Դանսմորը ծնվել է ԱլբերտանահանգիԷդմոնտոնքաղաքում։ 1973 թվականին ավարտել է Յորկսկիի համալսարանը, որից անմիջապես հետո սկսել է կարիերան բեմում[3]։ Այդ ժամանակից ի վեր նա բազմաթիվ դերեր է խաղացել կանադական բեմում, իսկ 1980-ականներից աշխատել է նաև հեռուստատեսությունում[3]։
Հեռուստատեսությունում Դանսմորը հայտնի է իր երկրորդական դերերով «Քեմփբելներ», «Ճանապարհ դեպի Էյվոնլի» և «Ռեգենեզիս» սերիալներում։ Տարբեր տարիների նա նկարահանվել է բազմաթիվ հեռուստաֆիլմերում և մինի սերիալներում, ներառյալ «Աննան կանաչ կտուրներից. Շարունակություն» (1987), իսկ ամերիկյան հեռուստատեսությունում հայտնվել է «Լոս Անջելեսի օրենք», «Մթնշաղի գոտի» և «Գեղեցկուհին և հրեշը» ֆիլմերում։ Դանսմորը երկու անգամ առաջադրվել է «Ջեմինի» մրցանակի, «Գեղասահորդուհի» հեռուստաֆիլմում (1988) և «Թաց գործերի բաժին» սերիալում (2001) կատարած դերերի համար[4]։ Նա նաև ստացել է ACTRA Award «Հաստափոր բանաձև» (2008) կինոֆիլմում կատարած դերի համար[4]։ 2015 թվականին Դանսմորը միացել է BBC America-ի «Մթին երեխան» սերիալի նկարահանումներին[5]։