Ռոտոր (դիֆերենցման օպերատոր)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Ռոտոր, վեկտորական դաշտի վրա կիրառվող վեկտորական դիֆերենցման օպերատոր:

Նշանակվում է տարբեր կերպ, օրինակ՝

  • (ռուսական[1] գրականության մեջ),
  • (անգլալեզու գրականության մեջ[2],առաջարկվել է Մաքսվելի կողմից),
  • որպես նաբլա օպերատորի և վեկտորական դաշտի վեկտորական արտադրյալ՝ : Այս օպերատորի ազդեցությունը կոնկրետ F վեկտորական դաշտի վրա անվանում են F դաշտի ռոտոր և իրենից ներկայացնում է նոր վեկտորական դաշտ[3]
:

Մաթեմատիկական բացատրություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

վեկտորական դաշտի , որի պրոյեկցիա -ն յուրաքանչյուր n ուղղությամբ իրենից ներկայացնում է L կոնտուրով վեկտորական դաշտի շրջապտույտ:

L-ը ΔS հարթ մակերևույթի սահմանն է:

Պրոյեկցիայի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝

:

Պտույտի ուղղությունը վերցվում է այնպես, որ եթե նայենք -ի ուղղությամբ, L-ը շրջանցվում է ժամսլաքի ուղղությամբ[4]: Եռաչափ դեկարտյան կոորդինատների համակարգում ռոտորը որոշվում է հետևյալ կերպ՝

կամ

Այստեղ F դեկարտյան կոմպոնենտներով վեկտորական դաշտ է, իսկ -ն դեկարտյան կոորդինատների օրթերն են: Հարմարության համար կարելի է գրել՝

:

Կապված բացատրություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այն վեկտորական դաշտը, որի ռոտորը հավասար է զրոյի համարվում է պոտենցիալային:

Ընդհանրացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռոտոր օպերատորի ընդհանարացումը ունի հետևյալ տեսքը՝

...

կամ

m-ը և n-ը ընդունում են 1-ից մինչև դաշտի չափայնություն արժեքները:

Վերջինը կարելի է գրել՝

  • Ռոտորը 2 վալենտականությամբ անտիսիմետրիկ[5] թենզորային դաշտ է:

Հիմնական հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հատկությունները անմիջապես ստացվում են դիֆերենցման սովորական կանոններից[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Գծայնություն՝

ցանկացած F և G դաշտերի համար և ցանկացած a և b հաստատունների համար:

  • Եթե -ը սկալյար դաշտ է, իսկ F-ը՝ վեկտորական՝

կամ

:
կամ Ճիշտ է նաև հակառակը՝

:

  • Եթե F-ը պոտենցիալային դաշտ է, ապա նրա ռոտորը հավասար է զրոյի՝
: Ճիշտ է նաև հակառակը՝

:

Ստոքսի թեորեմ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ինչ-որ մակերևույթի սահման հանդիսացող փակ կոնտուրով ցիրկուլյացիան հավասար է այդ մակերևույթով այդ վեկտորի հոսքի ռոտորին:

: Ստոքսի թերոեմի մասնավոր դեպք է համարվում Գրինի թեորեմը:

Ռոտորը կորագիծ կոորդինատներով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ընդհանուր դեպք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

և
:

Օրթոգոնալ կորագիծ կոորդինատների դեպքը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

որտեղ HiԼամեի գործակիցն է:

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիտարկենք հետևյալ վեկտորական դաշտը[6]՝

: Գրաֆիկի տեսքը հետևյալն է՝
Nonuniformcurl.JPG
Կիրառելով ռոտոր օպերատորը, կստացի՝

Քանի որ ռոտորը յուրաքանչյուր կետում նույնը չէ, գրաֆիկը կստացվի հետևյալ կերպ՝

x=0 հարթությամբ F-ի ռոտորը:

Ընդհանուր օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիտարկենք × [ v × F ] օրինակը: Օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգը, կարելի է ցույց տալ, որ՝

Եթե v-ն և -ն փոխենք տեղերով, կստացվի՝

որը համարվում է ֆեյմանյան գրառում՝ F ներքին ինդեքսով: Այն նշանակում է, որ F ինդեքսով գրադիենտը վերաբերվում է միայն F-ին: Այլ օրինակ՝

× [ × F ]:

Կիրառելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ, կարելի է գրել՝

որը կարելի է համարել առաջին օրինակի մասնակի դեպքը, երբ v:

Տե՛ս նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, а также почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» Կաղապար:Нет АИ 2.
  2. О. Хэвисайд. The relations between magnetic force and electric current. // The Electrician, 1882.
  3. Точнее — если F — псевдовекторное поле, то rot F — обычное векторное поле (вектор rot F — полярный), и наоборот, если поле F — поле обычного (полярного) вектора, то rot F — псевдовекторное поле.
  4. Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.
  5. То, что тензор антисимметричен, очевидно непосредственно из определения.
  6. Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку rot const = 0; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) - ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси х, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости , поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось y совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость не будет уже константой, однако будет нулем при z = 0, как и в основном примере, т.е. вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]