Ռոտոր, վեկտորական դաշտի վրա կիրառվող վեկտորական դիֆերենցման օպերատոր։
Նշանակվում է տարբեր կերպ, օրինակ՝
(ռուսական[1] գրականության մեջ),
(անգլալեզու գրականության մեջ[2],առաջարկվել է Մաքսվելի կողմից),
- որպես նաբլա օպերատորի և վեկտորական դաշտի վեկտորական արտադրյալ՝
: Այս օպերատորի ազդեցությունը կոնկրետ F վեկտորական դաշտի վրա անվանում են F դաշտի ռոտոր և իրենից ներկայացնում է նոր վեկտորական դաշտ[3]
:
վեկտորական դաշտի
, որի պրոյեկցիա
-ն յուրաքանչյուր n ուղղությամբ իրենից ներկայացնում է L կոնտուրով վեկտորական դաշտի շրջապտույտ։
L-ը ΔS հարթ մակերևույթի սահմանն է։
Պրոյեկցիայի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝
:
Պտույտի ուղղությունը վերցվում է այնպես, որ եթե նայենք
-ի ուղղությամբ, L-ը շրջանցվում է ժամսլաքի ուղղությամբ[4]։ Եռաչափ դեկարտյան կոորդինատների համակարգում ռոտորը որոշվում է հետևյալ կերպ՝
կամ
Այստեղ F-ը
դեկարտյան կոմպոնենտներով վեկտորական դաշտ է, իսկ
-ն դեկարտյան կոորդինատների օրթերն են։
Հարմարության համար կարելի է գրել՝
:
Այն վեկտորական դաշտը, որի ռոտորը հավասար է զրոյի համարվում է պոտենցիալային։
Ռոտոր օպերատորի ընդհանարացումը ունի հետևյալ տեսքը՝



...
կամ

m-ը և n-ը ընդունում են 1-ից մինչև դաշտի չափայնություն արժեքները։
Վերջինը կարելի է գրել՝

- Ռոտորը 2 վալենտականությամբ անտիսիմետրիկ[5] թենզորային դաշտ է։
Հատկությունները անմիջապես ստացվում են դիֆերենցման սովորական կանոններից[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ցանկացած F և G դաշտերի համար և ցանկացած a և b հաստատունների համար։
- Եթե
-ը սկալյար դաշտ է, իսկ F-ը՝ վեկտորական՝

կամ
:
կամ
Ճիշտ է նաև հակառակը՝
:
- Եթե F-ը պոտենցիալային դաշտ է, ապա նրա ռոտորը հավասար է զրոյի՝
: Ճիշտ է նաև հակառակը՝
:

Ինչ-որ մակերևույթի սահման հանդիսացող փակ կոնտուրով ցիրկուլյացիան հավասար է այդ մակերևույթով այդ վեկտորի հոսքի ռոտորին։
: Ստոքսի թերոեմի մասնավոր դեպք է համարվում Գրինի թեորեմը։
և
:
![{\displaystyle ={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3})-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df2fec46b42f6917e3cb3912f73a899cb43504c)
![{\displaystyle +\ {\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1})-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2bfe3a36492e3a0fb23551bf9be811e521ca52)
![{\displaystyle +\ {\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2})-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236ee8aef3e7873af9e4167e04b4602480f54c0)
որտեղ Hi-ն Լամեի գործակիցն է։
Դիտարկենք հետևյալ վեկտորական դաշտը[6]՝
: Գրաֆիկի տեսքը հետևյալն է՝
- Կիրառելով ռոտոր օպերատորը, կստացի՝

Քանի որ ռոտորը յուրաքանչյուր կետում նույնը չէ, գրաֆիկը կստացվի հետևյալ կերպ՝
x=0 հարթությամբ F-ի ռոտորը:
Դիտարկենք ∇ × [ v × F ] օրինակը։ Օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգը, կարելի է ցույց տալ, որ՝
![{\displaystyle \mathbf {\nabla \times } \left(\mathbf {v\times F} \right)=\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } \right]\mathbf {v} -\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } \right]\mathbf {F} \ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd976d3672173c78e313a4c8b0b4f9b0a26a853)
Եթե v-ն և ∇-ն փոխենք տեղերով, կստացվի՝

որը համարվում է ֆեյմանյան գրառում՝ ∇F ներքին ինդեքսով։ Այն նշանակում է, որ F ինդեքսով գրադիենտը վերաբերվում է միայն F-ին։ Այլ օրինակ՝
∇ × [ ∇ × F ]:
Կիրառելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ, կարելի է գրել՝

որը կարելի է համարել առաջին օրինակի մասնակի դեպքը, երբ v → ∇:
- ↑ Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, а также почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» Կաղապար:Нет АИ 2.
- ↑ О. Хэвисайд. The relations between magnetic force and electric current. // The Electrician, 1882.
- ↑ Точнее — если F — псевдовекторное поле, то rot F — обычное векторное поле (вектор rot F — полярный), и наоборот, если поле F — поле обычного (полярного) вектора, то rot F — псевдовекторное поле.
- ↑ Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.
- ↑ То, что тензор антисимметричен, очевидно непосредственно из определения.
- ↑ Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку rot const = 0; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) - ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси х, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости
, поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось y совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость
не будет уже константой, однако
будет нулем при z = 0, как и в основном примере, т.е. вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).