Ռոտոր (դիֆերենցման օպերատոր)

Ռոտոր, վեկտորական դաշտի վրա կիրառվող վեկտորական դիֆերենցման օպերատոր։

Նշանակվում է տարբեր կերպ, օրինակ՝

$\operatorname {rot}$ (ռուսական^[1] գրականության մեջ),
$\operatorname {curl}$ (անգլալեզու գրականության մեջ^[2],առաջարկվել է Մաքսվելի կողմից),
որպես նաբլա օպերատորի և վեկտորական դաշտի վեկտորական արտադրյալ՝ $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}$ : Այս օպերատորի ազդեցությունը կոնկրետ F վեկտորական դաշտի վրա անվանում են F դաշտի ռոտոր և իրենից ներկայացնում է նոր վեկտորական դաշտ^[3]

\operatorname {rot} \,\mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F}

:

Մաթեմատիկական բացատրություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$\mathbf {a}$ վեկտորական դաշտի $\operatorname {rot} \,\mathbf {a}$ , որի պրոյեկցիա $\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a}$ -ն յուրաքանչյուր n ուղղությամբ իրենից ներկայացնում է L կոնտուրով վեկտորական դաշտի շրջապտույտ։

L-ը ΔS հարթ մակերևույթի սահմանն է։

Պրոյեկցիայի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝

\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\cdot \,dr} }{\Delta S}}

:

Պտույտի ուղղությունը վերցվում է այնպես, որ եթե նայենք $\mathbf {n}$ -ի ուղղությամբ, L-ը շրջանցվում է ժամսլաքի ուղղությամբ^[4]։ Եռաչափ դեկարտյան կոորդինատների համակարգում ռոտորը որոշվում է հետևյալ կերպ՝

$\operatorname {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z})=$

$=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)\mathbf {e} _{x}+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)\mathbf {e} _{y}+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)\mathbf {e} _{z}\equiv$

$\equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}$ կամ

$(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}$

$(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}$

$(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}$

Այստեղ F-ը $F_{x},F_{y},F_{z}$ դեկարտյան կոմպոնենտներով վեկտորական դաշտ է, իսկ $\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}$ -ն դեկարտյան կոորդինատների օրթերն են։ Հարմարության համար կարելի է գրել՝

\operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}

:

Կապված բացատրություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Այն վեկտորական դաշտը, որի ռոտորը հավասար է զրոյի համարվում է պոտենցիալային։

Ընդհանրացում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռոտոր օպերատորի ընդհանարացումը ունի հետևյալ տեսքը՝

(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{12}=\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}\right)

(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{13}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{3}}}\right)

(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{23}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{3}}}\right)

...

կամ

(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{mn}=\partial _{m}F_{n}-\partial _{n}F_{m}\equiv {\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{m}}}-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}

m-ը և n-ը ընդունում են 1-ից մինչև դաշտի չափայնություն արժեքները։

Վերջինը կարելի է գրել՝

\operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F}

Ռոտորը 2 վալենտականությամբ անտիսիմետրիկ^[5] թենզորային դաշտ է։

Հիմնական հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հատկությունները անմիջապես ստացվում են դիֆերենցման սովորական կանոններից[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գծայնություն՝

\operatorname {rot} \;(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} +b\;\operatorname {rot} ~\mathbf {G}

ցանկացած F և G դաշտերի համար և ցանկացած a և b հաստատունների համար։

Եթե $\varphi$ -ը սկալյար դաշտ է, իսկ F-ը՝ վեկտորական՝

\operatorname {rot} ~\varphi \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi ~\times \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} ,

կամ

\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \times \mathbf {F} )

:

Ռոտորի դիվերգենցիան հավասար է զրոյի՝

\operatorname {div} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0

կամ

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0

Ճիշտ է նաև հակառակը՝

$\operatorname {div} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {rot} ~\mathbf {G}$ :

Եթե F-ը պոտենցիալային դաշտ է, ապա նրա ռոտորը հավասար է զրոյի՝

\mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi \Rightarrow \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0

: Ճիշտ է նաև հակառակը՝

$\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi$ :

Ռոտորի ռոտորի հավասար է դիվերգենցիայի գրադիենտին հանած լապլասիան՝

\operatorname {rot} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\operatorname {div} ~\mathbf {F} -\Delta \mathbf {F}

Ստոքսի թեորեմ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ինչ-որ մակերևույթի սահման հանդիսացող փակ կոնտուրով ցիրկուլյացիան հավասար է այդ մակերևույթով այդ վեկտորի հոսքի ռոտորին։

\oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\cdot \,\mathbf {dS}

: Ստոքսի թերոեմի մասնավոր դեպք է համարվում Գրինի թեորեմը։

Ռոտորը կորագիծ կոորդինատներով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ընդհանուր դեպք[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

(\mathrm {rot} \ \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}v^{k}

և

(\mathrm {rot} \ \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}v^{k}

:

Օրթոգոնալ կորագիծ կոորդինատների դեպքը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

\operatorname {rot} \;\mathbf {A} =\operatorname {rot} \;(\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_{3}} A_{3})=

={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3})-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +

+\ {\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1})-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +

+\ {\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2})-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}} ,

որտեղ H_i-ն Լամեի գործակիցն է։

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիտարկենք հետևյալ վեկտորական դաշտը^[6]՝

F(x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y}

: Գրաֆիկի տեսքը հետևյալն է՝

Կիրառելով ռոտոր օպերատորը, կստացի՝

\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} _{x}+0\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial }{\partial x}}(-x^{2})\mathbf {e} _{z}=-2x\mathbf {e} _{z}

Քանի որ ռոտորը յուրաքանչյուր կետում նույնը չէ, գրաֆիկը կստացվի հետևյալ կերպ՝

x=0 հարթությամբ F-ի ռոտորը:

Ընդհանուր օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիտարկենք ∇ × [ v × F ] օրինակը։ Օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգը, կարելի է ցույց տալ, որ՝

\mathbf {\nabla \times } \left(\mathbf {v\times F} \right)=\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } \right]\mathbf {v} -\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } \right]\mathbf {F} \ .

Եթե v-ն և ∇-ն փոխենք տեղերով, կստացվի՝

\mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,

որը համարվում է ֆեյմանյան գրառում՝ ∇_F ներքին ինդեքսով։ Այն նշանակում է, որ F ինդեքսով գրադիենտը վերաբերվում է միայն F-ին։ Այլ օրինակ՝

∇ × [ ∇ × F ]:

Կիրառելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ, կարելի է գրել՝

\nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,

որը կարելի է համարել առաջին օրինակի մասնակի դեպքը, երբ v → ∇:

Տե՛ս նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

↑ Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, а также почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» Կաղապար:Нет АИ 2.
↑ О. Хэвисайд. The relations between magnetic force and electric current. // The Electrician, 1882.
↑ Точнее — если F — псевдовекторное поле, то rot F — обычное векторное поле (вектор rot F — полярный), и наоборот, если поле F — поле обычного (полярного) вектора, то rot F — псевдовекторное поле.
↑ Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.
↑ То, что тензор антисимметричен, очевидно непосредственно из определения.
↑ Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку rot const = 0; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) - ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси х, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости $v_{y}(x)$ , поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось y совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость $\mathbf {v} (z)$ не будет уже константой, однако $\partial v_{y}/\partial z$ будет нулем при z = 0, как и в основном примере, т.е. вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

[1] Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, а также почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» Կաղապար:Нет АИ 2.

[2] О. Хэвисайд. The relations between magnetic force and electric current. // The Electrician, 1882.

[3] Точнее — если F — псевдовекторное поле, то rot F — обычное векторное поле (вектор rot F — полярный), и наоборот, если поле F — поле обычного (полярного) вектора, то rot F — псевдовекторное поле.

[4] Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.

[5] То, что тензор антисимметричен, очевидно непосредственно из определения.

[6] Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку rot const = 0; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) - ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси х, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости $v_{y}(x)$ , поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось y совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость $\mathbf {v} (z)$ не будет уже константой, однако $\partial v_{y}/\partial z$ будет нулем при z = 0, как и в основном примере, т.е. вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]