով կետը (ինչպես նաև շառավիղ-վեկտորը, որը միացնում է կոորդինատների սկզբնակետը այդ կետի հետ): Այդպիսի հարթությունը կոչվում է կոմպլեքս (կամ Արգանի հարթություն): Նրանում իրական |
Հարթության վրա դիտարկենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը: Յուրաքանչյուր '''կոմպլեքս թվին''' <math>\ z = x + i y </math> հարթության վրա համապատասխանեցնենք <math>\ (x, y) </math> կոորդինատներով կետը (ինչպես նաև շառավիղ-վեկտորը, որը միացնում է կոորդինատների սկզբնակետը այդ կետի հետ): Այդպիսի հարթությունը կոչվում է կոմպլեքս (կամ Արգանի հարթություն): Նրանում [[իրական թվեր]]ը զբաղեցնում են հորիզոնական հարթությունը, իսկ կեղծ միավորը պատկերվում է ուղղահայաց առանցքի միավորին՝ այդ պատճառով հորիզոնական և ուղղահայաց առանցքները կոչվում են համապատասխանաբար իրական և կեղծ առանցքներ:<br /> |
||
Հաճախ հարմար է դիտարկել նաև կոմպլեքս հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը, որում կետի կոորդինատները հանդիսանում են կոորդինատի սկզբնակետից հեռավորությունը (մոդուլը) և կետի շառավիղ-վեկտորի անկյունը (նկարում ցույց է տրված կապույտ սլաքով) հորիզոնական առանցքի նկատմամբ (արգումենտ):<br /> |
Հաճախ հարմար է դիտարկել նաև կոմպլեքս հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը, որում կետի կոորդինատները հանդիսանում են կոորդինատի սկզբնակետից հեռավորությունը (մոդուլը) և կետի շառավիղ-վեկտորի անկյունը (նկարում ցույց է տրված կապույտ սլաքով) հորիզոնական առանցքի նկատմամբ (արգումենտ):<br /> |
||
Այս ներկայացման ձևում կոմպլեքս թվերի գումարը համապատասխանում է շառավիղ-վեկտորների վեկտորային գումարին: Կոմպլեքս թվերի արտադրյալի ժամանակ նրանց մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում: Եթե երկրորդ արտադրիչի մոդուլը հավասար է 1-ի, նրան բազմապատկելը երկրաչափորեն նշանակում է առաջին թվի շառավիղ-վեկտորի պտույտը անկյունով, որն հավասար է երկրորդ թվի արգումենտին: Այս փաստը ցույց է տալիս տատանումների տեսությունում կոմպլեքս ներկայացման լայն ներկայացումը, որտեղ <մոդուլ> և <արգումենտ> տերմինների փոխարեն օգտագործվում է <ամպլիտուդա> և <փուլ> տերմինները:<br /> |
Այս ներկայացման ձևում '''կոմպլեքս թվերի''' գումարը համապատասխանում է շառավիղ-վեկտորների վեկտորային գումարին: '''Կոմպլեքս թվերի''' արտադրյալի ժամանակ նրանց մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում: Եթե երկրորդ արտադրիչի մոդուլը հավասար է 1-ի, նրան բազմապատկելը երկրաչափորեն նշանակում է առաջին թվի շառավիղ-վեկտորի պտույտը անկյունով, որն հավասար է երկրորդ թվի արգումենտին: Այս փաստը ցույց է տալիս տատանումների տեսությունում կոմպլեքս ներկայացման լայն ներկայացումը, որտեղ <մոդուլ> և <արգումենտ> տերմինների փոխարեն օգտագործվում է <ամպլիտուդա> և <փուլ> տերմինները:<br /> |
||
Հարթության վրա կոմպլեքս թվերը որպես կետեր ներկայացնելը, իսկ կոմպլեքս թվի վրա բազմապատկելը որպես այդ հարթության գծային ձևափոխություն հնարավոր է այն պատճառով, որ կոմպլեքս թիվը հանդիսանում է երկչափ հանրահաշիվ իրական |
Հարթության վրա '''կոմպլեքս թվերը''' որպես կետեր ներկայացնելը, իսկ '''կոմպլեքս թվի''' վրա բազմապատկելը որպես այդ հարթության գծային ձևափոխություն հնարավոր է այն պատճառով, որ '''կոմպլեքս թիվը''' հանդիսանում է երկչափ հանրահաշիվ [[իրական թվեր]]ի դաշտի վրա:<br /> |
||
Կոմպլեքս թվի երկրաչափական մոդելը լայնորեն օգտագործվում է հարթաչափությունում, բազմաթիվ հարթաչափական թեորեմաներ կարելի է ապացուցել որպես որոշակի կոմպլեքսային նույնություններ: Հաճախ այս մեթոդը տալիս է ավելի պարզ ապացույց:<br /> |
'''Կոմպլեքս թվի''' երկրաչափական մոդելը լայնորեն օգտագործվում է հարթաչափությունում, բազմաթիվ հարթաչափական թեորեմաներ կարելի է ապացուցել որպես որոշակի կոմպլեքսային նույնություններ: Հաճախ այս մեթոդը տալիս է ավելի պարզ ապացույց:<br /> |
||
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]] |
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]] |
07:18, 6 Օգոստոսի 2013-ի տարբերակ
Կոմպլեքս թիվը (կեղծ թիվը) իրական թվերի դաշտի ընդլայնումն է։ Ֆորմալ ձևով այն առաջացել է քառակուսի հավասարումներ լուծելու ժամանակ, որում հավասարման արմատի քառակուսին պետք է լինի բացասաան թիվ:
Հետագայում գտել են, որ կոմպլեքս թվերի օգտագործումը հնարավորություն է տալիս հարմար և կոմպակտ ձևով ներկայացնել բազմաթիվ մաթեմատիկական մոդելներ, որոնք օգտագործվում են մաթեմատիկական ֆիզիկայում և այլ բնական գիտություններում /էլեկտրոտեխնիկա, հիդրոդինամիկա, քարտեզագրություն, քվանտային մեխանիկա, տատանումների տեսությունում, քաոսների տեսությունում և այլն.../:
Կոմպլեքս թվերի բազմությունը սովորաբար նշանակում են -ով /լատին․՝ Complex - կոմպլեքս բառից/:
Սահմանում
Կոմպլեքս թվերի դաշտը կարելի է հասկանալ որպես իրական թվերի դաշտի այնպիսի ընդլայնում, որում հավասարումը, որտեղ անհայտի քառակուսին բացասական է (օրինակ, ), ունի լուծում։ Այլ ձևով կարելի է ասել, որ իրական թվերի դաշտը լրացվում է բացասական մեծությունների արմատներով, որոնք կոչվել են կեղծ թվեր:
Ցանկացած այսպիսի կեղծ թիվ կարելի է ներկայացնել երկու իրական թվերի և պարզ կեղծ արտադրիչի օգնությամբ՝ , որտեղ -ը և -ը իրական թվեր են, իսկ -ն՝ կեղծ միավոր: Հիմք ընդունելով սա, կեղծ թիվը այժմ հաճախ անվանում են կոմպլեքս: Կոմպլեքս թվի այսպիսի ներկայացումը կոչվում է հանրահաշվական: Գոյություն ունեն կոմպլեքս թվերի ներկայացման այլ ձևեր:
Հաջորդ երկու պարզ մոդելները ցույց են տալիս, որ թվերի նման չհակասող համակարգի ստեղծումը հնարավոր է: Բերված երկու սահմանումները բերում են իրական թվերի դաշտի ընդլայնման իզոմորֆությանը, ինչպես և բազմանդամի դաշտերի այլ կառուցվածքներ: Կոմպլեքս թվերը ստեղծում են հանրահաշվորեն փակ դաշտ, ինչը նշանակում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով աստիճանի բազմանդամը ունի ճիշտ կոմպլեքս արմատներ (հանրահաշվի հիմնական թեորեմը): Սա հիմնական պատճառն է մաթեմատիկական հետազոտություններում կոմպլեքս թվերի լայն կիրառման համար:
Ստանդարտ մոդել
կարելի է արտահայտել որպես երկու իրական թվերի զույգ՝ : Ներմուծենք այդպիսի զույգերի գումարման և բազմապատկման գործողությունները հետևյալ ձևով՝
- ,
- :
Այս մոդելում իրական թվերը հանդիսանում են կոմպլեքս թվերի ենթաբազմություն և ներկայացվում են զույգի տեսքով, ընդ որում այդպիսի զույգերի հետ գործողությունները համընկնում են իրական թվերի գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ: Զրոն ներկայացվում է զույգով, իսկ մեկը՝ զույգով, իսկ կեղծ միավորը՝ զույգով: Կոմպլեքս թվերի բազմությունում զրոն և մեկը ունեն նույն հատկությունները, ինչպես իրական թվերի բազմությունում, իսկ կեղծ թվի քառակուսին, ինչպես կարելի է ճշտել, հավասար է , այսինքն՝ :
Դժվար չէ ցույց տալ, որ վերևում նշված գործողություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ որ նմանատիպ գործողություններն իրական թվերի հետ: Բացառություն են կազմում միայն հատկությունները, որոնք կապված են կարգերի համեմատման հետ (մեծ-փոքր), որովհետև հնարավոր չէ ընդլայնել միայնակ թվերի կարգը, նրանում ընդգրկելով թվերի զույգերի կարգավորումը, որպեսզի կարգերի համեմատման գործողությունները նախկինի պես լինեն համաձայնեցված:
Մատրիցային մոդել
Կոմպլեքս թվերը կարելի է ներկայացնել նաև իրական մատրիցայի ընտանիքի տեսքով՝
պարզ մատրիցային գումարումով և արտադրյալով:
Իրական միավորին կհամապատասխանի՝
,
կեղծ միավորին՝
:
Նման մատրիցային ներկայացում գոյություն ունի ցանկացած վերջավոր ընդլայնման համար:
Գործողություններ կոմպլեքս թվերի հետ
- Համեմատում՝
համեմատումը նշանակում է, որ և (երկու կոմպլեքս թվեր հավասար են մեկը մյուսին այն և միայն այն դեպքում, երբ հավասար են նրանց իրական և կեղծ մասերը):
- Գումարում՝
:
- Հանում՝
:
- Բազմապատկում՝
:
- Բաժանում՝
:
- Մասնավորապես,՝
:
Երկրաչափական մոդել
Հարթության վրա դիտարկենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը: Յուրաքանչյուր կոմպլեքս թվին հարթության վրա համապատասխանեցնենք կոորդինատներով կետը (ինչպես նաև շառավիղ-վեկտորը, որը միացնում է կոորդինատների սկզբնակետը այդ կետի հետ): Այդպիսի հարթությունը կոչվում է կոմպլեքս (կամ Արգանի հարթություն): Նրանում իրական թվերը զբաղեցնում են հորիզոնական հարթությունը, իսկ կեղծ միավորը պատկերվում է ուղղահայաց առանցքի միավորին՝ այդ պատճառով հորիզոնական և ուղղահայաց առանցքները կոչվում են համապատասխանաբար իրական և կեղծ առանցքներ:
Հաճախ հարմար է դիտարկել նաև կոմպլեքս հարթության վրա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը, որում կետի կոորդինատները հանդիսանում են կոորդինատի սկզբնակետից հեռավորությունը (մոդուլը) և կետի շառավիղ-վեկտորի անկյունը (նկարում ցույց է տրված կապույտ սլաքով) հորիզոնական առանցքի նկատմամբ (արգումենտ):
Այս ներկայացման ձևում կոմպլեքս թվերի գումարը համապատասխանում է շառավիղ-վեկտորների վեկտորային գումարին: Կոմպլեքս թվերի արտադրյալի ժամանակ նրանց մոդուլները բազմապատկվում են, իսկ արգումենտները գումարվում: Եթե երկրորդ արտադրիչի մոդուլը հավասար է 1-ի, նրան բազմապատկելը երկրաչափորեն նշանակում է առաջին թվի շառավիղ-վեկտորի պտույտը անկյունով, որն հավասար է երկրորդ թվի արգումենտին: Այս փաստը ցույց է տալիս տատանումների տեսությունում կոմպլեքս ներկայացման լայն ներկայացումը, որտեղ <մոդուլ> և <արգումենտ> տերմինների փոխարեն օգտագործվում է <ամպլիտուդա> և <փուլ> տերմինները:
Հարթության վրա կոմպլեքս թվերը որպես կետեր ներկայացնելը, իսկ կոմպլեքս թվի վրա բազմապատկելը որպես այդ հարթության գծային ձևափոխություն հնարավոր է այն պատճառով, որ կոմպլեքս թիվը հանդիսանում է երկչափ հանրահաշիվ իրական թվերի դաշտի վրա:
Կոմպլեքս թվի երկրաչափական մոդելը լայնորեն օգտագործվում է հարթաչափությունում, բազմաթիվ հարթաչափական թեորեմաներ կարելի է ապացուցել որպես որոշակի կոմպլեքսային նույնություններ: Հաճախ այս մեթոդը տալիս է ավելի պարզ ապացույց: