Սիլաշիի բազմանիստ

Սիլաշիի բազմանիստ, ոչ ուռուցիկ բազմանիստ, որը տոպոլոգիապես համարժեք է թորին։ Այն ունի 7 վեցանկյուն նիստեր, որոնցից յուրաքանչյուրը կից է մյուս բոլորին։

Գունավորում և սիմետրիա

Այս բազմանիստի նիստերից յուրաքանչյուրն ունի ընդհանուր կող մյուս բոլոր նիստերի հետ։ Որպես հետևանք՝ պահանջվում է 7 գույն որպեսզի նրա նիստերը գունավորել այնպես, որ հարևան նիստերը ներկված լինեն տարբեր գույներով։ Այն ունի 180 աստիճանի սիմետրիա։ Նիստերից 3 զույգը կոնգրուենտ են, իսկ վերջինն օժտված է նույն առանցքային սիմետրիայով։ Սիլաշիի բազմանիստն ունի 21 կող և 14 գագաթ․ այն հանդիսանում է Հիվուդի գրաֆի ներդրումը թորի մակերևույթի վրա։

Նիստերի զույգ առ զույգ հարևանությունը

GIF անիմացիա

Քառանիստը և Սիլաշիի բազմանիստը միակ հայտնի բազմանիստերն են, որոնց նիստերի յուրաքանչյուր զույգ ունի ընդհանուր կող։

Եթե $f$ նիստերով բազմանիստը ներդրված է $h$ անցքերով մակերևույթի մեջ այնպես, որ նրա ցանկացած երկու նիստ հարևան են, ապա Էյլերի բնութագրիչի բանաձևից կարելի է ստանալ 
$h={\frac {(f-4)(f-3)}{12}}:$
Այս հավասարումը բավարարվում է քառանիստի համար որտեղ  $h=0$,  $f=4$, ինչպես նաև Սիլաշիի բազմանիստի համար, որտեղ  $h=1$ և  $f=7$:

Հաջորդ հնարավոր լուծումը՝  $h=6$ և  $f=12$, համապատասխանում է մի բազմանիստի, որն ունի 44 գագաթ և 66 կող, սակայն դեռևս հայտնի չէ՝ այդպիսի տվյալներով երկրաչափական մարմին գոյություն ունի թե ոչ։ Ընդհանրապես՝ այս հավասարումը կարող է բավարարվել միմիայն այն ժամանակ, երբ  $f$-ը 12-ի բաժանելիս ստացվում է 0, 3, 4, կամ 7 մնացորդ։

Պատմություն

Սիլաշիի բազմանիստը անվանվել է ի պատիվ հունգարացի մաթեմատիկա Լայոշ Սիլաշիի, ով բացահայտել է այն 1977 թվականին։ Սիլաշիի բազմանիստի դուալը հայտնաբերվել է 1949 թվականին Ակոշ Չասարի կողմից։ Այն ունի 7 գագաթ, 21 կող և 7 եռանկյուն նիստեր։ Ինչպես և Սիլաշիի բազմանիստը, այն տոպոլոգիապես համարժեք է թորին։

Գրականության ցանկ

• Császár, Ákos (1949), «A polyhedron without diagonals», Acta Sci. Math. Szeged 13: 140–142 .
• Gardner, Martin (1978), «In Which a Mathematical Aesthetic is Applied to Modern Minimal Art», Scientific American 239 (5): 22–32, doi:10.1038/scientificamerican1178-22 .
• Jungerman, M.; Ringel, Gerhard (1980), «Minimal triangulations on orientable surfaces», Acta Mathematica 145 (1–2): 121–154, doi:10.1007/BF02414187 .
• Peterson, Ivars (2007), «A polyhedron with a hole», MathTrek, Mathematical Association of America, http://www.maa.org/mathland/mathtrek_01_22_07.html .
• Szilassi, Lajos (1986), «Regular toroids», Structural Topology 13: 69–80, http://haydn.upc.es/people/ros/StructuralTopology/ST13/st13-06-a3-ocr.pdf (չաշխատող հղում).

Արտաքին հղումներ

• Ace, Tom, The Szilassi polyhedron, http://www.minortriad.com/szilassi.html .
• Weisstein, Eric W., "Szilassi Polyhedron", MathWorld.
• Szilassi Многогранник – թղթե մոդելը CutOutFoldUp.com