Պուասոնի ինտեգրալ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Պուասոնի ինտեգրալ, մաթեմատիկական ինտեգրալ հավասարում: Բանաձևային տեսքը`

 :

Պուասոնի ինտեգրալի իմաստն այն է, որ ինտեգրման միջակայքը անվերջ թվային առանցքն է: Արգումենտի մեծ արժեքների դեպքում էքսպոնենտի արագ ձգումը զրոյի ապահովում է ինտեգրալի վերջավոր լինելը, չնայած ինտեգրման միջակայքի անվերջությանը:

Այն հավասար է :

Ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

(1)

(1) հավասարումները ճիշտ են քանի որ որոշյալ ինտեգրալը կախված չէ ինտեգրման փոփոխականից:

Բազմապատկելով այս երկու ինտեգրալները, կստացվի՝

(2)

Դիտարկելով x-ն ու y-ն որպես կոորդինատական առանցքներ, կրկնակի ինտեգրալը կունենա անվերջ հարթությամբ ինտեգրման իմաստ և կարելի է հաշվել հարթության վրա այն կոորդինատային համակարգում, որը հարմար է տվյալ դեպքում: Քանի որ էքսպոնենտի ցուցիչում գրված է բևեռային շառավղի արտահայտությունը բևեռային կոորդինատային համակարգում:

Գաուսյան ինտեգրալի հաշվման հեղինակ Սիմեոն Պուասոնը:

Անցնելով բևեռային համակարգի, (2) արտահայատությունը կգրվի հետևյալ կերպ՝

(3)

Այստեղ առաջին հերթին փոխարինվել է կոորդինատային համակարգի արտահայտությունը բևեռային համակարգի -ով, երկրորդ՝ դեկարտյան կորդինատային համակարգի մակերեսի միավորը՝ բևեռային -ով, երրորդը՝ փոխվել են ինտեգրման սահմանները՝ համաձայն նոր փոփոխականների:

Այստեղ ենթաինտեգրալային արտահայտությունը վերածվում է երկու արտահայտությունների արտադրյալի, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է միայն մեկ փոփոխականից՝

(4)

Այս անորոշ ինտեգրալները կարելի է հեշտորեն հաշվել: Հարկ է ուշադրություն դարձնել, որ (4)-ի առաջին ինտեգրալը արտահայտության առկայությամբ տարբերվում է (1) ինտեգրալից, որտեղ դիֆերենցիալի և էքսպոնենտի տակ գտնվող արտահայտությունները չեն համընկնում:

(4)-ը կգրվի որպես՝

Ստացվում է Պուասոնի ինտեգրալի հետևյալ արտահայտությունը՝

:

Ընդհանրացում և վարիացիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պուասոնի ինտեգրալի հիմք և ընդհանրացում է համարվում Գաուսյան ինտերգրալը (նաև անվանում են Էյլեր-Պուասոնի ինտերգալ), որը գաուսյան ֆունկցիայի ինտեգրա է:

Վարիացիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մաստշտաբավորված գաուսյան ֆունկցիայի գաուսյան ինտերգրալները՝

,

և բազմաչափ գաուսյան ինտեգրալները՝

,

պազրորեն բերվում են սովորական միաչափ ինտեգրալների (ինտեգրումը կատարվում է ողջ տարածությունով):

Վերոնշյալը վերաբերվում է նաև հետևյալ տեսքի բազմաչափ ինտեգրալներին՝

, որտեղ x-ը վեկտոր է, իսկ M-ը՝ բացասական սեփական թվերով սիմետրիկ մատրից:

Գործնական խնդիրներում (օրինակ` գաուսյան ֆունկցիայի ֆուրյե-ձևափոխության ժամանակ), հաճախ ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լեոնարդ էյլեր

Առաջին անգամ գաուսյան ինտեգրալը հայտաբերել է Էյլերը 1729 թվականին, հետո Պուասոնը գտել է հաշվման պարզ մեթոդ:

Այդ պատճառով այն անվանվում է էյլեր-պուասոնի ինտեգրալ:

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Վ. Ֆ. Մորոզով, «Պուասոնի ինտեգրալը և նրա ածանցյալները», Երևանի համալսարանի հրատարակչություն, Երևան 2002: