Ռոտոր (դիֆերենցման օպերատոր)

Ռոտոր, վեկտորական դաշտի վրա կիրառվող վեկտորական դիֆերենցման օպերատոր:

Նշանակվում է տարբեր կերպ, օրինակ՝

• $\operatorname {rot}$ (ռուսական գրականության մեջ),
• $\operatorname {curl}$ (անգլալեզու գրականության մեջ,առաջարկվել է Մաքսվելի կողմից),
• որպես նաբլա օպերատորի և վեկտորական դաշտի վեկտորական արտադրյալ՝ $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$: Այս օպերատորի ազդեցությունը կոնկրետ F վեկտորական դաշտի վրա անվանում են F դաշտի ռոտոր և իրենից ներկայացնում է նոր վեկտորական դաշտ

$\operatorname {rot} \,\mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$:

Մաթեմատիկական բացատրություն

$\mathbf {a}$ վեկտորական դաշտի $\operatorname {rot} \,\mathbf {a}$, որի պրոյեկցիա $\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a}$-ն յուրաքանչյուր n ուղղությամբ իրենից ներկայացնում է L կոնտուրով վեկտորական դաշտի շրջապտույտ:

L-ը ΔS հարթ մակերևույթի սահմանն է:

Պրոյեկցիայի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝

$\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\cdot \,dr} }{\Delta S}}$:

Պտույտի ուղղությունը վերցվում է այնպես, որ եթե նայենք $\mathbf {n}$-ի ուղղությամբ, L-ը շրջանցվում է ժամսլաքի ուղղությամբ: Եռաչափ դեկարտյան կոորդինատների համակարգում ռոտորը որոշվում է հետևյալ կերպ՝

$\operatorname {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z})=$

$=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)\mathbf {e} _{x}+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)\mathbf {e} _{y}+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)\mathbf {e} _{z}\equiv$

$\equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}$ կամ

$(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}$

$(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}$

$(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}$

Այստեղ F-ը $F_{x},F_{y},F_{z}$ դեկարտյան կոմպոնենտներով վեկտորական դաշտ է, իսկ $\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}$-ն դեկարտյան կոորդինատների օրթերն են: Հարմարության համար կարելի է գրել՝

$\operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}$:

Կապված բացատրություն

Այն վեկտորական դաշտը, որի ռոտորը հավասար է զրոյի համարվում է պոտենցիալային:

Ընդհանրացում

Ռոտոր օպերատորի ընդհանարացումը ունի հետևյալ տեսքը՝

$(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{12}=\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}\right)$

$(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{13}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{3}}}\right)$

$(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{23}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{3}}}\right)$

...

կամ

$(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{mn}=\partial _{m}F_{n}-\partial _{n}F_{m}\equiv {\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{m}}}-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}$

m-ը և n-ը ընդունում են 1-ից մինչև դաշտի չափայնություն արժեքները:

Վերջինը կարելի է գրել՝

$\operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F}$

• Ռոտորը 2 վալենտականությամբ անտիսիմետրիկ թենզորային դաշտ է:

Հիմնական հատկություններ

Հատկությունները անմիջապես ստացվում են դիֆերենցման սովորական կանոններից

• Գծայնություն՝

$\operatorname {rot} \;(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} +b\;\operatorname {rot} ~\mathbf {G}$

ցանկացած F և G դաշտերի համար և ցանկացած a և b հաստատունների համար:

• Եթե $\varphi$-ը սկալյար դաշտ է, իսկ F-ը՝ վեկտորական՝

$\operatorname {rot} ~\varphi \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi ~\times \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} ,$

կամ

$\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \times \mathbf {F} )$:

• Ռոտորի դիվերգենցիան հավասար է զրոյի՝

$\operatorname {div} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0$ կամ $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0$Ճիշտ է նաև հակառակը՝

$\operatorname {div} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {rot} ~\mathbf {G}$:

• Եթե F-ը պոտենցիալային դաշտ է, ապա նրա ռոտորը հավասար է զրոյի՝

$\mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi \Rightarrow \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0$: Ճիշտ է նաև հակառակը՝

$\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi$:

• Ռոտորի ռոտորի հավասար է դիվերգենցիայի գրադիենտին հանած լապլասիան՝

$\operatorname {rot} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\operatorname {div} ~\mathbf {F} -\Delta \mathbf {F}$

Ստոքսի թեորեմ

Ինչ-որ մակերևույթի սահման հանդիսացող փակ կոնտուրով ցիրկուլյացիան հավասար է այդ մակերևույթով այդ վեկտորի հոսքի ռոտորին:

$\oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\cdot \,\mathbf {dS}$: Ստոքսի թերոեմի մասնավոր դեպք է համարվում Գրինի թեորեմը:

Ռոտորը կորագիծ կոորդինատներով

Ընդհանուր դեպք

$(\mathrm {rot} \ \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}v^{k}$և

$(\mathrm {rot} \ \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}v^{k}$:

Օրթոգոնալ կորագիծ կոորդինատների դեպքը

$\operatorname {rot} \;\mathbf {A} =\operatorname {rot} \;(\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_{3}} A_{3})=$

$={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3})-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +$

$+\ {\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1})-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +$

$+\ {\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2})-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}} ,$

որտեղ H_i-ն Լամեի գործակիցն է:

Օրինակներ

Դիտարկենք հետևյալ վեկտորական դաշտը՝

$F(x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y}$: Գրաֆիկի տեսքը հետևյալն է՝

Կիրառելով ռոտոր օպերատորը, կստացի՝

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} _{x}+0\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial }{\partial x}}(-x^{2})\mathbf {e} _{z}=-2x\mathbf {e} _{z}$

Քանի որ ռոտորը յուրաքանչյուր կետում նույնը չէ, գրաֆիկը կստացվի հետևյալ կերպ՝

x=0 հարթությամբ F-ի ռոտորը:

Ընդհանուր օրինակներ

Դիտարկենք ∇ × [ v × F ] օրինակը: Օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգը, կարելի է ցույց տալ, որ՝

$\mathbf {\nabla \times } \left(\mathbf {v\times F} \right)=\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } \right]\mathbf {v} -\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } \right]\mathbf {F} \ .$

Եթե v-ն և ∇-ն փոխենք տեղերով, կստացվի՝

$\mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,$

որը համարվում է ֆեյմանյան գրառում՝ ∇_F ներքին ինդեքսով: Այն նշանակում է, որ F ինդեքսով գրադիենտը վերաբերվում է միայն F-ին: Այլ օրինակ՝

∇ × [ ∇ × F ]:

Կիրառելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ, կարելի է գրել՝

$\nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,$

որը կարելի է համարել առաջին օրինակի մասնակի դեպքը, երբ v → ∇:

Տե՛ս նաև

• Վեկտորական անալիզ
• Գրինի թեորեմ
• Վեկտորական անալիզի բանաձևեր

Արտաքին հղումներ

• The idea of curl of a vector field
• Curl BetterExplained