«Կոմպլեքս թիվ»–ի խմբագրումների տարբերություն
No edit summary |
No edit summary |
||
Տող 37. | Տող 37. | ||
*'''Մասնավորապես,'''՝<br /> |
*'''Մասնավորապես,'''՝<br /> |
||
<math>\ \frac{1}{a+bi}=\frac{a}{a^2+b^2}-\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)i </math>: |
<math>\ \frac{1}{a+bi}=\frac{a}{a^2+b^2}-\left(\frac{b}{a^2+b^2}\right)i </math>: |
||
[[Կատեգորիա:Մաթեմատիկա]] |
19:43, 1 Օգոստոսի 2013-ի տարբերակ
Այս հոդվածը կատեգորիայի կարիք ունի։ Դուք կարող եք օգնել նախագծին՝ կատեգորիա գտնել կամ ստեղծել ու ավելացնել հոդվածին։ |
Կոմպլեքս թիվը (կեղծ թիվը) իրական թվերի դաշտի ընդլայնումն է։ Ֆորմալ ձևով այն առաջացել է քառակուսի հավասարումներ լուծելու ժամանակ, որում հավասարման արմատի քառակուսին պետք է լինի բացասաան թիվ:
Հետագայում գտել են, որ կոմպլեքս թվերի օգտագործումը հնարավորություն է տալիս հարմար և կոմպակտ ձևով ներկայացնել բազմաթիվ մաթեմատիկական մոդելներ, որոնք օգտագործվում են մաթեմատիկական ֆիզիկայում և այլ բնական գիտություններում /էլեկտրոտեխնիկա, հիդրոդինամիկա, քարտեզագրություն, քվանտային մեխանիկա, տատանումների տեսությունում, քաոսների տեսությունում և այլն.../:
Կոմպլեքս թվերի բազմությունը սովորաբար նշանակում են -ով /լատ. complex/:
Սահմանում
Կոմպլեքս թվերի դաշտը կարելի է հասկանալ որպես իրական թվերի դաշտի այնպիսի ընդլայնում, որում հավասարումը, որտեղ անհայտի քառակուսին բացասական է (օրինակ, ), ունի լուծում։ Այլ ձևով կարելի է ասել, որ իրական թվերի դաշտը լրացվում է բացասական մեծությունների արմատներով, որոնք կոչվել են կեղծ թվեր:
Ցանկացած այսպիսի կեղծ թիվ կարելի է ներկայացնել երկու իրական թվերի և պարզ կեղծ արտադրիչի օգնությամբ՝ , որտեղ -ը և -ը իրական թվեր են, իսկ -ն՝ կեղծ միավոր: Հիմք ընդունելով սա, կեղծ թիվը այժմ հաճախ անվանում են կոմպլեքս: Կոմպլեքս թվի այսպիսի ներկայացումը կոչվում է հանրահաշվական: Գոյություն ունեն կոմպլեքս թվերի ներկայացման այլ ձևեր:
Հաջորդ երկու պարզ մոդելները ցույց են տալիս, որ թվերի նման չհակասող համակարգի ստեղծումը հնարավոր է: Բերված երկու սահմանումները բերում են իրական թվերի դաշտի ընդլայնման իզոմորֆությանը, ինչպես և բազմանդամի դաշտերի այլ կառուցվածքներ: Կոմպլեքս թվերը ստեղծում են հանրահաշվորեն փակ դաշտ, ինչը նշանակում է, որ կոմպլեքս գործակիցներով աստիճանի բազմանդամը ունի ճիշտ կոմպլեքս արմատներ (հանրահաշվի հիմնական թեորեմը): Սա հիմնական պատճառն է մաթեմատիկական հետազոտություններում կոմպլեքս թվերի լայն կիրառման համար:
Ստանդարտ մոդել
կարելի է արտահայտել որպես երկու իրական թվերի զույգ՝ : Ներմուծենք այդպիսի զույգերի գումարման և բազմապատկման գործողությունները հետևյալ ձևով՝
- ,
- :
Այս մոդելում իրական թվերը հանդիսանում են կոմպլեքս թվերի ենթաբազմություն և ներկայացվում են զույգի տեսքով, ընդ որում այդպիսի զույգերի հետ գործողությունները համընկնում են իրական թվերի գումարման և բազմապատկման գործողությունների հետ: Զրոն ներկայացվում է զույգով, իսկ մեկը՝ զույգով, իսկ կեղծ միավորը՝ զույգով: Կոմպլեքս թվերի բազմությունում զրոն և մեկը ունեն նույն հատկությունները, ինչպես իրական թվերի բազմությունում, իսկ կեղծ թվի քառակուսին, ինչպես կարելի է ճշտել, հավասար է , այսինքն՝ :
Դժվար չէ ցույց տալ, որ վերևում նշված գործողություններն ունեն նույն հատկությունները, ինչ որ նմանատիպ գործողություններն իրական թվերի հետ: Բացառություն են կազմում միայն հատկությունները, որոնք կապված են կարգերի համեմատման հետ (մեծ-փոքր), որովհետև հնարավոր չէ ընդլայնել միայնակ թվերի կարգը, նրանում ընդգրկելով թվերի զույգերի կարգավորումը, որպեսզի կարգերի համեմատման գործողությունները նախկինի պես լինեն համաձայնեցված:
Մատրիցային մոդել
Կոմպլեքս թվերը կարելի է ներկայացնել նաև իրական մատրիցայի ընտանիքի տեսքով՝
պարզ մատրիցային գումարումով և արտադրյալով:
Իրական միավորին կհամապատասխանի՝
,
կեղծ միավորին՝
:
Նման մատրիցային ներկայացում գոյություն ունի ցանկացած վերջավոր ընդլայնման համար:
Գործողություններ կոմպլեքս թվերի հետ
- Համեմատում՝
համեմատումը նշանակում է, որ և (երկու կոմպլեքս թվեր հավասար են մեկը մյուսին այն և միայն այն դեպքում, երբ հավասար են նրանց իրական և կեղծ մասերը):
- Գումարում՝
:
- Հանում՝
:
- Բազմապատկում՝
:
- Բաժանում՝
:
- Մասնավորապես,՝
: