Ռիմանի ինտեգրալ

Ռիմանի ինտեգրալ, մաթեմատիկական անալիզի ամենակարևոր հասկացություններից մեկը։ Այն ներմուծվել է 1854 թվականին Բեռնարդ Ռիմանի կողմից և իրենից ներկայացնում է ինտեգրալի հասկացության սկզբնական ձևակերպումը։
Երկրաչափական ոչ ֆորմալ նկարագրություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ռիմանի գումարի (ուղղանկյունների գումարային մակերեսը) սահմանը, փոքրագույն բաժանումների դեպքում, տալիս է ենթագրաֆիկի մակերեսը։ Ռիմանը ձևակերպեց ինտեգրալի հասկացությունը, որը մշակվել էր Նյուտոնի և Լայբնիցի կողմից՝ որպես ենթագրաֆիկի (պատկեր, որն ընկած է ֆունկցիայի գրաֆիկի և աբցիսների առանցքի միջև) մակերես։
Ռիմանը ենթագրաֆիկը դիտարկել է որպես մի քանի ուղղահայաց ուղղանկյուններից բաղկացած պատկեր, որոնց հիմքերը միասին կազմում են ամբողջ ինտեգրվող միջակայքը և այն բաժանվում է համապատասխան քանակի փոքր հատվածների։
Տրված պատկերի S մակերեսը տրված երկարությամբ հատվածների բաժանելիս հավասար կլինի հետևյալ ինտեգրալային գումարին.
Եթե գոյություն ունի սահման, որին ձգտում է S(ինտեգրալային գումար) մակերեսը յուրաքանչյուր բաժանման համար, որն իրականացվել է՝ մեծագույն -ը ձգտեցնելով զրոյի, ապա այդ սահմանը կոչվում է Ռիմանի ֆունկցիայի ինտեգրալ միջակայքում։
Ինտեգրալային գումարի միջոցով
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Թող, որ միջակայքում որոշված լինի իրական ֆունկցիան։
Դիտարկենք միջակայքի բաժանումը (մասնատում)՝ , որն իրենից ներկայացնում է միջակայքի բաժանված տարբեր հատվածների բազմությունը։
Այս մասնատումը միջակայքը բաժանում է n հատ միջակայքերի։ Ամենամեծ միջակայքի երկարությունը՝ -ը կոչվում է բաժանման քայլ, որտեղ -ը տարրական միջակայքի երկարությունն է։
Յուրաքանչյուր բաժանված միջակայքում նշենք մեկական կետ՝ : Ինտեգրալային գումար համարվում է հետևյալ արտահայտությունը :
Եթե անկախ -ի ընտրությունից, երբ բաժանման քայլը ձգտում է զրոյի, ինտեգրալային գումարը ձգտում է միևնույն թվի, ապա այդ թիվը կոչվում է ֆունկցիայի ինտեգրալ միջակայքում, այսինքն՝ :
Այս դեպքում, ֆունկցիան կոչվում է ինտեգրվող (ըստ Ռիմանի) միջակայքում, իսկ հակառակ դեպքում՝ չինտեգրվող (ըստ Ռիմանի) միջակայքում։
Հատկություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Ոչ այլասերված լինելը. :
- Դրական լինելը. եթե ինտեգրալային ֆունկցիան ոչ բացասական է, ապա նրա ինտեգրալը միջակայքում նույնպես ոչ բացասական է։
- Գծայնություն. եթե և ֆունկցիաներն ինտեգրելի են, և , ապա ֆունկցիան նույնպես ինտեգրելի է և :
- Անընդհատություն. եթե ինտեգրվող ֆունկցիան համաչափ համընկնում է ֆունկցիայի հետ միջակայքում, ապա -ը ինտեգրվող է, և : (Վերջին բանաձևը կարելի է ստանալ 1-ից 3 հատկությունների և սահմանային ֆունկցիայի ինտեգրման կիրառման միջոցով:)
- Միջակայքերի բաժանման ադդետիվություն (Մասերի գումարը հավասար է ամբողջին:). ընդունենք որ : ֆունկցիան ինտեգրվող է միջակայքում միայն ու միայն այն դեպքում, երբ այն ինտեգրվող է և միջակայքերից յուրաքանչյուրում, և այդ դեպքում :
- Ըստ Ռիմանի՝ ինտեգրվող ֆունկցիայի անընդհատությունը միջակայքերում (1-5 հատկությունների հետևանքը)։ Խզվող ֆունկցիաները կարող են լինել կամ չլինել ինտեգրվող։ Ըստ Ռիմանի չինտեգրվող ֆունկցիայի օրինակ է անընդհատ խզվող Դիրիխլեյի ֆունկցիան։ Ըստ Ռիմանի ինտեգրվող ֆունկցիաների Լեբեգի չափանիշները. ֆունկցիան ինտեգրվող է, ըստ Ռիմանի՝ միջակայքում միմիայն այն դեպքում, երբ այն սահմանափակ է տվյալ միջակայքում և խզման բազմաթիվ կետերում ունի զրոյական չափ (այսինքն՝ ծածկված լինեն անվերջ փոքր երկարությամբ հաշվելի ինտերվալներով)։
- Եթե ֆունկցիան հանդիսանում է ֆունկցիայի նախնականը, ապա ֆունկցիայի ինտեգրալը միջակայքում կարելի է հաշվել Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձևով, և այն հավասար է : (Այն ոչ միայն ըստ Ռիմանի ինտեգրալի, այլ ցանկացած ինտեգրալի ընդհանուր հատկանիշն է, որը բավարարում է 1ի-ց 5 հատկություններին)։ Միջակայքում անընդհատ ֆունկցիան միշտ ունի նախնական, և յուրաքանչյուր նախնական ունի հետևյալ տեսքը՝ , որտեղ -ն ինտեգրման հաստատունն է։
Ռիմանի ինտեգրալի գոյության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Որպեսզի ֆունկցիան լինի ինտեգրվող միջակայքում, անհրաժեշտ է և բավարար, որպեսզի գումարը ձգտի զրոյի բաժանման երկարության հետ։ Այստեղ -ն ֆունկցիայի տատանումն է հատվածում, ֆունկցիայի տատանումը բազմության վրա հավասար է հետևյալ տարբերությանը՝ , բաժանման երկարությունը՝ [1]:
Պատմություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ինտեգրալի նման սահմանում տվել է Կոշը[2], բայց այն կիրառվում էր միայն անընդհատ ֆունկցիաների համար։
Ռիմանը 1854 թվականին (հրատարակվել է 1868 թվականին[3] , իսկ ռուսերենով՝ առաջին անգամ 1914 թվականին)[4][5] տվեց այդ սահմանումը առանց անընդհատության հաշվի առնելու։
Տես նաև
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ծանոթագրություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- ↑ Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука. — С. 17
- ↑ Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
- ↑ Riemann В. Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. — 1868. — Vol. 13. — P. 87-132.
- ↑ Риманн Б. О возможности выражения функции при помощи тригонометрического ряда // Разложение функций в тригонометрические ряды / Лежен-Дирикле, Риманн, Липщиц; Пер. Г.А. Грузинцева и С.Н. Бернштейна. — Харьков: Харьковское математическое общество, 1914. — (Харьковская математическая библиотека. Серия В; № 2).
- ↑ Архипов Г.И., Садовничий В.А., евич Лекции по математическому анализу / Под ред. В. А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 186. — ISBN 5-06-003955-2
Գրականություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.
Արտաքին հղումներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
- Строгое определение интеграла Римана.
![]() | Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Ռիմանի ինտեգրալ» հոդվածին։ |
|