Ուղեծրի վիճակի վեկտորներ

Ուղեծրի դիրքի վեկտոր, ուղեծրի արագության վեկտոր, այլ ուղեծրի տարրեր

Ուղեծրի վիճակի վեկտորները (երբեմն վիճակի վեկտորներ), աստղադինամիկայում ուղեծրի դեկարտյան վեկտորներ են` դիրքի ($\mathbf {r}$) և արագության ($\mathbf {v}$) որոնք իրենց ժամանակի (էպոխա) ($t$) հետ միասին միանշանակ որոշում են ուղեծրային մարմնի հետագիծը տարածության մեջ:

Ուղեծրի վիճակի վեկտորները նկարագրվում են բազմաթիվ ձևերով, այդ թվում՝ ավանդական դիրք-արագություն վեկտորների, Երկտող տարրերի խումբ կամ վեկտորային կովարիացիոն մատրիցի տեսքով:

Հաշվարկման համակարգ

Վիճակի վեկտորները սահմանվում են որոշակի հաշվարկման համակարգի նկատմամբ, սովորաբար, բայց ոչ միշտ իներցիալ հաշվարկման համակարգ: Երկրի մոտ շարժվող մարմինների վիճակի վեկտորների համար առավել տարածված հղման համակարգերից մեկը Երկրակենտրոն իներցիալ համակարգն է, որը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

• Համակարգի կենտրոնը Երկրի ծանրության կենտրոնն է:
• Z առանցքը համընկնում է Երկրի պտտման առանցքի հետ, դրական հյուսիսային ուղղությամբ:
• X/Y հարթությունը համընկնում է Երկրի հասարակածային հարթության հետ, որտեղ +X առանցքը ուղղված է դեպի գարնանային գիշերահավասարը, իսկ Y առանցքը լրացնում է աջակողմյան բազմությունը։

Երկրակենտրոն իներցիալ համակարգը իրականում իներցիոն չէ՝ Երկրի առանցքի դանդաղ, 26000 տարվա պրեցեսիայի պատճառով, ուստի Երկրի կողմնորոշմամբ սահմանված հենակետային համակարգերը օգտագործելով ստանդարտ աստղագիտական ​​էպոխան նույնպես լայնորեն օգտագործվում են, օրինակ՝ B1950-ը կամ J2000-ը:

Այլ հաշվարկային համակարգեր նույնպես կարող են օգտագործվել տարբեր կիրառական պահանջներ բավարարելու համար, այդ թվում՝ Արեգակի կամ այլ մոլորակների կամ արբանյակների վրա կենտրոնացածները, որը սահմանվում է բարիկենտրոնով և Արեգակնային համակարգի լրիվ անկյունային մոմենտով, կամ նույնիսկ տիեզերանավի սեփական ուղեծրային հարթությամբ և անկյունային մոմենտով։

Դիրքի և արագության վեկտորներ

դիրքի վեկտորը $\mathbf {r}$ նկարագրում է մարմնի դիրքը ընտրված հաշվարկման համակարգում, մինչդեռ արագության վեկտորը $\mathbf {v}$ նկարագրում է նրա արագությունը նույն համակարգում նույն ժամանակում։ Միասին, այս երկու վեկտորները և այն ժամանակը, երբ դրանք վավեր են, միանշանակ նկարագրում են մարմնի հետագիծը։ Հիմնամնավորումն այն է, որ Նյուտոնի ձգողականության օրենքը տալիս է արագացում ${\ddot {\mathbf {r} }}=-GM/r^{2}$; և եթե ​​հայտնի է գրավիտացիոն հաստատունի և ուղեծրի կենտրոնում գտնվող մարմնի զանգվածի $GM$ արտադրյալը, ապա դիրքը և արագությունը սկզբնական արժեքներն են $\mathbf {r} (t)$-ի այդ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ հավասարման համար, որն ունի եզակի լուծում։

Մարմինը իրականում պարտադիր չէ, որ ուղեծրում լինի, որպեսզի նրա վիճակի վեկտորները որոշեն նրա հետագիծը. այն պարզապես պետք է շարժվի ձգաբանորեն, այսինքն՝ միայն իր սեփական իներցիայի և ձգողականության ազդեցության տակ։ Օրինակ, այն կարող է լինել տիեզերանավ կամ հրթիռ ենթուղեծրային հետագծով։ Եթե այլ ուժեր, ինչպիսիք են դիմադրությունը կամ հրումը, նշանակալի են, դրանք պետք է ինտեգրումը կատարելիս վեկտորականորեն գումարվեն ձգողականության ուժերին՝ ապագա դիրքը և արագությունը որոշելու համար։

Տարածությամբ շարժվող ցանկացած մարմնի համար արագության վեկտորը շոշափում է հետագծին։ Եթե ​​${\hat {\mathbf {u} }}_{t}$-ը միավոր վեկտոր է, որը շոշափում է հետագիծը, ապա

$$\mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {u} }}_{t}$$

Ածանցում

Արագության վեկտորը $\mathbf {v} \,$ կարող է ստացվել դիրքի վեկտորից $\mathbf {r}$ ժամանակի նկատմամբ ածանցման միջոցով՝ $$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$$

Մարմնի վիճակի վեկտորը կարող է օգտագործվել նրա դասական կամ Կեպլերյան ուղեծրի տարրերը հաշվարկելու համար և հակառակը: Յուրաքանչյուր ներկայացման ձև ունի իր առավելությունները: Տարրերը ավելի նկարագրում են ուղեծրի չափը, ձևը և կողմնորոշումը և կարող են օգտագործվել ցանկացած կամայական պահի օբյեկտի վիճակը արագ և հեշտությամբ գնահատելու համար, եթե դրա շարժումը ճշգրիտ մոդելավորված է երկու մարմինների խնդրով։

Մյուս կողմից, վիճակի վեկտորն ավելի անմիջականորեն օգտակար է թվային ինտեգրման մեջ, որը հաշվի է առնում նշանակալի, կամայական, ժամանակի ընթացքում փոփոխվող ուժերը, ինչպիսիք են երրորդ մարմիններից առաջացող դիմադրությունը, հրումը և գրավիտացիոն խախտումները, ինչպես նաև հիմնական մարմնի ձգողականությունը։

Վիճակի վեկտորները ($\mathbf {r}$ և $\mathbf {v}$) կարող են հեշտությամբ օգտագործվել տեսակարար անկյունային մոմենտ վեկտորը հաշվարկելու համար հետևյալ կերպ՝

$\mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v}$։

Քանի որ նույնիսկ ցածր մերձերկրյա ուղեծրում գտնվող արբանյակները զգալի տատանումներ են կրում Երկրի ոչ գնդաձևության, արևային ճառագայթման ճնշման, Լուսնի մակընթացության ուժի և մթնոլորտային դիմադրության պատճառներով, վիճակի վեկտորից ցանկացած պահի հաշվարկված Կեպլերյան տարրերը վավեր են միայն կարճ ժամանակահատվածում և պետք է հաճախ վերահաշվարկվեն՝ օբյեկտի վավեր վիճակը որոշելու համար: Նման տարրերի հավաքածուները հայտնի են որպես օսկուլացնող տարրեր, քանի որ դրանք համընկնում են իրական ուղեծրի հետ միայն այդ պահին: