Շոշափողակոյտ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Մաթեմատիկայում, դիֆերենցեալ բազմաձևութեան շօշափողակոյտն ինքնին դիֆերենցեալ բազմաձևութիւն է, որը բաղկացած է բազմաձևութեան բոլոր շօշափող տարածութիւններից։ \displaystyle M բազմաձևութիւնը որպէս բազմութիւն, պարզապէս հանդիսանում է շօշափող տարածութիւնների կոարտադրեալ (փոխ-անջատ միաւորում)՝

TM=\coprod_{p\in M} T_p M.

Սակայն պէտք է ի նկատի ունենալ, որ տարածութիւնը տոպոլոգիպէս և իր դիֆերենցեալ կառուցուածքով կոարտադրեալ չէ։ Մենք կանդրադառնանք շօշափողակոյտի տոպոլոգիային և դիֆերենցեալ կառուցւածքին յաջորդիւ։ Շօշափողակոյտը գալիս է նաև բնական պրոյեկցիայով առ \displaystyle M

 \pi:TM\twoheadrightarrow M,

որ բաւարարում է հետևեալ հաւասարմանը \displaystyle \pi(v)=x, եթէ v\in T_x M։ Այս պրոյեկցիայի շնորհիւ շօշափողակոյտը ստանում է (դիֆերենցեալ) վեկտորակոյտի կառուցւածք։

Վեկտորական դաշտերը կարող են բնութագրւել, որպէս \displaystyle \pi պրոյեկցիայի հատոյթներ, այսինքն՝ դիֆերենցելի ֆունկցիաներ V:M\rightarrow TM, այնպէս որ \pi\circ V=\mathbf{1}_M, որտեղ 1M նշանակւած է նոյնական արտապատկերումը M-ի վրայ։ Վերջապէս, նշենք, որ շօշափողակոյտի դուալ վեկտորակոյտը կոչւում է, ինչպէս կարելի էր սպասել, կոշօշափողակոյտ։ Այս գաղափարը կիրառւում է բազմաձևութիւնների վրա ինտեգրալներ դիտարկելիս։

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Շօշափողակոյտը սահմանելու նպատակներից մէկն այն է, որ այն լինի վեկտորակոյտ։ Այս պատճառով էլ, շօշափողակոյտի սահմանումն ըստ էութեան հանգում է վեկտորակոյտի (կամ աւելի ընդհանուր՝ ֆիբրակոյտի) կառուցման։ Թող \displaystyle M-ը լինի մեր բազմաձևութիւնը, և թող \displaystyle \{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}_{\alpha\in \mathcal{A}}-ն լինի \displaystyle M-ի դիֆերեցեալ կառուցւածքին համապասխանող մաքսիմալ դիֆերենցելի ատլասը։ Անցման ֆունկցիաները՝ \displaystyle \rho_{\alpha\beta}:U_\alpha\cap U_\beta\rightarrow GL_n(\mathbb{R}), սահմանւում են, որպէս \displaystyle \rho_{\alpha\beta}(p)= D\left(\varphi_\alpha^{-1}\circ\varphi_\beta\right)\big|_p բոլոր p\in U_\alpha\cap U_\beta-երի համար։ Այստեղ, \displaystyle D-ն նշանակում է \mathbb{R}^n-ից՝ \mathbb{R}^n ֆունկցիայի ածանցեալ մատրիցը։ Կարելի է հեշտութեամբ ստուգել, որ այս անցման ֆունկացիաները, մէկ՝ անընդյատ են, երկրորդ՝ բաւարարում են կոցիկլի պայմանին։ Այսպիսով՝ այս անցման ֆունկցիաները սահմանում են տոպոլոգիական բազմաձեւութիւն, և այս պահին մենք չենք էլ կարող աւելին պահանջել, որովհետև ոչ մի երաշխիք չունենք, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են։ Սակայն, կարելի է ասել աւելին․ շօշափողակոյտի դիֆերենցելիութեան կարգը մէկով ցածր է բազմաձևութեան դիֆերենցելիութեան կարգից։ Բայց եթէ բազմաձևութիւնը ողորկ է, ապա դրա շօշափողակոյտը նոյնպէս ողորկ է։ Մենք կսևեռենք մեր ուշադրութիւնը վերջիններիս վրայ, քանի որ դրանք լայն կիրառում ունեն։ Ամեն այսպիսի վեկտորակոյտի կառուցում ստացւում է բնական պրոյեկցիայով։ Պրոյեկցիան՝ դա այն ֆունցիան է, որը բաւարարում է հետևեալ կոմուտատիւ դիագրամին․

DefinitionOfTangentBundleProjection.gif

որտեղ \displaystyle\rho-ն ըստ \displaystyle\rho_{\alpha\beta} անցման ֆունկցիաների քանորդումն է։ Շօշափողակոյտը սահմանելիս մենք օգտւեցինք զուտ մաքսիմալ ատլասից, որպէսզի սահմանման առումով խնդիրներ չլինեն։ Իրականում, ցանկացած ատլասի օգտագործումը կբերի դիֆեոմորֆիկ բազմաձևութեան կառուցման, որը համատեղելի է պրոյեկցիայի հետ։

Կարելի նաև \displaystyle M-ը կանոնաւոր կերպով սուզել \displaystyle TM-ի մէջ։ Հետևեալ դիագրամը ցոյց է տալիս, թէ ինչպէս,

DefinitionOfTangentBundleInclusion.gif

Այստեղ \displaystyle \iota_\alpha:U_\alpha\rightarrow U_\alpha\times \mathbb{R}^n ֆունկցիան  \displaystyle \pi_\alpha-ի հատոյթն է, որ \displaystyle\iota_\alpha(p)=(p,0)։

Որպէս Ֆունկտոր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թող \displaystyle \mathbf{Smooth}-ով նշանակւի ողորկ բազմաձևութիւնների կատեգորիան։ Սա այն կատեգորիան է, որում օբյեկները ողորկ բազմաձևութիւններն են, իսկ մորֆիզմները՝ դրանց միջև անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիաները։ Մենք կարող ենք սահմանել շօշափողացման ֆունկտորը, \displaystyle T:\mathbf{Smooth}\rightarrow \mathbf{Smooth}։ Նշանակումը մեզ յուշում է, որ T-ն ուղղարկում է բազմաձութիւնը իր շօշափողակոյտին։

Իսկ մորֆիզմներն ուր են արտապատկերւո՞ւմ։ Ենթադրենք տրւած է \displaystyle f:M\rightarrow N անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիան։ 
\displaystyle Tf-ն այն ֆունկցիան է, որ արտապատկերում է T_pM\subseteq TM ենթաբազմութիւնը T_{f(p)}N\subseteq TN, ընդ որում՝ \displaystyle Tf|_{T_pM}=f_*|_p, որտեղ \displaystyle f_*|_p-ն՝ \displaystyle p կէտում f-ի ածանցեալն է։ Այս սահմանումով \displaystyle Tf-ը կլինի անվերջ դիֆերենցելի։ Ըստ էութեան՝ \displaystyle Tf-ը հանդիսանում է անծանցեալի գաղափարի ընդլայնում։ Հետաքրքիր է այն, որ T-ի ֆունկտորութիւնը ոչ այլ ինչ է, քան կոմպոզիցիայի կանոնի ընդհանրացում։

Օրինակներ եւ Փաստեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թերևս ամենատարրական օրինակը դա T\mathbb{R}^n-ն է։ Այս շօշափողակոյտը նոյնն է ինչ որ \mathbb{R}^{2n}-ը։ Դա հետևում է այն փաստից, որ \{(\mathbb{R}^n,\mathbf{1})\}-ը ատլաս է (որտեղ 1 նշանակւած է Id նոյնական ֆունկցիան)։ Դժուար չէ նաև նկատել, որ \mathbb{R}^{n}-ի ցանկացած բաց \displaystyle U ենթաբազմաձևութեան համար տեղի ունի \displaystyle TU=U\times \mathbb{R}^n։ Տոպոլոգիական համարժէքութիւնը T\mathbb{R}^n-ի ու \mathbb{R}^{2n}-ի միջև կարելի հետևեցնել այն փաստից, որ \mathbb{R}^nսեղմելի է։

Որոշ դէպքերում հարմար է լինում բազմաձևութիւնը դիտարկել որպէս \mathbb{R}^n-ի ենթաբազմաձևութիւն։ Սա թոյլ է տալիս դիտարկել շօշափողակոյտերը որպէս \mathbb{R}^{2n}-ի ենթաբազմաձևութիւններ։ Ընդհանրապէս՝ եթէ \displaystyle i:M\hookrightarrow N արտապատկերումը սուզում (ողողում) է, ապա սուզում (ողողում) է նաև \displaystyle Ti:TM\rightarrow TN արտապատկերումը։ Դեռ աւելին, եթէ \displaystyle p\displaystyle N-ում կանոնաւոր կէտ է \displaystyle f:M\rightarrow N արտապատկերման նկատմամբ, ապա ցանկացած \displaystyle q\in \pi^{-1}(p) նոյնպէս կանոնաւոր է \displaystyle Tf:TM\rightarrow TN արտապատկերման նկատմամբ։ Օրինակ՝ մենք ունենք հետևալը,

ExactnSphereManifoldSequence.gif

որտեղ \displaystyle i-ն սովորական \displaystyle S^n-ի սուզումն է \mathbb{R}^n-ի մէջ որպէս միաւոր երկարութեան կետերի բազմութիւն, իսկ \displaystyle j-ն՝ նորմ-քառակուսի ֆունկցիան է, այսինքն՝ j(\mathbf{v})=|\mathbf{v}|^2։ Նկատենք, որ \displaystyle 1\displaystyle j-ի կանոնաւոր արժէք է, և \displaystyle i(S^n)=j^{-1}(1)։ Շօշափողեցնելով այս յաջորդականութիւնը, կստանանք՝

TangentificationOfExactnSphereSequenceManifold.gif

Կարելի է տեսնել, որ \displaystyle Tj\circ Ti=T(j\circ i) ֆունկցիան \displaystyle (1,0) հաստատուն ֆունկցիան է, քանի որ \displaystyle j\circ i-ն ֆակտորիզացւում է կէտի միջով։ Այսպիսով՝ \displaystyle Ti(TS^n)\subseteq (Tj)^{-1}(1,0)։ Նկատենք, որ \displaystyle \dim (Ti(TS^n))=2n=\dim ((Tj)^{-1}(1,0)), և որ \displaystyle Ti(TS^n)-ը փակ ենթաբազմաձևութիւն է \displaystyle (Tj)^{-1}(1,0) կապակցուած բազմաձևութեան մէջ։ Ուրեմն՝ \displaystyle Ti(TS^n)= (Tj)^{-1}(1,0)=\{(\mathbf{v},\mathbf{u})\in\mathbb{R}^{n+1}\times \mathbb{R}^{n+1}\big||\mathbf{v}|=1, \mathbf{v}\perp\mathbf{u}\}։ Քանի որ \displaystyle Ti-ն սուզում է, մենք կարող ենք \displaystyle TS^n-ը նոյնացնել \displaystyle \mathbb{R}^{2n}-ի այս ենթաբազմաձևութեան հետ։

Յաջորդ օրինակը \displaystyle TS^1-ն է։ Այս վեկտորակոյտը կրկին տրիւեալ է։ Այդ տեսնելու համար \displaystyle S^1-ը դիտարկել որպէս \mathbb{C}-ի Լի ենթախումբ։ Դիտարկել s: S^1\rightarrow \mathbb{C}^2\approx T\mathbb{C}, որտեղ \displaystyle s(z)=(z,iz)։ Այս ֆունկցիան անվերջ դիֆերենցելի է։ Նկատենք, որ z\perp iz բոլոր z\in S^1-ի համար․ այդ իսկ պատճառով s(S^1)\subseteq TS^1։ Այսպիսով, մենք կարող ենք սահմանափակել \displaystyle s-ը որպէս ֆունցիա \displaystyle S^1-ից՝ \displaystyle TS^1։ Այս ֆունկցիան հանդիսանում է հատոյթ, որ ոչ մի կէտում չի չքանում։ Քանի որ \displaystyle TS^1-ը միաչափ է, ուրեմն՝ այն տրիւիալ վեկտորակոյտ է։ Նմանատիպ ձևով, օգտւելով քւատերնիոններից և օկտոնեոններից, կարելի ցոյց տալ, որ \displaystyle TS^3-ն ու \displaystyle TS^7-ը նոյնպէս տրիւեալ են։

Իրականում՝ \displaystyle TS^n-ը տրիւեալ է միայն ու միայն այն դէպքում, երբ \displaystyle n=1,3,7 (Բոտ, Ադամս, Ատիյա, Միլնոր, Կևայրէ)։ Այս փաստը բաւականին դժուար է ապացուցել։ Սակայն դժուար չէ ստուգել այն զոյգ \displaystyle n-երի համար։ Իրոք՝ վեկտորակոյտի տրիւեալութիւնից մասնաւորապէս բխում է, որ ոչ մի կէտում չչքացող հատոյթ գոյութիւն չունի։ Սակայն, եթէ \displaystyle n-ը զոյգ է, \displaystyle S^n-ի ցանկացած վեկտորական դաշտ չքանում է գոնէ մէկ կէտում։

Ծանօթագրութիւններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3
  • Allen E. Hatcher, Algebraic Topology Cambridge, (2002) University Press, Cambridge. ISBN 0-521-79540-0
  • Allen E. Hatcher, Vector Bundles and K-Theory