Ռոտոր , վեկտորական դաշտի վրա կիրառվող վեկտորական դիֆերենցման օպերատոր։
Նշանակվում է տարբեր կերպ, օրինակ՝
rot
{\displaystyle \operatorname {rot} }
[ 1]
curl
{\displaystyle \operatorname {curl} }
[ 2] Մաքսվելի կողմից),որպես նաբլա օպերատորի և վեկտորական դաշտի վեկտորական արտադրյալ՝
∇
×
F
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} }
F վեկտորական դաշտի վրա անվանում են F դաշտի ռոտոր և իրենից ներկայացնում է նոր վեկտորական դաշտ[ 3]
rot
F
≡
∇
×
F
{\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
rot
a
{\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {a} }
rot
n
a
{\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} }
n ուղղությամբ իրենից ներկայացնում է L կոնտուրով վեկտորական դաշտի շրջապտույտ ։
L -ը ΔS հարթ մակերևույթի սահմանն է։
Պրոյեկցիայի համար ճիշտ է հետևյալ բանաձևը՝
rot
n
a
=
lim
Δ
S
→
0
∮
L
a
⋅
d
r
Δ
S
{\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\cdot \,dr} }{\Delta S}}}
Պտույտի ուղղությունը վերցվում է այնպես, որ եթե նայենք
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
L -ը շրջանցվում է ժամսլաքի ուղղությամբ[ 4] դեկարտյան կոորդինատների համակարգում ռոտորը որոշվում է հետևյալ կերպ՝
rot
(
F
x
e
x
+
F
y
e
y
+
F
z
e
z
)
=
{\displaystyle \operatorname {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z})=}
=
(
∂
y
F
z
−
∂
z
F
y
)
e
x
+
(
∂
z
F
x
−
∂
x
F
z
)
e
y
+
(
∂
x
F
y
−
∂
y
F
x
)
e
z
≡
{\displaystyle =\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)\mathbf {e} _{x}+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)\mathbf {e} _{y}+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)\mathbf {e} _{z}\equiv }
≡
(
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
)
e
x
+
(
∂
F
x
∂
z
−
∂
F
z
∂
x
)
e
y
+
(
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
)
e
z
{\displaystyle \equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}}
(
rot
F
)
x
=
∂
y
F
z
−
∂
z
F
y
≡
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}}
(
rot
F
)
y
=
∂
z
F
x
−
∂
x
F
z
≡
∂
F
x
∂
z
−
∂
F
z
∂
x
{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}}
(
rot
F
)
z
=
∂
x
F
y
−
∂
y
F
x
≡
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}}
Այստեղ F -ը
F
x
,
F
y
,
F
z
{\displaystyle F_{x},F_{y},F_{z}}
վեկտորական դաշտ է, իսկ
e
x
,
e
y
,
e
z
{\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}
rot
F
=
∇
×
F
=
(
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
)
×
F
=
|
e
x
e
y
e
z
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
F
x
F
y
F
z
|
{\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}
Այն վեկտորական դաշտը, որի ռոտորը հավասար է զրոյի համարվում է պոտենցիալային։
Ռոտոր օպերատորի ընդհանարացումը ունի հետևյալ տեսքը՝
(
rot
F
)
12
=
(
∂
F
2
∂
x
1
−
∂
F
1
∂
x
2
)
{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{12}=\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}\right)}
(
rot
F
)
13
=
(
∂
F
3
∂
x
1
−
∂
F
1
∂
x
3
)
{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{13}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{3}}}\right)}
(
rot
F
)
23
=
(
∂
F
3
∂
x
2
−
∂
F
2
∂
x
3
)
{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{23}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{3}}}\right)}
...
կամ
(
rot
F
)
m
n
=
∂
m
F
n
−
∂
n
F
m
≡
∂
F
n
∂
x
m
−
∂
F
m
∂
x
n
{\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{mn}=\partial _{m}F_{n}-\partial _{n}F_{m}\equiv {\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{m}}}-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}}
m -ը և n -ը ընդունում են 1-ից մինչև դաշտի չափայնություն արժեքները։
Վերջինը կարելի է գրել՝
rot
F
=
∇
∧
F
{\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F} }
Ռոտորը 2 վալենտականությամբ անտիսիմետրիկ[ 5]
rot
(
a
F
+
b
G
)
=
a
rot
F
+
b
rot
G
{\displaystyle \operatorname {rot} \;(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} +b\;\operatorname {rot} ~\mathbf {G} }
ցանկացած F և G դաշտերի համար և ցանկացած a և b հաստատունների համար։
Եթե
φ
{\displaystyle \varphi }
F -ը՝ վեկտորական՝
rot
φ
F
=
grad
φ
×
F
+
φ
rot
F
,
{\displaystyle \operatorname {rot} ~\varphi \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi ~\times \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} ,}
կամ
∇
×
(
φ
F
)
=
(
∇
φ
)
×
F
+
φ
(
∇
×
F
)
{\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \times \mathbf {F} )}
div
rot
F
=
0
{\displaystyle \operatorname {div} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0}
∇
⋅
(
∇
×
F
)
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0}
div
F
=
0
⇒
F
=
rot
G
{\displaystyle \operatorname {div} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {rot} ~\mathbf {G} }
Եթե F -ը պոտենցիալային դաշտ է, ապա նրա ռոտորը հավասար է զրոյի՝
F
=
grad
φ
⇒
rot
F
=
0
{\displaystyle \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi \Rightarrow \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0}
rot
F
=
0
⇒
F
=
grad
φ
{\displaystyle \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi }
rot
rot
F
=
grad
div
F
−
Δ
F
{\displaystyle \operatorname {rot} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\operatorname {div} ~\mathbf {F} -\Delta \mathbf {F} }
Ինչ-որ մակերևույթի սահման հանդիսացող փակ կոնտուրով ցիրկուլյացիան հավասար է այդ մակերևույթով այդ վեկտորի հոսքի ռոտորին։
∮
∂
S
F
⋅
d
l
=
∫
S
(
rot
F
)
⋅
d
S
{\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\cdot \,\mathbf {dS} }
Գրինի թեորեմը ։
(
r
o
t
v
)
i
=
ε
i
j
k
g
j
m
∂
∂
x
m
v
k
{\displaystyle (\mathrm {rot} \ \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}v^{k}}
(
r
o
t
v
)
n
=
g
n
i
ε
i
j
k
g
j
m
∂
∂
x
m
v
k
{\displaystyle (\mathrm {rot} \ \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}v^{k}}
rot
A
=
rot
(
q
1
A
1
+
q
2
A
2
+
q
3
A
3
)
=
{\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {A} =\operatorname {rot} \;(\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_{3}} A_{3})=}
=
1
H
2
H
3
[
∂
∂
q
2
(
A
3
H
3
)
−
∂
∂
q
3
(
A
2
H
2
)
]
q
1
+
{\displaystyle ={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3})-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +}
+
1
H
3
H
1
[
∂
∂
q
3
(
A
1
H
1
)
−
∂
∂
q
1
(
A
3
H
3
)
]
q
2
+
{\displaystyle +\ {\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1})-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +}
+
1
H
1
H
2
[
∂
∂
q
1
(
A
2
H
2
)
−
∂
∂
q
2
(
A
1
H
1
)
]
q
3
,
{\displaystyle +\ {\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2})-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}} ,}
որտեղ Hi -ն Լամեի գործակիցն է։
Դիտարկենք հետևյալ վեկտորական դաշտը[ 6]
F
(
x
,
y
)
=
−
x
2
e
y
{\displaystyle F(x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y}}
Կիրառելով ռոտոր օպերատորը, կստացի՝
∇
×
F
=
0
e
x
+
0
e
y
+
∂
∂
x
(
−
x
2
)
e
z
=
−
2
x
e
z
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} _{x}+0\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial }{\partial x}}(-x^{2})\mathbf {e} _{z}=-2x\mathbf {e} _{z}}
Քանի որ ռոտորը յուրաքանչյուր կետում նույնը չէ, գրաֆիկը կստացվի հետևյալ կերպ՝
x=0 հարթությամբ F-ի ռոտորը: Դիտարկենք ∇ × [ v × F ] օրինակը։ Օգտագործելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգը , կարելի է ցույց տալ, որ՝
∇
×
(
v
×
F
)
=
[
(
∇
⋅
F
)
+
F
⋅
∇
]
v
−
[
(
∇
⋅
v
)
+
v
⋅
∇
]
F
.
{\displaystyle \mathbf {\nabla \times } \left(\mathbf {v\times F} \right)=\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } \right]\mathbf {v} -\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } \right]\mathbf {F} \ .}
Եթե v -ն և ∇ -ն փոխենք տեղերով, կստացվի՝
v
×
(
∇
×
F
)
=
∇
F
(
v
⋅
F
)
−
(
v
⋅
∇
)
F
,
{\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{F}\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,}
որը համարվում է ֆեյմանյան գրառում՝ ∇ F ներքին ինդեքսով։ Այն նշանակում է, որ F ինդեքսով գրադիենտը վերաբերվում է միայն F -ին։ Այլ օրինակ՝
∇ × [ ∇ × F ]:
Կիրառելով ուղղանկյուն կոորդինատական համակարգ, կարելի է գրել՝
∇
×
(
∇
×
F
)
=
∇
(
∇
⋅
F
)
−
∇
2
F
,
{\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,}
որը կարելի է համարել առաջին օրինակի մասնակի դեպքը, երբ v → ∇ :
↑ Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, а также почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» Կաղապար:Нет АИ 2 .
↑ О. Хэвисайд . The relations between magnetic force and electric current . // The Electrician, 1882.↑ Точнее — если F — псевдовектор ное поле, то rot F — обычное векторное поле (вектор rot F — полярный), и наоборот, если поле F — поле обычного (полярного) вектора, то rot F — псевдовекторное поле.
↑ Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.
↑ То, что тензор антисимметричен, очевидно непосредственно из определения.
↑ Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку rot const = 0 ; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) - ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси х, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости
v
y
(
x
)
{\displaystyle v_{y}(x)}
y совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость
v
(
z
)
{\displaystyle \mathbf {v} (z)}
∂
v
y
/
∂
z
{\displaystyle \partial v_{y}/\partial z}
z = 0, как и в основном примере, т.е. вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).
![{\displaystyle ={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3})-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9df2fec46b42f6917e3cb3912f73a899cb43504c)
![{\displaystyle +\ {\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1})-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2bfe3a36492e3a0fb23551bf9be811e521ca52)
![{\displaystyle +\ {\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2})-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8236ee8aef3e7873af9e4167e04b4602480f54c0)
![{\displaystyle \mathbf {\nabla \times } \left(\mathbf {v\times F} \right)=\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } \right]\mathbf {v} -\left[\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } \right]\mathbf {F} \ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dd976d3672173c78e313a4c8b0b4f9b0a26a853)
