Անորոշությունների սկզբունք

Ներածություն

Քվանտային մեխանիկայի հիմնական սկզբունքներից մեկը` Հայզենբերգի անորոշությունների սկզբունքը սահմանում է ճշգրտության հիմնարար մի սահման, որից անդին մասնիկի ֆիզիկական հատկությունների որոշակի զույգ, ինչպիսին օրինակ կոօրդինատը և իմպուլսն են, հնարավոր չէ իմանալ միաժամանակ: Այլ կերպ ասած, որքան ավելի մեծ ճշգրտությամբ հնարավոր է իմանալ հատկություններից որևէ մեկը, այնքան սակավ ճշգրտությամբ է հնարավոր չափել, վերահսկել կամ իմանալ մյուս հատկությունը:

Իր Նոբելյան մրցանակաբաշխության բանախոսությունում Մաքս Բոռնը նշում է.

Տարածական կոօրդինատները և ժամանակի պահը չափելու համար պահանջվում են խստորեն ամրացված չափիչ քանոններ և ժամացույցներ: Մյուս կողմից, իմպուլսի և էներգիայի չափման համար անհրաժեշտ են շարժական մասերով սարքեր` չափվող օբյեկտի բախումն ընդունելու և նրա իմպուլսի չափը որոշելու համար: Հաշվի առնելով քվանտային մեխանիկայի կոմպետենտությունը օբյեկտի և սարքի փոխազդեցության հետ գործ ունենալիս, կարելի է տեսնել, որ հնարավորություն չկա միաժամանակ բավարարել վերը հիշված երկու պահանջները:

1927թ. Հայզենբերգի հրապարակած անորոշությունների սկզբունքը դարձավ ավելի վաղ մշակված քվանտային տեսության առանցքային հայտնագործությունը: Այն հաստատում է, որ հնարավոր չէ միաժամանակ չափել մասնիկի կամ համակարգի (եթե համակարգը բավականաչափ փոքր է քվանտամեխանիկական մոտեցում կիրառելու համար) ներկա կոօրդինատը` առանց որոշելու մասնիկի (համակարգի) հետագա շարժումը: Անորոշությունների սկզբունքը քվանտային համակարգերի հիմնարար հատկանիշն է և պայմանավորված չէ ներկայիս տեխնոլոգիաների չափիչ հզորությամբ կամ ճշտությամբ: Սակայն հնարավոր է որոշել մասնիկների «միջին» իմպուլսը և կոօրդինատը (թույլ չափումների օգնությամբ):

Մասնավորաբար, ըստ անորոշությունների սկզբունքի` կոօրդինատի և իմպուլսի անորոշությունների արտադրյալը միշտ մեծ կամ հավասար է «ħ»-ի կեսին (Պլանկի հաստատունը, $\left({\frac {h}{2\pi }}\right)$ ):

Մաթեմատիկական տեսանկյունից կոօրդինատի և իմպուլսի հարաբերության անորոշության ի հայտ գալու պատճառն այն է, որ համապատասխան ալիքային ֆունկցիաների բազիսները մեկը մյուսի Ֆուրիեի ձևափոխումներ են: Ըստ քվանտային մեխանիկայի մաթեմատիկական ձևակերպման, ցանկացած ոչ կոմուտատիվ օպերատորներ ենթակա են նման անորոշության:

Կոօրդինատի և իմպուլսի անորոշությունը

Անորոշությունների սկզբունքը ձևակերպել է Վերներ Հայզենբերգը Նիլս Բորիի կոպենհագենյան ինստիտուտում, քվանտային մեխանիկայի մաթեմատիկական հիմունքները մշակելիս:

1925թ. առաջնորդվելով Հենդրիկ Կրամերի աշխատանքներով, Հայզենբերգը մշակեց մատրիցային մեխանիկան, որը եկավ փոխարինելու հին քվանտային տեսությանը: Դրա հիմնական դրույթն այն է, որ շարժման դասական հասկացությունը կիրառելի չէ քվանտային մակարդակում, և որ էլեկտրոններն ատոմում չեն շարժվում խստորեն որոշված ուղեծրերով, այլ նրանց շարժումը տարօրինակ ձևով «լղոզված» է, և ժամանակի Ֆուրիեի ձևափոխությունը ընդգրկում է միայն այն հաճախությունները, որոնք ի հայտ են գալիս քվանտային թռիչքներով:

Հայզենբերգի աշխատությունը թույլ չի տալիս խոսել դիտարկմանը չենթարկվող մեծությունների մասին, ինչպես, օրինակ, էլեկտրոնի ճշգրիտ դիրքը ուղեծրում ժամանակի որևէ պահին, այլ միայն թույլ է տալիս տեսականորեն խոսել շարժման Ֆուրիեի բաղադրիչների մասին: Քանի որ դասական հաճախությունների համար Ֆուրիեի բաղադրիչներ չեն որոշվում, դրանք չեն կարող օգտագործվել ճշգրիտ հետագիծը նշելու համար, ուստի այս ձևակերպումը չի կարող պատասխանել որոշակի ճշգրտություն պահանջող հարցերի, օրինակ` որտեղ է գտնվում էլեկտրոնը կամ որքան է նրա արագությունը:

Կոօրդինատի և իմպուլսի համար Հայզենբերգի անվերջ մատրիցների ամենաարտառոց հատկություններից մեկն այն է, որ դրանք չեն կոմուտացվում: Հայզենբերգի կանոնիկ կոմուտացիոն առնչությունը`

$[X,P]=XP-PX=i\hbar$ (տես Անորոշության սկզբունքի ծագումը)

առայսօր չունի հասկանալի ֆիզիկական բացատրություն:

1926թ. մարտին Բորի ինստիտուտում աշխատելիս Հայզենբերգը ցույց տվեց, որ ոչ կոմուտատիվությունը արտահայտում է անորոշությունների սկզբունքը: Այս եզրակացությունը տալիս է ոչ կոմուտատիվության մաքուր ֆիզիկական նկարագրությունը և ընկած է քվանտային մեխանիկայի կոպենհագենյան մեկնաբանության հիմքում: Հայզենբերգը ցույց տվեց, որ կոմուտացման առնչությունները նկարագրում են անորոշությունը, կամ, Բորի խոսքերով ասած, կոմպլոմենտարությունը : Ցանկացած երկու ոչ կոմուտատիվ փոփոխականներ չեն կարող չափվել միաժամանակ. որքան մեծ ճշտությամբ հայտնի է դրանցից մեկը, այնքան պակաս ճշտությամբ հնարավոր կլինի իմանալ մյուսը: Հայզենբերգը գրում է.

Պարզագույն ձևով դա կարելի է ներկայացնել այսպես. Մենք երբեք չենք կարող կատարյալ ճշգրտությամբ իմանալ փոքրագույն մասնիկների շարժումը նկարագրող այս երկու կարևոր գործոններից մեկը` կոօրդինատը կամ արագությունը: Անհնարին է ճշգրտորեն «միասին» որոշել մասնիկի դիրքը և ուղղությունն ու արագությունը «ժամանակի միևնույն պահին» :

Կոօրդինատի և իմպուլսի կոմպլոմենտարությունը հասկանալու միջոցներից մեկը ալիքամասնիկային երկվությունն է: Եթե հարթ ալիքով նկարագրվող մասնիկը անցնում է պատի վրա գտնվող նեղ ճեղքի միջով, ինչպես ջրի ալիքը` նեղ խողովակի միջով, այն ենթարկվում է դիֆրակցիայի, և ալիքներ են տարածվում տարբեր անկյուններով: Որքան նեղ է ճեղքը, այնքան լայնորեն է դիֆրակցվում ալիքը և այնքան մեծ է իմպուլսի անորոշությունը: Դիֆրակցիայի օրենքի համաձայն` $\Delta \theta$ անկյան տակ ալիքը կսփռվի $\lambda /d$ մեծությամբ, որտեղ $d$-ն ճեղքի լայնությունն է, իսկ $\lambda$-ն` ալիքի երկարությունը: Դը Բրոյլի առնչությունից կարելի է ցույց տալ, որ ճեղքի չափը և դիֆրակցված ալիքի իմպուլսը կապված են Հայզենբերգի կանոնով.

$\Delta x\,\Delta p\approx h$:

1927թ. Հայզենբերգն իր «Քվանտային տեսական կինեմատիկայի և մեխանիկայի բովանդակության մասին» ("Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik") հայտնի աշխատության մեջ այս արտահայտությունը սահմանում է որպես իմպուլսի անխուսափելի խախտման նվազագույն մեծություն, որը առաջ է գալիս կոօրդինատի ցանկացած չափումից , սակայն չի տալիս Δx և Δp անորոշությունների ճշգրիտ սահմանումը: Չիկագոյի դասախոսության ժամանակ նա այս սկզբունքն արդեն գրում է որպես.

$\Delta x\,\Delta p\gtrsim h:\qquad \qquad \qquad (1)$

Ներկայումս ընդունված տեսքով անհավասարությունը 1927թ. առաջին անգամ գրել է Կեննարդը.

$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}},\quad \qquad \qquad \qquad (2)$

որտեղ ħ = h/2π, իսկ σ_x-ը և σ_p-ը կոօրդինատի և իմպուլսի ստանդարտ շեղումներն են: Ինքը` Հայզենբերգը, (2) առնչությունը ապացուցել է միայն գաուսյան վիճակների հատուկ դեպքի համար: Սակայն պետք է նշել, որ σ_x-ը և d Δx-ը միևնույն մեծությունները չեն:

Միաժամանակյա չափումների նոր անհավասարության խիստ ապացույցը Բորի և Հայզենբերգի ոգով տրվեց վերջերս: Չափման էությունը հետևյալն է. Եթե մասնիկը տեղայնացված է Δx > 0 վերջավոր տիրույթում, ապա իմպուլսի ստանդարտ շեղումը բավարարում է

$\sigma _{p}\,\Delta x\,\geq \,\pi \hbar \qquad \qquad \qquad (3)$

առնչությանը:

Այլ անորոշություններ

Հայզենբերգի անորոշությունների առնչությունը և դրա մյուս ձևակերպումները վերաբերում են ${\hat {x}}$ կոօրդինատի և ${\hat {p}}$ իմպուլսի քվանտային օպերատորներին: Սակայն անորոշությունների սկզբունքը գործում է նաև մյուս օպերատորների համար: Ըստ Ռոբերտսոնի, անորոշությունների առնչությունը կամայական ${\hat {A}}$ և ${\hat {B}}$ էրմիտյան օպերատորների համար տրվում է

$\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|$

բանաձևով :

Ռոբերտսոնի առնչության հետագա ընդհանրացումը տվեց Շրեդինգերը `

$\sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\sqrt {{\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}}}:$

Քանի որ Ռոբերտսոնի և Շրեդինգերի առնչությունները ընդհանրական օպերատորների համար են, դրանք կարող են օգտագործվել ցանկացած երկու ոչ կոմուտատիվ մեծությունների համար, որոնք միաժամանակ չափելի չեն:

Օրինակներ.

• Մասնիկի $T$ կինետիկ էներգիայի և $x$ կոօրդինատի համար`

$\sigma _{T}\sigma _{x}\geq {\tfrac {\hbar }{2m}}\left|\left\langle p_{x}\right\rangle \right|$:

• Օբյեկտի անկյունային մոմենտի երկու օրթոգոնալ բաղադրիչների համար`

$\sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\tfrac {\hbar }{2}}\left|\left\langle J_{k}\right\rangle \right|$,

որտեղ i-ն, j-ն, k-ն առանձին ակնյունային մոմենտներն են, իսկ J_i-ն` x_i առանցքի անկյունային մոմենտը: Այս առնչությունը նշանակում է, որ համակարգի անկյունային մոմենտի միայն մեկ բաղադրիչ կարող է որոշվել կամայական ճշտությամբ: Սովորաբար դա արտաքին (էլեկտրական կամ մագնիսական) դաշտին զուգահեռ բաղադրիչն է:

• Գերհաղորդչում էլեկտրոնների թվի և դրա Գինզբուրգ-Լանդաուի կարգավորման պարամետրի փուլային գործոնի համար`

$\Delta N\Delta \phi \geq 1$:

Էներգիայի և ժամանակի անորոշության սկզբունքը

Կոօրդինատի և իմպուլսի անորոշության առնչությունից պակաս կարևոր չէ ժամանակի և էներգիայի անորոշության առնչությունը: Սակայն այա առնչությունը բացահայտորեն չի բխում Ռոբերտսոն-Շրեդինգերի առնչություններից: Քանի որ ըստ հարաբերականության հատուկ տեսության էներգիան ժամանակին հարաբերվում է այնպես, ինչպես իմպուլսը` տարածությանը, էվանտային մեխանիկայի բազմաթիվ հիմնադիրների, ինչպես, օրինակ, Նիլս Բորի համար ակնհայտ էր, որ տեղի ունի հետևյալ առնչությունը`

$\Delta E\Delta t\gtrsim h$,

սակայն միշտ չէ, որ ակնհայտ է, թե ինչ է հստակորեն նշանակում $\Delta t$-ն: Խնդիրն այն է, որ ժամանակը, որի ընթացքում մասնիկը գտնվում է տրված վիճակում, այդ մասնիկի օպերատոր չէ, այլ` համակարգի վիճակի փոփոխությունը (էվոլյուցիան) նկարագրող պարամետր: Ինչպես կատակով նկատել է Լև Լանդաուն, «Ժամանակի և էներգիայի անորոշության առնչությունը խախտելու համար ես ընդամենը կարող եմ մեծ ճշգրտությամբ չափել էներգիան և նայել ժամացույցին» :

Այնուամենայնիվ, Էյնշտեյնը և Բորը հասկանում էին այս սկզբունքի էվրիստիկական իմաստը: Կարճատև ժամանակի ընթացքում գոյություն ունեցող վիճակը չի կարող ունենալ ճշգրիտ էներգիա: Ճշգրիտ էներգիան ունենալու համար պետք է ճշգրտորեն որոշել վիճակի հաճախությունը, ինչը իր հերթին պահանջում է, որ վիճակը տատանվի բազմաթիվ ցիկլերի շուրջ, որը հակասում է պահանջվող ճշտությանը: Անորոշությունների առնչությունում $\Delta t$ ժամանակը այն ժամանակն է, որի ընթացքում համակարգը մնում է անխաթար (չգրգռված), ոչ թե այն ժամանակը, որի ընթացքում միացված են փորձի սարքավորումները, մինչդեռ այս Սկզբունքի մյուս տարբերակում կոօրդինատը վերաբերում է որոշ վայրում մասնիկի գտնվելու կամ չգտնվելու հավանականությանը:

Գրականություն

Մեդիա ֆայլեր

Վիքիպահեստ նախագծում կարող եք այս նյութի վերաբերյալ հավելյալ պատկերազարդում գտնել Անորոշությունների սկզբունք կատեգորիայում։