Սեդրակյանի անհավասարություն

Անհավասարությունը հայտնի է Սեդրակյանի անհավասարություն, Էնգըլի տեսք և Տիտուի լեմմա անուններով՝ համապատասխանաբար ըստ Նաիրի Սեդրակյանի 1997 թվականի «Մի անհավասարության կիրառության մասին» հոդվածի, Արթուր Էնգըլի 1998 թվականի «Խնդիրներ լուծելու ռազմավարություններ» և Տիտու Անդրեեսկուի 2003 թվականի «Մաթեմատիկական օլիմպիական գանձեր» գրքերի։ Անհավասարությունն ուղիղ հետևանք է Կոշի-Բունյակովսկու անհավասարության։ Այդուհանդերձ, իր հոդվածում Սեդրակյանը նկատել է, որ անհավասարության այս գրելաձևն ունի խիստ օգտակար նոր կիրառություններ, և ցույց է տվել բազմաթիվ օրինակներ, թե ինչպես այն կարող է օգտագործվել տարատեսակ անհավասարություններ ապացուցելու համար։ «Հանրահաշվական անհավասարություններ» գրքում Սեդրակյանը տալիս է այս անհավասարության մի քանի ընդհանրացում։

Անհավասարության ձևակերպումը

Կամայական $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ իրական և $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n}$ դրական թվերի համար՝ ${\frac {a_{1}^{2}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{b_{2}}}+\cdots +{\frac {a_{n}^{2}}{b_{n}}}\geq {\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})^{2}}{b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}}}$։

Ուղղակի կիրառություններ

Օրինակ 1․ Նեսբիթի անհավասարություն․

Եթե $a,b,c$-ն դրական թվեր են, ապա ${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}$։

Օրինակ 2. Միջազգային մաթեմատիկական օլիմպիադա (IMO) 1995.

Եթե $a,b,c$-ն դրական թվեր են, և $abc=1$ , ապա ${\frac {1}{a^{3}(b+c)}}+{\frac {1}{b^{3}(b+c)}}+{\frac {1}{c^{3}(a+b)}}\geq {\frac {3}{2}}$։

Օրինակ 3․

Եթե $a,b$-ն դրական թվեր են, ապա $8(a^{4}+b^{4})\geq (a+b)^{4}$։

Օրինակ 4․

Եթե $a,b,c$-ն դրական թվեր են, ապա ${\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {9}{2(a+b+c)}}$։

Ապացույցներ

Օրինակ 1․

Ունենք, որ ${\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}={\frac {a^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {b^{2}}{b(a+c)}}+{\frac {c^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac)}}\geq {\frac {3}{2}}$։

Օրինակ 2․

Ունենք, որ ${\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}{\Big )}^{2}}{a(b+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{b}}{\Big )}^{2}}{b(a+c)}}+{\frac {{\Big (}{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{c(a+b)}}\geq {\frac {{\Big (}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}{\Big )}^{2}}{2(ab+bc+ac)}}={\frac {ab+bc+ac}{2}}\geq {\frac {3{\sqrt[{3}]{a^{2}b^{2}c^{2}}}}{2}}={\frac {3}{2}}$։

Օրինակ 3․

Ունենք, որ $a^{4}+b^{4}={\frac {a^{4}}{1}}+{\frac {b^{4}}{1}}\geq {\frac {(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}}\geq {\frac {{\Big (}{\frac {(a+b)^{2}}{2}}{\Big )}^{2}}{2}}={\frac {(a+b)^{4}}{8}}$։

Օրինակ 4․

Ունենք, որ ${\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {(1+1+1)^{2}}{2(a+b+c)}}={\frac {9}{2(a+b+c)}}$։