Ռիսկի տակ գտնվող արժեք

Հիպոթետիկ շահույթի և վնասի հավանականության խտության ֆունկցիայի 5% Ռիսկի տակ գտնվող արժեքը (VaR)

Ռիսկի տակ գտնվող արժեքը (անգլ.՝ Value at risk, կրճատ՝ VaR) ներդրումների/կապիտալի կորստի ռիսկի չափման միավոր է: Այն գնահատում է, թե որքան կարող է կորցնել ներդրումների փաթեթը (տրված հավանականությամբ) շուկայական նորմալ պայմաններում՝ սահմանված ժամանակահատվածում, օրինակ՝ մեկ օրում: VaR-ը սովորաբար օգտագործվում է ֆինանսական ոլորտի ընկերությունների և կարգավորող մարմինների կողմից՝ հնարավոր կորուստները ծածկելու համար անհրաժեշտ ակտիվների քանակը գնահատելու համար:

Տրված պորտֆելի, ժամանակային հորիզոնի և p հավանականության համար, p VaR-ը ոչ պաշտոնապես կարող է սահմանվել որպես այդ ժամանակահատվածում հնարավոր առավելագույն կորուստ՝ բացառելով բոլոր ավելի վատ արդյունքները, որոնց համակցված հավանականությունը առավելագույնը p է: Սա ենթադրում է իրական (շուկայական) արժեքով գնագոյացում և պորտֆելում առևտրային գործառնությունների բացակայություն։

Օրինակ, եթե բաժնետոմսերի պորտֆելն ունի 1 միլիոն դոլարի մեկօրյա 5% VaR, դա նշանակում է, որ առևտրի բացակայության դեպքում 0,05 հավանականություն կա, որ պորտֆելի արժեքը մեկօրյա ժամանակահատվածում կնվազի 1 միլիոն դոլարով կամ ավելի: Ոչ պաշտոնական ձևակերպմամբ՝ այս պորտֆելի գծով 1 միլիոն դոլար կամ ավելի կորուստ է սպասվում 20 օրից 1 օրվա ընթացքում (5% հավանականության պատճառով):

Ավելի պաշտոնական սահմանմամբ՝ p VaR-ը որոշվում է այնպես, որ VaR-ից մեծ կորստի հավանականությունը (առավելագույնը) (1-p) է, մինչդեռ VaR-ից պակաս կորստի հավանականությունը (առնվազն) p է: Այն կորուստը, որը գերազանցում է VaR-ի շեմը, կոչվում է «VaR-ի խախտում» (անգլ.՝ VaR breach)։

Ֆիքսված p-ի դեպքում, p VaR-ը չի գնահատում կորստի մեծությունը, երբ տեղի է ունենում VaR-ի խախտում, և, հետևաբար, ոմանց կողմից համարվում է կասկածելի ցուցանիշ ռիսկերի կառավարման համար: Օրինակ, ենթադրենք, որ ինչ-որ մեկը գրազ է գալիս, որ մետաղադրամը յոթ անգամ նետելիս յոթ անգամ էլ «ղուշ» չի նստի: Պայմաններն այնպիսին են, որ նա շահում է 100 դոլար, եթե դա տեղի չի ունենում (127/128 հավանականությամբ), և տանուլ է տալիս 12,700 դոլար, եթե դա տեղի է ունենում (1/128 հավանականությամբ): Այսինքն՝ հնարավոր կորստի գումարները կազմում են կամ $0, կամ $12,700։ Այս դեպքում 1% VaR-ը հավասար է $0-ի, քանի որ ընդհանրապես որևէ կորստի հավանականությունը 1/128 է, ինչը փոքր է 1%-ից: Այնուամենայնիվ, նրանք ենթարկվում են $12,700-ի հնարավոր կորստի, որը կարող է արտահայտվել որպես p VaR ցանկացած p ≤ 0.78125% (1/128)-ի համար։

VaR-ն ունի չորս հիմնական կիրառություն ֆինանսներում՝ ռիսկերի կառավարում, ֆինանսական վերահսկողություն, ֆինանսական հաշվետվությունների ներկայացում և կարգավորող կապիտալի հաշվարկ: VaR-ը երբեմն օգտագործվում է նաև ոչ ֆինանսական կիրառություններում։ Այնուամենայնիվ, այն հանդիսանում է ռիսկերի կառավարման վիճահարույց գործիք:

Կարևոր կապակցված հասկացություններ են տնտեսական կապիտալը, հետադարձ թեստավորումը (բեքթեսթինգ), սթրես-թեստավորումը, ակնկալվող դեֆիցիտը (expected shortfall) և պոչի պայմանական ակնկալիքը։

Մանրամասներ

VaR-ի համար սովորական պարամետրեր են հանդիսանում 1% և 5% հավանականությունները և մեկօրյա ու երկշաբաթյա հորիզոնները, թեև օգտագործվում են նաև այլ համակցություններ։

Նորմալ շուկաներ և առևտրի բացակայություն ենթադրելու, ինչպես նաև կորուստը միայն օրական հաշիվներում չափվող մեծություններով սահմանափակելու պատճառն այն է, որ կորուստը դառնա դիտարկելի: Որոշ ծայրահեղ ֆինանսական իրադարձությունների ժամանակ կորուստները որոշելը կարող է անհնարին լինել կամ շուկայական գների բացակայության, կամ կորուստ կրող հաստատության կազմալուծման պատճառով: Աղետների որոշ երկարաժամկետ հետևանքներ, ինչպիսիք են դատական հայցերը, շուկայի վստահության և աշխատակիցների բարոյահոգեբանական վիճակի կորուստը, ինչպես նաև ապրանքանիշի արժեզրկումը, կարող են երկար ժամանակ պահանջել դրսևորվելու համար, և դրանք դժվար է վերագրել նախկինում կայացված կոնկրետ որոշումներին: VaR-ը գծում է սահմանը նորմալ օրերի և ծայրահեղ իրադարձությունների միջև: Հաստատությունները կարող են կորցնել շատ ավելին, քան VaR-ի գումարն է. միակ բանը, որ կարելի է պնդել, այն է, որ դա տեղի չի ունենա շատ հաճախ։

Հավանականության մակարդակը գրեթե հավասար հաճախականությամբ նշվում է նաև որպես մեկից հանած VaR-ի խախտման հավանականությունը, այնպես որ վերոնշյալ օրինակում VaR-ը կկոչվի մեկօրյա 95% VaR՝ մեկօրյա 5% VaR-ի փոխարեն: Սա սովորաբար շփոթություն չի առաջացնում, քանի որ VaR-ի խախտումների հավանականությունը գրեթե միշտ փոքր է, հաստատ 50%-ից պակաս։

Չնայած այն գրեթե միշտ ներկայացնում է կորուստ, VaR-ը սովորաբար հաղորդվում է որպես դրական թիվ: Բացասական VaR-ը կնշանակեր, որ պորտֆելը շահույթ ստանալու բարձր հավանականություն ունի. օրինակ՝ բացասական 1 միլիոն դոլարի մեկօրյա 5% VaR-ը ենթադրում է, որ պորտֆելն ունի 95% հավանականություն հաջորդ օրվա ընթացքում 1 միլիոն դոլարից ավելի շահույթ ստանալու։

Մեկ այլ անհամապատասխանություն այն է, որ VaR-ը երբեմն վերաբերում է ժամանակաշրջանի վերջում ստացված շահույթին ու վնասին, իսկ երբեմն՝ ժամանակաշրջանի ցանկացած պահին առավելագույն կորստին: Սկզբնական սահմանումը վերջինս էր, սակայն 1990-ականների սկզբին, երբ VaR-ը սկսեց համախմբվել տարբեր առևտրային ստորաբաժանումների և ժամային գոտիների միջև, օրվա վերջի գնահատումը միակ հուսալի թիվն էր, ուստի առաջինը դարձավ de facto սահմանումը: Քանի որ մարդիկ սկսեցին օգտագործել բազմօրյա VaR-եր 1990-ականների երկրորդ կեսին, նրանք գրեթե միշտ գնահատում էին բաշխվածությունը միայն ժամանակաշրջանի վերջի դրությամբ: Տեսականորեն նույնպես ավելի հեշտ է գործ ունենալ որոշակի ժամանակային կետի գնահատականի հետ, քան միջակայքի առավելագույն արժեքի հետ: Հետևաբար, ժամանակաշրջանի վերջի դրությամբ սահմանումն այսօր ամենատարածվածն է թե՛ տեսության, թե՛ պրակտիկայի մեջ։

Տեսակներ

VaR-ի սահմանումը ոչ կոնստրուկտիվ է. այն նշում է այն հատկությունը, որը VaR-ը պետք է ունենա, բայց չի նշում, թե ինչպես հաշվարկել այն: Ավելին, սահմանման մեջ մեկնաբանությունների լայն հնարավորություն կա։ Սա հանգեցրել է VaR-ի երկու լայն տեսակների ձևավորմանը, որոնցից մեկն օգտագործվում է հիմնականում ռիսկերի կառավարման, իսկ մյուսը՝ հիմնականում ռիսկերի չափման համար: Այնուամենայնիվ, տարբերակումը խիստ չէ, և հիբրիդային տարբերակները սովորաբար օգտագործվում են ֆինանսական վերահսկողության, ֆինանսական հաշվետվությունների ներկայացման և կարգավորող կապիտալի հաշվարկման ժամանակ։

Ռիսկերի մենեջերի համար VaR-ը համակարգ է, այլ ոչ թե թիվ: Համակարգը գործարկվում է պարբերաբար (սովորաբար օրական), և հրապարակված թիվը համեմատվում է ժամանակային հորիզոնում բաց դիրքերի գծով հաշվարկված գնային շարժի հետ: Հրապարակված VaR-ի հետագա ճշգրտում երբեք չի կատարվում, և տարբերություն չի դրվում մուտքային տվյալների սխալների (ներառյալ ՏՏ խափանումները, խարդախությունը և չարտոնված առևտուրը), հաշվարկային սխալների (ներառյալ VaR-ը ժամանակին չներկայացնելը) և շուկայական շարժերի պատճառով առաջացած VaR-ի խախտումների միջև։

Ֆրեկվենտիստական (հաճախականային) մոտեցման կողմնակիցները պնդում են, որ VaR-ի խախտումների երկարաժամկետ հաճախականությունը հավասար կլինի սահմանված հավանականությանը՝ ընտրանքային սխալի սահմաններում, և որ VaR-ի խախտումները կլինեն ժամանակի մեջ անկախ և անկախ VaR-ի մակարդակից: Այս պնդումը հաստատվում է հետադարձ թեստավորման (բեքթեսթի) միջոցով, որը համեմատում է հրապարակված VaR-երը փաստացի գնային շարժերի հետ: Այս մեկնաբանության համաձայն՝ շատ տարբեր համակարգեր կարող են արտադրել հավասարապես լավ բեքթեսթերով VaR-եր, սակայն զգալիորեն տարբերվել օրական VaR արժեքներով։

Ռիսկերի չափման համար անհրաժեշտ է թիվ, այլ ոչ թե համակարգ: Բայեսյան հավանականության պնդմամբ՝ հաշվի առնելով այդ պահին առկա տեղեկատվությունը և համոզմունքները, VaR-ի խախտման սուբյեկտիվ հավանականությունը եղել է սահմանված մակարդակում: VaR-ը ճշգրտվում է փաստից հետո՝ մուտքային տվյալների և հաշվարկների սխալները ուղղելու համար, բայց ոչ հաշվարկի պահին անհասանելի տեղեկատվությունը ներառելու նպատակով։ Այս համատեքստում «հետադարձ թեստավորումն» ունի այլ նշանակություն: Փոխանակ համեմատելու հրապարակված VaR-երը շուկայի փաստացի շարժերի հետ այն ժամանակահատվածում, երբ համակարգը գործել է, VaR-ը հետադարձ ուժով հաշվարկվում է զտված տվյալների հիման վրա այնքան երկար ժամանակահատվածի համար, որքանով տվյալները հասանելի են և համարվում են տեղին: Դիրքերի նույն տվյալները և գնագոյացման մոդելներն օգտագործվում են ինչպես VaR-ի հաշվարկման, այնպես էլ գնային շարժերի որոշման համար։

Թեև այստեղ նշված աղբյուրներից ոմանք օրինական են համարում VaR-ի միայն մեկ տեսակը, վերջին շրջանի աղբյուրների մեծ մասը կարծես համաձայն է, որ ռիսկերի կառավարման VaR-ը գերադասելի է ներկայում կարճաժամկետ և տակտիկական որոշումներ կայացնելու համար, մինչդեռ ռիսկերի չափման VaR-ը պետք է օգտագործվի անցյալը հասկանալու և ապագայի համար միջնաժամկետ ու ռազմավարական որոշումներ կայացնելու համար: Երբ VaR-ն օգտագործվում է ֆինանսական վերահսկողության կամ ֆինանսական հաշվետվությունների համար, այն պետք է ներառի երկու տարրերն էլ: Օրինակ, եթե առևտրային ստորաբաժանման համար սահմանված է VaR-ի սահմանաչափ, դա թե՛ ռիսկերի կառավարման կանոն է՝ որոշելու համար, թե ինչ ռիսկեր թույլատրել այսօր, և թե՛ մուտքային տվյալ հաշվետու ժամանակաշրջանի վերջում ստորաբաժանման՝ ռիսկով ճշգրտված եկամտաբերության ռիսկի չափման հաշվարկի համար։

Կառավարման մեջ

VaR-ը կարող է կիրառվել նաև նվիրատվությունների (endowments), թրաստերի և կենսաթոշակային ծրագրերի կառավարման (governance) մեջ։ Ըստ էության, հոգաբարձուները որդեգրում են պորտֆելի Value-at-Risk ցուցանիշները ինչպես ամբողջական համախմբված հաշվի, այնպես էլ առանձին կառավարվող դիվերսիֆիկացված մասերի համար։ Հավանականային գնահատականների փոխարեն նրանք պարզապես սահմանում են ընդունելի կորստի առավելագույն մակարդակներ յուրաքանչյուրի համար։ Այսպես վարվելը հեշտացնում է վերահսկողությունը և մեծացնում պատասխանատվությունը, քանի որ կառավարիչներին հանձնարարվում է կառավարել պորտֆելը, բայց լրացուցիչ սահմանափակմամբ՝ խուսափել ռիսկի սահմանված պարամետրի շրջանակներում կորուստներից։ Այս եղանակով օգտագործվող VaR-ը մեծացնում է կիրառելիությունը, ինչպես նաև ռիսկի չափման վերահսկողությունը մոնիտորինգի ենթարկելու հարմար գործիք է, որն ավելի ինտուիտիվ է, քան եկամտաբերության ստանդարտ շեղումը (Standard Deviation of Return)։ VaR-ի օգտագործումը այս համատեքստում, ինչպես նաև խորհրդի կառավարման պրակտիկայի արժեքավոր քննադատությունը՝ կապված ընդհանուր առմամբ ներդրումների կառավարման վերահսկողության հետ, կարելի է գտնել «Best Practices in Governance» աշխատության մեջ։

SEC Rule 18f-4 կանոնը պահանջում է որոշակի ֆոնդերից, որոնք օգտագործում են ածանցյալ գործիքներ, համապատասխանել հարաբերական VaR-ի թեստին՝ որպես ֆոնդի լևերիջի ռիսկի կառավարման համակարգի մաս։ Այս կանոնին ապավինող ֆոնդը հիմնականում պետք է պահպանի ֆոնդի լևերիջի ռիսկի արտաքին սահմանաչափը՝ հիմնված value-at-risk-ի կամ «VaR»-ի վրա։ Այս արտաքին սահմանաչափը հիմնված է հարաբերական VaR թեստի վրա, որը համեմատում է ֆոնդի VaR-ը տվյալ ֆոնդի «նշանակված էտալոնային պորտֆելի» (designated reference portfolio) VaR-ի հետ։ Ֆոնդը հիմնականում կարող է որպես իր նշանակված էտալոնային պորտֆել օգտագործել կամ որոշակի պահանջներին համապատասխանող ինդեքս, կամ հենց ֆոնդի սեփական արժեթղթերի պորտֆելը (բացառությամբ ածանցյալ գործիքներով գործարքների)։ Եթե ֆոնդի ածանցյալ գործիքների ռիսկերի մենեջերը հիմնավորված կերպով որոշի, որ նշանակված էտալոնային պորտֆելը համապատասխան հղման պորտֆել չի հանդիսանա հարաբերական VaR թեստի նպատակների համար, ֆոնդից կպահանջվի համապատասխանել բացարձակ VaR թեստին։ Ֆոնդի VaR-ը հիմնականում չպետք է գերազանցի ֆոնդի նշանակված էտալոնային պորտֆելի VaR-ի 200%-ը՝ հարաբերական VaR թեստի դեպքում, կամ ֆոնդի զուտ ակտիվների 20%-ը՝ բացարձակ VaR թեստի դեպքում։

Մաթեմատիկական սահմանում

Թող $X$-ը լինի շահույթի և կորստի բաշխումը (կորուստը բացասական է, իսկ շահույթը՝ դրական)։ VaR-ը $\alpha \in (0,1)$ մակարդակում այն ամենափոքր $y$ թիվն է, որի դեպքում հավանականությունը, որ $Y:=-X$-ը չի գերազանցի $y$-ը, առնվազն $1-\alpha$ է։ Մաթեմատիկորեն, $\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)$-ը $Y$-ի $(1-\alpha )$-քվանտիլն է, այսինքն՝

$\operatorname {VaR} _{\alpha }(X)=-\inf {\big \{}x\in \mathbb {R} :F_{X}(x)>\alpha {\big \}}=F_{Y}^{-1}(1-\alpha ).$

Սա VaR-ի ամենաընդհանուր սահմանումն է, և երկու նույնությունները համարժեք են (իսկապես, ցանկացած իրական պատահական փոփոխականի $X$-ի համար դրա կումուլյատիվ բաշխման ֆունկցիան՝ $F_{X}$-ը, հստակ սահմանված է)։ Սակայն այս բանաձևը չի կարող ուղղակիորեն օգտագործվել հաշվարկների համար, քանի դեռ չենք ենթադրել, որ $X$-ն ունի որոշակի պարամետրիկ բաշխում։

Ռիսկերի մենեջերները սովորաբար ենթադրում են, որ վատ իրադարձությունների մի մասը կունենա անորոշ կորուստներ՝ կամ այն պատճառով, որ շուկաները փակ են կամ իրացվելի չեն, կամ այն պատճառով, որ կորուստ կրող կազմակերպությունը կազմալուծվում է կամ կորցնում հաշիվները հաշվարկելու կարողությունը։ Հետևաբար, նրանք չեն ընդունում հստակ սահմանված հավանականային բաշխման ենթադրության վրա հիմնված արդյունքները։ Նասիմ Թալեբն այս ենթադրությունն անվանել է «շառլատանություն»։ Մյուս կողմից, շատ գիտնականներ գերադասում են ենթադրել հստակ սահմանված բաշխում, թեև սովորաբար ծանր պոչերով (fat tails)։ Այս կետը, թերևս, ավելի շատ վեճերի պատճառ է դարձել VaR տեսաբանների շրջանում, քան որևէ այլ հարց։

Value at risk-ը կարող է գրվել նաև որպես աղավաղման ռիսկի չափանիշ (distortion risk measure), որը տրվում է հետևյալ աղավաղման ֆունկցիաով՝ $g(x)={\begin{cases}0&{\text{եթե }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{եթե }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.$

Ռիսկի չափանիշ և ռիսկի մետրիկա

«VaR» տերմինն օգտագործվում է և՛ որպես ռիսկի չափանիշ (risk measure), և՛ որպես ռիսկի մետրիկա (risk metric)։ Սա երբեմն շփոթության տեղիք է տալիս։ Մինչև 1995 թվականը հրապարակված աղբյուրները սովորաբար շեշտում են ռիսկի չափանիշը, իսկ ավելի ուշ աղբյուրները հակված են շեշտելու մետրիկան։

VaR ռիսկի չափանիշը սահմանում է ռիսկը որպես ֆիքսված պորտֆելի շուկայական վերագնահատման (mark-to-market) կորուստ ֆիքսված ժամանակային հորիզոնում։ Ֆինանսներում կան բազմաթիվ այլընտրանքային ռիսկի չափանիշներ։ Հաշվի առնելով ապագա արդյունքների համար շուկայական վերագնահատման (որն օգտագործում է շուկայական գները կորուստը սահմանելու համար) կիրառման անհնարինությունը՝ կորուստը հաճախ սահմանվում է (որպես փոխարինող) որպես հիմնարար արժեքի (fundamental value) փոփոխություն։ Օրինակ, եթե հաստատությունը տնօրինում է վարկ, որի շուկայական գինը նվազում է տոկոսադրույքների բարձրացման պատճառով, բայց դրամական հոսքերի կամ վարկային որակի փոփոխություն չկա, որոշ համակարգեր կորուստ չեն ճանաչում։ Նաև ոմանք փորձում են ներառել այն վնասի տնտեսական արժեքը, որը չի չափվում ամենօրյա ֆինանսական հաշվետվություններում, օրինակ՝ շուկայի վստահության կամ աշխատակիցների բարոյահոգեբանական վիճակի կորուստը, ապրանքանիշերի արժեզրկումը կամ դատական հայցերը։

Ֆիքսված ժամանակային հորիզոնում ստատիկ պորտֆել ենթադրելու փոխարեն, ռիսկի որոշ չափանիշներ ներառում են ակնկալվող առևտրի դինամիկ ազդեցությունը (օրինակ՝ ստոպ-լոսս հրամանը) և հաշվի են առնում դիրքերի պահպանման ակնկալվող ժամանակահատվածը։

VaR ռիսկի մետրիկան ամփոփում է հնարավոր կորուստների բաշխումը քվանտիլի միջոցով՝ մի կետով, որն ունի ավելի մեծ կորուստների որոշակի հավանականություն։ Տարածված այլընտրանքային մետրիկա է ակնկալվող պակասուրդը (expected shortfall)։

VaR ռիսկերի կառավարում

VaR-ի վրա հիմնված ռիսկերի կառավարման կողմնակիցները պնդում են, որ VaR-ի առաջին և թերևս ամենամեծ օգուտը համակարգերի և մոդելավորման բարելավումն է, որն այն պարտադրում է կազմակերպությանը։ 1997 թվականին Ֆիլիպ Ժորիոն գրել է․

[VAR-ի] ամենամեծ օգուտը ռիսկի մասին քննադատաբար մտածելու համակարգված մեթոդաբանության պարտադրումն է։ Այն կազմակերպությունները, որոնք անցնում են իրենց VAR-ի հաշվարկման գործընթացով, ստիպված են առերեսվել ֆինանսական ռիսկերին իրենց ենթարկվածությանը և ստեղծել ռիսկերի կառավարման պատշաճ գործառույթ։ Այսպիսով, VAR-ին հասնելու գործընթացը կարող է նույնքան կարևոր լինել, որքան հենց թիվը։

Ամենօրյա թիվը ժամանակին և նշված վիճակագրական հատկություններով հրապարակելը առևտրային կազմակերպության յուրաքանչյուր ստորաբաժանմանը պահում է բարձր օբյեկտիվ ստանդարտների մեջ։ Պետք է ներդրվեն հուսալի պահուստային համակարգեր և լռելյայն ենթադրություններ։ Այն դիրքերը, որոնք սխալ են զեկուցվում, մոդելավորվում կամ գնագոյացվում, անմիջապես աչքի են զարնում, ինչպես և այն տվյալների հոսքերը, որոնք ոչ ճշգրիտ են կամ ուշացած, և համակարգերը, որոնք չափազանց հաճախ են խափանվում։ Այն ամենը, ինչն ազդում է շահույթի և կորստի վրա և դուրս է մնում այլ հաշվետվություններից, կհայտնվի կամ ուռճացված VaR-ում, կամ VaR-ի չափից ավելի խախտումներում (breaks)։ «Ռիսկի դիմող կազմակերպությունը, որը չի հաշվարկում VaR, կարող է խուսափել աղետից, բայց այն կազմակերպությունը, որը չի կարող հաշվարկել VaR, չի գոյատևի»։

VaR-ի երկրորդ մատնանշվող օգուտն այն է, որ այն ռիսկը բաժանում է երկու ռեժիմի։ VaR-ի սահմանաչափի ներսում ավանդական վիճակագրական մեթոդները հուսալի են։ Վերլուծության համար կարող են օգտագործվել համեմատաբար կարճաժամկետ և կոնկրետ տվյալներ։ Հավանականության գնահատականներն իմաստալից են, քանի որ կան բավարար տվյալներ դրանք փորձարկելու համար։ Ինչ-որ իմաստով, իրական ռիսկ չկա, քանի որ դրանք բազմաթիվ անկախ դիտարկումների գումար են՝ արդյունքի ձախ սահմանափակմամբ։ Օրինակ՝ խաղատունը չի անհանգստանում, թե ռուլետկայի հաջորդ պտույտին կարմիրը կհայտնվի, թե սևը։ Ռիսկերի մենեջերները խրախուսում են արդյունավետ ռիսկի դիմումը այս ռեժիմում, քանի որ իրական ծախսը փոքր է։ Մարդիկ հակված են չափից շատ անհանգստանալու այս ռիսկերի համար, քանի որ դրանք հաճախ են պատահում, և ոչ բավարար չափով այն մասին, թե ինչ կարող է պատահել ամենավատ օրերին։

VaR-ի սահմանաչափից դուրս բոլոր կանխատեսումներն անօգուտ են դառնում։ Ռիսկը պետք է վերլուծվի սթրես-թեստերի միջոցով՝ հիմնված երկարաժամկետ և լայն շուկայական տվյալների վրա։ Հավանականության վերաբերյալ պնդումներն այլևս իմաստ չունեն։ VaR կետից այն կողմ կորուստների բաշխումն իմանալը և՛ անհնար է, և՛ անօգուտ։ Փոխարենը, ռիսկերի մենեջերը պետք է կենտրոնանա այն բանի վրա, որ լավ ծրագրեր առկա լինեն հնարավորության դեպքում կորուստը սահմանափակելու, իսկ հակառակ դեպքում՝ դրան դիմակայելու համար։

Կոնկրետ համակարգերից մեկն օգտագործում է երեք ռեժիմ․

1. VaR-ից մեկից երեք անգամ մեծ արժեքները նորմալ երևույթներ են։ Պարբերական VaR-ի խախտումներն սպասելի են։ Կորուստների բաշխումը սովորաբար ունենում է ծանր պոչեր, և կարող է լինել մեկից ավելի խախտում կարճ ժամանակահատվածում։ Ավելին, շուկաները կարող են անկանոն լինել, իսկ առևտուրը կարող է սրել կորուստները, և կրած կորուստները կարող են չչափվել ամենօրյա ֆինանսական հաշվետվություններում (օրինակ՝ դատական հայցեր, աշխատակիցների բարոյահոգեբանական վիճակի և շուկայի վստահության կորուստ, ապրանքանիշի արժեզրկում)։ Այն կազմակերպությունը, որը չի կարող հաղթահարել VaR-ից երեք անգամ մեծ կորուստները որպես սովորական իրադարձություններ, հավանաբար երկար չի գոյատևի VaR համակարգ ներդնելու համար։
2. VaR-ից երեքից տասը անգամ մեծ միջակայքը նախատեսված է սթրես-թեստավորման համար։ Կազմակերպությունները պետք է վստահ լինեն, որ ուսումնասիրել են բոլոր կանխատեսելի իրադարձությունները, որոնք կորուստներ կպատճառեն այս միջակայքում, և պատրաստ են դիմակայել դրանց։ Այս իրադարձությունները չափազանց հազվադեպ են հավանականությունները հավաստիորեն գնահատելու համար, ուստի ռիսկ/եկամտաբերություն հաշվարկներն անօգուտ են։
3. Կանխատեսելի իրադարձությունները չպետք է պատճառեն VaR-ից տասն անգամ ավելի մեծ կորուստներ։ Եթե պատճառում են, ապա դրանք պետք է հեջավորվեն կամ ապահովագրվեն, կամ բիզնես-ծրագիրը պետք է փոխվի դրանցից խուսափելու համար, կամ VaR-ը պետք է մեծացվի։ Դժվար է բիզնես վարել, եթե կանխատեսելի կորուստները զգալիորեն գերազանցում են ամենօրյա մեծ կորուստները։ Դժվար է պլանավորել այս իրադարձությունները, քանի որ դրանք դուրս են ամենօրյա փորձի սահմաններից։

VaR-ի՝ որպես մետրիկայի օգտակարության մեկ այլ պատճառ է նրա կարողությունը՝ սեղմելու պորտֆելի ռիսկայնությունը մեկ թվի մեջ, ինչը թույլ է տալիս այն համեմատելի դարձնել տարբեր (տարբեր ակտիվներից կազմված) պորտֆելների միջև։ Ցանկացած պորտֆելի ներսում հնարավոր է նաև առանձնացնել կոնկրետ դիրքեր, որոնք կարող են ավելի լավ հեջավորել պորտֆելը՝ VaR-ը նվազեցնելու և նվազագույնի հասցնելու համար։

Հաշվարկման մեթոդներ

VaR-ը կարող է գնահատվել կամ պարամետրիկորեն (օրինակ՝ դիսպերսիոն-կովարիացիոն VaR կամ դելտա-գամմա VaR) կամ ոչ պարամետրիկորեն (օրինակ՝ պատմական մոդելավորման VaR կամ վերաընտրված VaR)։ VaR-ի գնահատման ոչ պարամետրիկ մեթոդները քննարկվում են Մարկովիչի և Նովակի կողմից։ VaR-ի կանխատեսման մի շարք ռազմավարությունների համեմատությունը տրված է Կյուստերի և համահեղինակների աշխատանքում։

McKinsey-ի զեկույցը, որը հրապարակվել է 2012 թվականի մայիսին, գնահատել է, որ խոշոր բանկերի 85%-ը օգտագործում էր պատմական մոդելավորում։ Մնացած 15%-ը օգտագործում էր Մոնտե Կառլոյի մեթոդները (հաճախ կիրառելով PCA դեկոմպոզիցիա)։

Հետադարձ թեստավորում (Backtesting)

Հետադարձ թեստավորումը VaR կանխատեսումների ճշգրտությունը պորտֆելի փաստացի շահույթների և կորուստների հետ համեմատելու գործընթացն է։ VaR-ի հիմնական առավելությունը ռիսկի մյուս չափանիշների մեծ մասի (օրինակ՝ expected shortfall) նկատմամբ VaR կանխատեսումների հավաստիացման համար մի քանի հետադարձ թեստավորման ընթացակարգերի առկայությունն է։ Հետադարձ թեստերի վաղ օրինակներ կարելի է գտնել Քրիստոֆերսենի մոտ (1998), որն ուշ ընդհանրացվել է Պայհեդեի կողմից (2017)։ Վերջինս մոդելավորում է VaR-ից մեծ կորուստների «հիթերի հաջորդականությունը» (hit-sequence) և անցնում թեստերի՝ ստուգելու համար, թե արդյոք այս «հիթերը» անկախ են միմյանցից և ունեն տեղի ունենալու ճիշտ հավանականություն։ Օրինակ՝ 95% VaR օգտագործելիս ժամանակի ընթացքում պետք է դիտվի VaR-ից մեծ կորստի 5% հավանականություն, և այդ հիթերը պետք է տեղի ունենան միմյանցից անկախ։

Հասանելի են մի շարք այլ հետադարձ թեստեր, որոնք մոդելավորում են հիթերի հաջորդականության մեջ հիթերի միջև ընկած ժամանակահատվածը, տես Քրիստոֆերսեն և Պելետիե (2004), Հաաս (2006), Տոկպավի և համահեղինակներ (2014) և Պայհեդե (2017)։ Ինչպես նշված է մի քանի հոդվածներում, ասիմպտոտիկ բաշխումը հաճախ թույլ է լինում ծածկույթի բարձր մակարդակներ դիտարկելիս, օրինակ՝ 99% VaR, հետևաբար Դյուֆուրի (2006) պարամետրիկ բութստրեպ (bootstrap) մեթոդը հաճախ օգտագործվում է թեստերի ճիշտ չափային հատկություններ ստանալու համար։ Հետադարձ թեստավորման գործիքակազմերը հասանելի են Matlab-ում կամ R-ում, թեև միայն առաջինն է իրականացնում պարամետրիկ բութստրեպ մեթոդը։

Բազել II-ի երկրորդ հիմնասյունը ներառում է հետադարձ թեստավորման փուլ՝ VaR ցուցանիշները հաստատելու համար։

Պատմություն

Ռիսկերի չափման խնդիրը հին է վիճակագրության, տնտեսագիտության և ֆինանսների մեջ։ Ֆինանսական ռիսկերի կառավարումը երկար ժամանակ եղել է նաև կարգավորողների և ֆինանսական տնօրենների մտահոգության առարկան։ Հետադարձ վերլուծությունը ցույց է տվել պատմության մեջ VaR-անման որոշ հասկացությունների գոյությունը։ Սակայն VaR-ը՝ որպես առանձին հայեցակարգ, ի հայտ եկավ միայն 1980-ականների վերջին։ Խթանիչ իրադարձությունը 1987 թվականի ֆոնդային շուկայի փլուզումն էր։ Սա առաջին խոշոր ֆինանսական ճգնաժամն էր, որտեղ ակադեմիական կրթություն ստացած շատ քվանտներ (quants) բավականին բարձր պաշտոններ էին զբաղեցնում, որպեսզի անհանգստանային ամբողջ ընկերության գոյատևման համար։

<Image src="image_agent_tag_18134695591703038383" alt="Exhausted trader on the trading floor during the 1987 stock market crash" caption="1987 թվականի Սև երկուշաբթիի շուկայի փլուզումը" />

Փլուզումն այնքան անհավանական էր՝ հաշվի առնելով ստանդարտ վիճակագրական մոդելները, որ կասկածի տակ դրեց քվանտային ֆինանսների ամբողջ հիմքը։ Պատմության վերանայումը որոշ քվանտների հանգեցրեց այն եզրակացության, որ կային կրկնվող ճգնաժամեր՝ տասնամյակում մեկ կամ երկու անգամ, որոնք հերքում էին առևտրի, ներդրումների կառավարման և ածանցյալ գործիքների գնագոյացման մոդելներում ներառված վիճակագրական ենթադրությունները։ Դրանք միաժամանակ ազդում էին բազմաթիվ շուկաների վրա, ներառյալ նրանց, որոնք սովորաբար կորելացված չէին, և հազվադեպ էին ունենում տեսանելի տնտեսական պատճառ կամ նախազգուշացում (թեև հետադարձ բացատրությունները շատ էին)։ Շատ ավելի ուշ Նասիմ Նիկոլաս Թալեբի կողմից դրանք անվանվեցին «Սև կարապներ», և հայեցակարգը տարածվեց ֆինանսներից շատ հեռու։

Եթե այս իրադարձությունները ներառվում էին քանակական վերլուծության մեջ, դրանք գերակշռում էին արդյունքներում և հանգեցնում այնպիսի ռազմավարությունների, որոնք չէին աշխատում ամենօրյա ռեժիմում։ Եթե այս իրադարձությունները բացառվում էին, «Սև կարապների» միջև ընկած ժամանակահատվածում ստացված շահույթը կարող էր շատ ավելի փոքր լինել, քան ճգնաժամի ժամանակ կրած կորուստները։ Դրա հետևանքով ինստիտուտները կարող էին սնանկանալ։

VaR-ը մշակվել է որպես համակարգված մեթոդ՝ ծայրահեղ իրադարձությունները (որոնք ուսումնասիրվում են որակապես՝ երկարաժամկետ պատմության և լայն շուկայական իրադարձությունների կտրվածքով) առօրյա գնային շարժումներից (որոնք ուսումնասիրվում են քանակապես՝ կոնկրետ շուկաներում կարճաժամկետ տվյալների օգտագործմամբ) տարանջատելու համար։ Հույս կար, որ «Սև կարապներին» կնախորդի գնահատված VaR-ի աճը կամ VaR-ի խախտումների հաճախականության մեծացումը առնվազն որոշ շուկաներում։ Թե որքանով է սա ճիշտ արտահայտվել, մնում է վիճահարույց։

Անոմալ շուկաները և առևտուրը բացառվել են VaR-ի գնահատումից՝ այն դիտարկելի դարձնելու նպատակով։ Միշտ չէ, որ հնարավոր է սահմանել կորուստը, եթե, օրինակ, շուկաները փակ են, ինչպես սեպտեմբերի 11-ից հետո, կամ ծայրահեղ անիրացվելի են, ինչպես տեղի ունեցավ մի քանի անգամ 2008 թվականին։ Կորուստները կարող են դժվար սահմանելի լինել նաև այն դեպքում, երբ ռիսկ կրող կազմակերպությունը սնանկանում է կամ կազմալուծվում։ Այնպիսի չափանիշը, որը կախված է թրեյդերների որոշակի գործողություններ կատարելուց և այլ գործողություններից խուսափելուց, կարող է հանգեցնել ինքնահղման (self reference)։

Սա ռիսկերի կառավարման VaR-ն է։ Այն լավ արմատավորված էր մի քանի ֆինանսական հաստատությունների, հատկապես՝ Bankers Trust-ի քանակական առևտրի խմբերում մինչև 1990 թվականը, թեև ո՛չ անվանումը, ո՛չ սահմանումը ստանդարտացված չէին։ Առևտրային ստորաբաժանումների միջև VaR-երը համախմբելու փորձեր չէին արվում։

1990-ականների սկզբի ֆինանսական իրադարձությունները շատ ընկերությունների կանգնեցրին խնդիրների առաջ, քանի որ նույն հիմնարար գրազը (bet) կատարվել էր ընկերության տարբեր ստորաբաժանումներում՝ ոչ ակնհայտ ձևերով։ Քանի որ շատ առևտրային ստորաբաժանումներ արդեն հաշվարկում էին ռիսկերի կառավարման VaR-ը, և դա ռիսկի միակ ընդհանուր չափանիշն էր, որը կարող էր թե՛ սահմանվել բոլոր բիզնեսների համար, և թե՛ համախմբվել առանց կոշտ ենթադրությունների, այն բնական ընտրություն դարձավ ամբողջ ընկերության ռիսկը զեկուցելու համար։ J. P. Morgan-ի գործադիր տնօրեն Դենիս Ուեդերսթոունը հայտնի դարձավ նրանով, որ պահանջեց «ժամը 4:15-ի հաշվետվություն», որը մեկ էջում կմիավորեր ընկերության ամբողջ ռիսկը՝ շուկայի փակվելուց հետո 15 րոպեի ընթացքում։

Այս նպատակով մշակվեց ռիսկի չափման VaR-ը։ Մշակումն ամենածավալունն էր J. P. Morgan-ում, որը հրապարակեց մեթոդաբանությունը և 1994 թվականին անվճար հասանելիություն տվեց անհրաժեշտ հիմնարար պարամետրերի գնահատականներին։ Սա առաջին անգամն էր, որ VaR-ը բացահայտվեց քվանտների համեմատաբար փոքր խմբից դուրս։ Եկու տարի անց մեթոդաբանությունը վերածվեց անկախ առևտրային բիզնեսի, որն այժմ RiskMetrics Group-ի մաս է կազմում (այժմ՝ MSCI-ի մաս)։

1997 թվականին ԱՄՆ արժեթղթերի և բորսաների հանձնաժողովը (SEC) սահմանեց, որ հանրային ընկերությունները պետք է բացահայտեն քանակական տեղեկատվություն իրենց ածանցյալ գործիքներով գործունեության մասին։ Խոշոր բանկերը և դիլերները որոշեցին կիրառել այս կանոնը՝ ներառելով VaR տեղեկատվությունը իրենց ֆինանսական հաշվետվությունների ծանոթագրություններում։

Բազել II համաձայնագրի համաշխարհային ընդունումը, որն սկսվեց 1999 թվականին և մոտենում է ավարտին այսօր, լրացուցիչ խթան հաղորդեց VaR-ի օգտագործմանը։ VaR-ը շուկայական ռիսկի նախընտրելի չափանիշն է, և VaR-անման հասկացություններ օգտագործվում են համաձայնագրի այլ մասերում նույնպես։

Քննադատություն

VaR-ը վիճահարույց է եղել այն պահից ի վեր, երբ 1994 թվականին առևտրային ստորաբաժանումներից անցավ հանրային դաշտ։ 1997 թվականի հայտնի բանավեճը Նասիմ Նիկոլաս Թալեբի և Ֆիլիպ Ժորիոնի միջև վեր հանեց հիմնական վիճելի կետերը։ Թալեբը պնդում էր, որ VaR-ը․

1. Արհամարհում էր 2500 տարվա փորձը հօգուտ չփորձարկված մոդելների, որոնք կառուցվել են ոչ թրեյդերների կողմից
2. Շառլատանություն էր, քանի որ հավակնում էր գնահատել հազվագյուտ իրադարձությունների ռիսկերը, ինչն անհնար է
3. Կեղծ վստահություն էր ներշնչում
4. Կշահագործվեր թրեյդերների կողմից

2008 թվականին Դեյվիդ Էյնհորնը և Աարոն Բրաունը բանավիճեցին VaR-ի շուրջ Global Association of Risk Professionals Review-ում։ Էյնհորնը VaR-ը համեմատեց «անվտանգության բարձիկի հետ, որն աշխատում է միշտ, բացի այն դեպքերից, երբ մեքենայի վթարի ես ենթարկվում»։ Նա հետագայում մեղադրեց, որ VaR-ը․

1. Հանգեցրել է ֆինանսական հաստատություններում չափազանց մեծ ռիսկերի դիմելուն և լևերիջի մեծացմանը
2. Կենտրոնացել է բաշխման կենտրոնին մոտ գտնվող կառավարելի ռիսկերի վրա և արհամարհել պոչերը
3. Խթան է ստեղծել «չափազանց մեծ, բայց քիչ հավանական ռիսկեր» վերցնելու համար
4. «Պոտենցիալ աղետալի էր, երբ դրա օգտագործումը անվտանգության կեղծ զգացողություն էր ստեղծում ավագ ղեկավարների և վերահսկողների շրջանում»։

New York Times-ի լրագրող Ջո Նոսերան 2009 թվականի հունվարի 4-ին գրեց ծավալուն հոդված՝ «Risk Mismanagement» վերնագրով, որտեղ քննարկում էր VaR-ի դերը 2008 թվականի ֆինանսական ճգնաժամում։ Ռիսկերի մենեջերների հետ հարցազրույցներից հետո (ներառյալ վերը նշվածներից մի քանիսը) հոդվածում նշվում է, որ VaR-ը շատ օգտակար էր ռիսկերի փորձագետների համար, սակայն, այնուամենայնիվ, խորացրեց ճգնաժամը՝ բանկերի ղեկավարներին և կարգավորողներին կեղծ անվտանգություն ներշնչելով։ Լինելով հզոր գործիք պրոֆեսիոնալ ռիսկ-մենեջերների համար՝ VaR-ը ներկայացվում է որպես հեշտությամբ սխալ ընկալվող և վտանգավոր, երբ սխալ է հասկացվում։

Թալեբը 2009 թվականին Կոնգրեսում ցուցմունք տվեց՝ խնդրելով արգելել VaR-ի օգտագործումը մի շարք պատճառներով։ Պատճառներից մեկն այն էր, որ պոչային ռիսկերը (tail risks) չափելի չեն։ Մեկ այլ պատճառ էր այն, որ խարսխման (anchoring) պատճառով VaR-ը հանգեցնում է ավելի բարձր ռիսկերի դիմելուն։

VaR-ը օժտված չէ սուբադիտիվության հատկությամբ․ համակցված պորտֆելի VaR-ը կարող է ավելի մեծ լինել, քան դրա բաղադրիչների VaR-երի գումարը։

Օրինակ՝ Միացյալ Նահանգներում բանկի միջին մասնաճյուղը թալանվում է մոտ տասը տարին մեկ անգամ։ Մեկ մասնաճյուղ ունեցող բանկը կոնկրետ օրը թալանվելու մոտ 0,0004% հավանականություն ունի, ուստի կողոպուտի ռիսկը չի ներառվի մեկօրյա 1% VaR-ի մեջ։ Այն նույնիսկ մեկ կարգով մոտ չի լինի դրան, ուստի այն գտնվում է այն տիրույթում, որտեղ կազմակերպությունը չպետք է անհանգստանա դրա համար. այն պետք է ապահովագրվի դրանից և խորհուրդներ վերցնի ապահովագրողներից նախազգուշական միջոցների վերաբերյալ։ Ապահովագրության ամբողջ նպատակը ռիսկերի համախմբումն է, որոնք դուրս են անհատական VaR-ի սահմաններից, և դրանք բավականաչափ մեծ պորտֆելի մեջ ներառելը՝ վիճակագրական կանխատեսելիություն ստանալու համար։ Մեկ մասնաճյուղ ունեցող բանկի համար ձեռնտու չէ հաստիքում անվտանգության փորձագետ ունենալը։

Քանի որ կազմակերպությունները ձեռք են բերում ավելի շատ մասնաճյուղեր, կոնկրետ օրը կողոպուտի ռիսկը բարձրանում է մինչև VaR-ին մոտ մի կարգի։ Այդ պահին կազմակերպության համար իմաստ ունի անցկացնել ներքին սթրես-թեստեր և ինքնուրույն վերլուծել ռիսկը։ Այն ավելի քիչ կծախսի ապահովագրության և ավելի շատ՝ ներքին փորձագիտության վրա։ Շատ խոշոր բանկային հաստատության համար կողոպուտները սովորական ամենօրյա երևույթ են։ Կորուստները ներառվում են ամենօրյա VaR-ի հաշվարկի մեջ և հետևվում են վիճակագրորեն, այլ ոչ թե դեպք առ դեպք։ Ներքին անվտանգության մեծ բաժինը զբաղվում է կանխարգելմամբ և վերահսկմամբ, իսկ ընդհանուր ռիսկերի մենեջերը պարզապես հետևում է կորստին, ինչպես բիզնեսի ցանկացած այլ ծախսի։ Քանի որ պորտֆելները կամ կազմակերպությունները մեծանում են, կոնկրետ ռիսկերը ցածր հավանականությամբ/ցածր կանխատեսելիությամբ/բարձր ազդեցությամբ իրադարձություններից վերածվում են վիճակագրորեն կանխատեսելի, ցածր անհատական ազդեցությամբ կորուստների։ Դա նշանակում է, որ դրանք VaR-ից շատ հեռու գտնվող տիրույթից (որոնք ենթակա են ապահովագրման) տեղափոխվում են VaR-ին մոտ տիրույթ (որոնք վերլուծվում են դեպք առ դեպք), ապա՝ VaR-ի ներսում գտնվող տիրույթ (որոնք ենթարկվում են վիճակագրական մշակման)։

VaR-ը ռիսկի ստատիկ չափանիշ է։ Ըստ սահմանման, VaR-ը հիմքում ընկած պատահական փոփոխականի հավանականային բաշխման որոշակի բնութագիր է (մասնավորապես, VaR-ը ըստ էության քվանտիլ է)։ Ռիսկի դինամիկ չափման համար տես Նովակի աշխատությունը, գլուխ 10։

Գոյություն ունեն VaR-ի չարաշահման տարածված ձևեր․

1. Ենթադրելը, թե հնարավոր կորուստները պակաս կլինեն, քան VaR-ի որոշակի պատիկը (հաճախ երեք պատիկը)։ Կորուստները կարող են չափազանց մեծ լինել։
2. Այնպիսի VaR-ի ներկայացումը, որը չի անցել հետադարձ թեստավորում։ Անկախ նրանից, թե ինչպես է հաշվարկվում VaR-ը, այն անցյալում պետք է տված լիներ խախտումների ճիշտ քանակ (վիճակագրական սխալի սահմաններում)։ Առողջ դատողության տարածված խախտում է VaR-ի գնահատումը՝ հիմնվելով չստուգված այն ենթադրության վրա, որ ամեն ինչ հետևում է բազմաչափ նորմալ բաշխմանը։

VaR, CVaR, RVaR և EVaR

VaR-ը ռիսկի կոհերենտ չափանիշ չէ, քանի որ այն խախտում է սուբադիտիվության հատկությունը

Այնուամենայնիվ, այն կարող է սահմանափակվել ռիսկի կոհերենտ չափանիշներով, ինչպիսիք են Պայմանական Value-at-Risk-ը (CVaR) կամ էնտրոպիկ value at risk-ը (EVaR)։ CVaR-ը սահմանվում է որպես VaR արժեքների միջինը 0-ի և α-ի միջև ընկած վստահության մակարդակների համար։

Սակայն VaR-ը, ի տարբերություն CVaR-ի, օժտված է ռոբաստ վիճակագրություն լինելու հատկությամբ։ Ռիսկի չափանիշների հարակից դաս է «Range Value at Risk»-ը (RVaR), որը CVaR-ի ռոբաստ տարբերակն է։

$X\in \mathbf {L} _{M^{+}}$-ի համար (որտեղ $\mathbf {L} _{M^{+}}$-ը բոլոր այն Բորելյան չափելի ֆունկցիաների բազմությունն է, որոնց մոմենտների գեներացնող ֆունկցիան գոյություն ունի բոլոր դրական իրական արժեքների համար) մենք ունենք՝

${\text{VaR}}_{1-\alpha }(X)\leq {\text{RVaR}}_{\alpha ,\beta }(X)\leq {\text{CVaR}}_{1-\alpha }(X)\leq {\text{EVaR}}_{1-\alpha }(X),$

որտեղ՝

${\begin{aligned}&{\text{VaR}}_{1-\alpha }(X):=\inf _{t\in \mathbf {R} }\{t:{\text{Pr}}(X\leq t)\geq 1-\alpha \},\\&{\text{CVaR}}_{1-\alpha }(X):={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{\alpha }{\text{VaR}}_{1-\gamma }(X)d\gamma ,\\&{\text{RVaR}}_{\alpha ,\beta }(X):={\frac {1}{\beta -\alpha }}\int _{\alpha }^{\beta }{\text{VaR}}_{1-\gamma }(X)d\gamma ,\\&{\text{EVaR}}_{1-\alpha }(X):=\inf _{z>0}\{z^{-1}\ln(M_{X}(z)/\alpha )\},\end{aligned}}$

որտեղ $M_{X}(z)$-ը X-ի մոմենտների գեներացնող ֆունկցիան է z կետում։ Վերոնշյալ հավասարումներում X փոփոխականը նշանակում է ֆինանսական կորուստը, այլ ոչ թե հարստությունը, ինչպես սովորաբար ընդունված է։

Արտաքին հղումներ

• "Value At Risk", Ben Sopranzetti, Ph.D., CPA
• "Perfect Storms" – Beautiful & True Lies In Risk Management Արխիվացված 2009-03-25 Wayback Machine, Satyajit Das
• "Gloria Mundi" – All About Value at Risk, Barry Schachter
• Risk Mismanagement, Joe Nocera NY Times article.
• "VaR Doesn't Have To Be Hard", Rich Tanenbaum
• "Coherent measures of Risk", Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber, and David Heath

Tools

• "The Pricing and Trading of Interest Rate Derivatives", J H M Darbyshire, MSc.
• Online real-time VaR calculator, Razvan Pascalau, University of Alabama
• Value-at-Risk (VaR), Simon Benninga and Zvi Wiener. (Mathematica in Education and Research Vol. 7 No. 4 1998.)
• Derivatives Strategy Magazine. "Inside D. E. Shaw" Trading and Risk Management 1998
• Simulate Historical Value at Risk Online Calculator