Շտուրմի-Լիուվիլի խնդիր

Շտուրմի-Լիուվիլի խնդիր, դրվում է այսպես. գտնել

$-y''+q(x)y=\lambda y\qquad (1)$

դիֆերենցիալ հավասարմանը և

$A_{1}y(a)+B_{1}y'(a)=0,\qquad A_{2}y(b)+B_{2}y'(b)=0\qquad (2)$

եզրային պայմաններին բավարարող լուծումները (սեփական ֆունկցիաները), ինչպես նաև $\lambda$ պարամետրի այն արժեքները (սեփական արժեքները), որոնց դեպքում այդպիսի լուծումներ գոյություն ունեն։ Շտուրմի-Լիուվիլի խնդրի հետ կապված հարցերում կենտրոնական տեղ են գրավում սեփական ֆունկցիաների համակարգի լրիվության, ինչպես նաև $[a,b]$ հատվածում անընդհատ ֆունկցիան ըստ այդ համակարգի վերլուծելու հնարավորության հարցերը։ Եթե $q(x)$ ֆունկցիան իրական է և անընդհատ $[a,b]$-ում, իսկ $A_{1},B_{1},A_{2},B_{2}$ թվերը իրական են, ապա սեփական արժեքներն իրական են և կազմում են մոնոտոն աճող և անվերջության ձգտող $\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2},....,\lambda _{n}....$ հաջորդականություն՝ $\lambda _{0}<\lambda _{1}<\lambda _{2}<....,\lambda _{n}....\lim _{n\to \infty }=+\infty$, ընդ որում համապատասխան $y_{0}(x),y_{1}(x),y_{2}(x)....,y_{n}(x)....$ սեփական ֆունկցիաները $[a,b]$-ում լրիվ օրթոգոնալ համակարգ են կազմում, իսկ յուրաքանչյուր $y_{n}(x)$ սեփական ֆունկցիա $(a,b)$-ում ունի $n$ հատ զրո։ Մասնավորաբար, $-y''=\lambda y$ հավասարման և $y'(0)=y'(\pi )=0$ եզրային պայմանների դեպքում՝

$\lambda _{n}=n^{2},\qquad y_{n}(x)=cosnx\qquad (n=1,2,3,....)$:

Շտուրմի-Լիուվիլի խնդիրը դիտարկում են նաև (2)-ից տարբեր այլ եզրային պայմանների դեպքում, ինչպես նաև անվերջ միջակայքում։

Շտուրմի-Լիուվիլի խնդրին է բերվում մաթեմատիկական ֆիզիկայի որոշ խնդիրների լուծումը, երբ նրանց նկատմամբ կիրառվում է Ֆուրիեի մեթոդը (օրինակ՝ ծայրակետերում ամրացված համասեռ լարի տատանման խնդիրը)։

Շտուրմի-Լիուվիլի խնդրի հետազոտումը սկսվել է 1837-ին (ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Ժ․ Լիուվիլ և Շ․ Ֆ․ Շտուրմ) և հետագա զարգացում ստացել Վ․ Ա․ Ստեկլովի, Դ․ Հիլբերտի, Գ․ Վեյլի աշխատանքներում։

Մաթեմատիկական ֆիզիկայի որոշ խնդիրներում կարևոր նշանակություն ունի Շտուրմի–Լիուվիլի հակադարձ խնդիրը։ Պարզագույն դեպքում այն ձևակերպվում է այսպես․ գտնել $(1)$ հավասարման $q(x)$ գործակիցը, եթե հայտնի է սեփական արժեքների {$\lambda _{n}$} հաջորդականությունը՝ սպեկտրը։ Խնդիրը առաջադրել է 1929-ին Վ․ Հ․ Համբարձումյանը և ցույց տվել, որ $y'(0)=y'(\pi )$ եզրային պայմանների դեպքում, եթե $\lambda _{n}=n^{2}(n=0,1,2,....)$, ապա

$q(x)\equiv 0$։

Շվեդ մաթեմատիկոս Գ․ Բորգը ցույց է տվել, որ ընդհանուր դեպքում սպեկտրը միարժեքորեն չի որոշում $q(x)$ գործակիցը․ ուստի $q(x)$-ի միակությունը ապահովելու համար հարկավոր են լրացուցիչ տվյալներ։ Կախված լրացուցիչ տվյալներից՝ առաջ են եկել տարբեր դրվածքներով հակադարձ խնդիրներ։ Այդ խնդիրները լուծել են Մ․ Գ․ Կրեյնը, Ի․ Մ․ Գելֆանդը, Բ․ Մ․ Լևիտանը, Վ․ Ա․ Մարչենկոն։

Գրականություն

• Марченко В. А․, Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения, Киев, 1977․

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 8, էջ 582)։