Պուասոնի ինտեգրալ
Պուասոնի ինտեգրալ, մաթեմատիկական ինտեգրալ հավասարում։ Բանաձևային տեսքը`
:
Պուասոնի ինտեգրալի իմաստն այն է, որ ինտեգրման միջակայքը անվերջ թվային առանցքն է։ Արգումենտի մեծ արժեքների դեպքում էքսպոնենտի արագ ձգումը զրոյի ապահովում է ինտեգրալի վերջավոր լինելը, չնայած ինտեգրման միջակայքի անվերջությանը։
Այն հավասար է :
Ապացույց[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
(1)
(1) հավասարումները ճիշտ են քանի որ որոշյալ ինտեգրալը կախված չէ ինտեգրման փոփոխականից։
Բազմապատկելով այս երկու ինտեգրալները, կստացվի՝
(2)
Դիտարկելով x-ն ու y-ն որպես կոորդինատական առանցքներ, կրկնակի ինտեգրալը կունենա անվերջ հարթությամբ ինտեգրման իմաստ և կարելի է հաշվել հարթության վրա այն կոորդինատային համակարգում, որը հարմար է տվյալ դեպքում։ Քանի որ էքսպոնենտի ցուցիչում գրված է բևեռային շառավղի արտահայտությունը բևեռային կոորդինատային համակարգում։
Անցնելով բևեռային համակարգի, (2) արտահայատությունը կգրվի հետևյալ կերպ՝
(3)
Այստեղ առաջին հերթին փոխարինվել է կոորդինատային համակարգի արտահայտությունը բևեռային համակարգի -ով, երկրորդ՝ դեկարտյան կորդինատային համակարգի մակերեսի միավորը՝ բևեռային -ով, երրորդը՝ փոխվել են ինտեգրման սահմանները՝ համաձայն նոր փոփոխականների։
Այստեղ ենթաինտեգրալային արտահայտությունը վերածվում է երկու արտահայտությունների արտադրյալի, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է միայն մեկ փոփոխականից՝
(4)
Այս անորոշ ինտեգրալները կարելի է հեշտորեն հաշվել։ Հարկ է ուշադրություն դարձնել, որ (4)-ի առաջին ինտեգրալը արտահայտության առկայությամբ տարբերվում է (1) ինտեգրալից, որտեղ դիֆերենցիալի և էքսպոնենտի տակ գտնվող արտահայտությունները չեն համընկնում։
(4)-ը կգրվի որպես՝
Ստացվում է Պուասոնի ինտեգրալի հետևյալ արտահայտությունը՝
:
Ընդհանրացում և վարիացիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Պուասոնի ինտեգրալի հիմք և ընդհանրացում է համարվում Գաուսյան ինտերգրալը (նաև անվանում են Էյլեր-Պուասոնի ինտերգալ), որը գաուսյան ֆունկցիայի ինտեգրա է։
Վարիացիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Մաստշտաբավորված գաուսյան ֆունկցիայի գաուսյան ինտերգրալները՝
- ,
և բազմաչափ գաուսյան ինտեգրալները՝
- ,
պազրորեն բերվում են սովորական միաչափ ինտեգրալների (ինտեգրումը կատարվում է ողջ տարածությունով)։
Վերոնշյալը վերաբերվում է նաև հետևյալ տեսքի բազմաչափ ինտեգրալներին՝
Գործնական խնդիրներում (օրինակ` գաուսյան ֆունկցիայի ֆուրյե-ձևափոխության ժամանակ), հաճախ ստացվում է հետևյալ արտահայտությունը՝
Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Առաջին անգամ գաուսյան ինտեգրալը հայտաբերել է Էյլերը 1729 թվականին, հետո Պուասոնը գտել է հաշվման պարզ մեթոդ։
Այդ պատճառով այն անվանվում է էյլեր-պուասոնի ինտեգրալ։
Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Վ. Ֆ. Մորոզով, «Պուասոնի ինտեգրալը և նրա ածանցյալները», Երևանի համալսարանի հրատարակչություն, Երևան 2002։