Ուղեծրի հավասարում

Ուղեծրի հավասարումը աստղադինամիկայում սահմանում է պտտվող մարմնի $m_{2}\,\!$-ի ընթացքը կենտրոնական մարմնի $m_{1}\,\!$-ի շուրջ՝ $m_{1}\,\!$-ի նկատմամբ, առանց դիրքը ժամանակի ֆունկցիայի տեսքով նշելու։ Ստանդարտ ենթադրությունների համաձայն, կենտրոնական մարմնին ուղղված ուժի ազդեցության տակ շարժվող մարմինը, որի մեծությունը հակադարձ համեմատական ​​է հեռավորության քառակուսուն (օրինակ՝ ձգողականության ուժին), ունի ուղեծիր, որը կոնական հատույթ է (այսինքն՝ շրջանաձև ուղեծիր, էլիպտիկ ուղեծիր, պարաբոլիկ հետագիծ, հիպերբոլիկ հետագիծ կամ ռադիալ հետագիծ), որտեղ կենտրոնական մարմինը գտնվում է երկու կիզակետերից մեկում (Կեպլերի առաջին օրենք):

Եթե կոնական հատույթը հատում է կենտրոնական մարմինը, ապա իրական հետագիծը կարող է լինել միայն մակերեսից վերև գտնվող մասը, բայց այդ մասի համար ուղեծրի հավասարումը և շատ հարակից բանաձևեր դեռևս կիրառելի են, քանի դեռ դա ազատ անկում է (անկշռելիության իրավիճակ):

Կենտրոնական, հակադարձ քառակուսիների օրենքի ուժ

Դիտարկենք երկու մարմինների համակարգ, որը բաղկացած է M զանգվածով կենտրոնական մարմնից և շատ ավելի փոքր, $m$ զանգվածով պտտվող մարմնից, և ենթադրենք, որ երկու մարմինները փոխազդում են կենտրոնական, հակադարձ քառակուսիների օրենքի ուժի միջոցով (օրինակ՝ ձգողականություն): Բևեռային կոորդինատներով ուղեծրի հավասարումը կարող է գրվել այսպես՝ $$r={\frac {\ell ^{2}}{m^{2}\mu }}{\frac {1}{1+e\cos \theta }}$$ որտեղ

• $r$-ը երկու մարմինների միջև եղած բաժանման հեռավորությունն է, իսկ
• $\theta$-ը այն անկյունն է, որը $\mathbf {r}$-ը կազմում է պերիկենտրոնի առանցքի հետ (նաև կոչվում է իրական անոմալիա):
• $\ell$ պարամետրը կենտրոնական մարմնի շուրջ պտտվող մարմնի անկյունային մոմենտն է և հավասար է $mr^{2}{\dot {\theta }}$-ին, կամ զանգվածը բազմապատկած երկու մարմինների հարաբերական դիրքի և արագության վեկտորների խաչաձև արտադրյալի մեծությամբ:
• $\mu$ պարամետրը այն հաստատունն է, որի դեպքում $\mu /r^{2}$-ը հավասար է ավելի փոքր մարմնի արագացմանը (գրավիտացիայի համար $\mu$ ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետրն է՝ $-GM$): Տրված ուղեծրի համար, որքան մեծ է $\mu$-ը, այնքան արագ է պտտվող մարմինը շարժվում դրանում. երկու անգամ ավելի արագ, եթե ձգողականությունը չորս անգամ ավելի ուժեղ է։
• $e$ պարամետրը ուղեծրի էքսցենտրիսիտետն է և տրվում է բանաձևով՝

  $e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{m^{3}\mu ^{2}}}}}$

  որտեղ $E$-ն ուղեծրի էներգիան է։

Վերը նշված $r$-ի և $\theta$-ի միջև առնչությունը նկարագրում է կոնական հատույթ: $e$-ի արժեքը որոշում է, թե ինչպիսի կոնական հատույթ ունի ուղեծիրը.

• երբ $e<1$, ուղեծիրը էլիպտիկ է (շրջանագծերը էլիպսներ են՝ $e=0$-ով);
• երբ $e=1$, ուղեծիրը պարաբոլիկ է;
• երբ $e>1$, ուղեծիրը հիպերբոլիկ է:

Հավասարման մեջ r-ի նվազագույն արժեքը հետևյալն է՝ $$r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1+e}}$$ մինչդեռ, եթե e<1</math>, առավելագույն արժեքը հետևյալն է՝ $$r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}$$

Եթե առավելագույնը փոքր է կենտրոնական մարմնի շառավղից, ապա կոնաձև հատույթը էլիպս է, որը ամբողջությամբ գտնվում է կենտրոնական մարմնի ներսում, և դրա ոչ մի մասը հնարավոր հետագիծ չէ։ Եթե առավելագույնը մեծ է, բայց նվազագույնը փոքր է շառավղից, հետագծերի մի մասը հնարավոր է՝

• եթե էներգիան ոչ բացասական է (պարաբոլիկ կամ հիպերբոլիկ հետագիծ). շարժումը կամ կենտրոնական մարմնից հեռու է, կամ դեպի այն։
• եթե էներգիան բացասական է. շարժումը կարող է նախ հեռանալ կենտրոնական մարմնից, մինչև $$r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}$$, որից հետո մարմինը հետ է ընկնում։

Եթե $r$-ը դառնում է այնպիսին, որ ուղեծրային մարմինը մտնում է մթնոլորտ, ապա ստանդարտ ենթադրությունները այլևս կիրառելի չեն, ինչպես օրինակ մթնոլորտ մտնող մարմնի դեպքում։

Ցածր էներգիայի հետագծեր

Եթե կենտրոնական մարմինը Երկիրն է, և էներգիան միայն մի փոքր մեծ է Երկրի մակերևույթի պոտենցիալ էներգիայից, ապա ուղեծիրը էլիպտիկ է՝ մոտ 1-ի էքսցենտրիսիտետով, և էլիպսի մի ծայրը գտնվում է Երկրի կենտրոնից մի փոքր վերև, իսկ մյուս ծայրը՝ մակերևույթից մի փոքր վերև։ Էլիպսի միայն մի փոքր մասն է կիրառելի։

Եթե ​​հորիզոնական արագությունը $v\,\!$ է, ապա պերիկենտրոնի հեռավորությունը ${\frac {v^{2}}{2g}}$ է։ Երկրի մակերևույթի վրա էներգիան համապատասխանում է էլիպսային ուղեծրի էներգիային՝ $a=R/2\,\!$-ով (որտեղ՝ $R\,\!$ Երկրի շառավիղն է), որը իրականում չի կարող գոյություն ունենալ, քանի որ այն էլիպս է՝ ամբողջությամբ մակերևույթից ցածր։ $a$-ի էներգիայի աճը $2g\,\!$ է։ Ուղեծրի մակերևույթից վերև առավելագույն բարձրությունը էլիպսի երկարությունն է՝ հանած $R\,\!$-ը, հանած Երկրի կենտրոնից «ներքև» գտնվող մասը, հետևաբար՝ $a\,\!$-ի աճը՝ հանած պերիկենտրոնի հեռավորությունը, կրկնակի է։

Էլիպսի մակերեսից վերև գտնվող մասը կարելի է մոտավորապես ներկայացնել պարաբոլի մասով, որը ստացվում է այն մոդելում, որտեղ ձգողականությունը ենթադրվում է հաստատուն: Սա պետք է տարբերակել աստղադինամիկայի իմաստով պարաբոլիկ ուղեծրից, որտեղ արագությունը երկրորդ տիեզերական արագությունն է:

Տես նաև

• Կեպլերի առաջին օրենք
• Շրջանաձև ուղեծիր
• Էլիպտիկ ուղեծիր
• Պարաբոլիկ հետագիծ
• Հիպերբոլիկ հետագիծ
• Ցիոլկովսկու հավասարում
• Ուղեծրային արագություն
• Երկրորդ տիեզերական արագություն
• Երկնային մեխանիկա