Շոշափողակոյտ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Մաթեմատիկայում, դիֆերենցեալ բազմաձևութեան շօշափողակոյտն ինքնին դիֆերենցեալ բազմաձևութիւն է, որը բաղկացած է բազմաձևութեան բոլոր շօշափող տարածութիւններից։ բազմաձևութիւնը որպէս բազմութիւն, պարզապէս հանդիսանում է շօշափող տարածութիւնների կոարտադրեալ (փոխ-անջատ միաւորում)՝

Սակայն պէտք է ի նկատի ունենալ, որ տարածութիւնը տոպոլոգիպէս և իր դիֆերենցեալ կառուցուածքով կոարտադրեալ չէ։ Մենք կանդրադառնանք շօշափողակոյտի տոպոլոգիային և դիֆերենցեալ կառուցւածքին յաջորդիւ։ Շօշափողակոյտը գալիս է նաև բնական պրոյեկցիայով առ

որ բաւարարում է հետևեալ հաւասարմանը , եթէ ։ Այս պրոյեկցիայի շնորհիւ շօշափողակոյտը ստանում է (դիֆերենցեալ) վեկտորակոյտի կառուցւածք։

Վեկտորական դաշտերը կարող են բնութագրւել, որպէս պրոյեկցիայի հատոյթներ, այսինքն՝ դիֆերենցելի ֆունկցիաներ , այնպէս որ , որտեղ 1M նշանակւած է նոյնական արտապատկերումը M-ի վրայ։ Վերջապէս, նշենք, որ շօշափողակոյտի դուալ վեկտորակոյտը կոչւում է, ինչպէս կարելի էր սպասել, կոշօշափողակոյտ։ Այս գաղափարը կիրառւում է բազմաձևութիւնների վրա ինտեգրալներ դիտարկելիս։

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Շօշափողակոյտը սահմանելու նպատակներից մէկն այն է, որ այն լինի վեկտորակոյտ։ Այս պատճառով էլ, շօշափողակոյտի սահմանումն ըստ էութեան հանգում է վեկտորակոյտի (կամ աւելի ընդհանուր՝ ֆիբրակոյտի) կառուցման։ Թող -ը լինի մեր բազմաձևութիւնը, և թող -ն լինի -ի դիֆերեցեալ կառուցւածքին համապասխանող մաքսիմալ դիֆերենցելի ատլասը։ Անցման ֆունկցիաները՝ , սահմանւում են, որպէս բոլոր -երի համար։ Այստեղ, -ն նշանակում է -ից՝ ֆունկցիայի ածանցեալ մատրիցը։ Կարելի է հեշտութեամբ ստուգել, որ այս անցման ֆունկացիաները, մէկ՝ անընդյատ են, երկրորդ՝ բաւարարում են կոցիկլի պայմանին։ Այսպիսով՝ այս անցման ֆունկցիաները սահմանում են տոպոլոգիական բազմաձեւութիւն, և այս պահին մենք չենք էլ կարող աւելին պահանջել, որովհետև ոչ մի երաշխիք չունենք, որ այդ ֆունկցիաները դիֆերենցելի են։ Սակայն, կարելի է ասել աւելին․ շօշափողակոյտի դիֆերենցելիութեան կարգը մէկով ցածր է բազմաձևութեան դիֆերենցելիութեան կարգից։ Բայց եթէ բազմաձևութիւնը ողորկ է, ապա դրա շօշափողակոյտը նոյնպէս ողորկ է։ Մենք կսևեռենք մեր ուշադրութիւնը վերջիններիս վրայ, քանի որ դրանք լայն կիրառում ունեն։ Ամեն այսպիսի վեկտորակոյտի կառուցում ստացւում է բնական պրոյեկցիայով։ Պրոյեկցիան՝ դա այն ֆունցիան է, որը բաւարարում է հետևեալ կոմուտատիւ դիագրամին․

DefinitionOfTangentBundleProjection.gif

որտեղ -ն ըստ անցման ֆունկցիաների քանորդումն է։ Շօշափողակոյտը սահմանելիս մենք օգտւեցինք զուտ մաքսիմալ ատլասից, որպէսզի սահմանման առումով խնդիրներ չլինեն։ Իրականում, ցանկացած ատլասի օգտագործումը կբերի դիֆեոմորֆիկ բազմաձևութեան կառուցման, որը համատեղելի է պրոյեկցիայի հետ։

Կարելի նաև -ը կանոնաւոր կերպով սուզել -ի մէջ։ Հետևեալ դիագրամը ցոյց է տալիս, թէ ինչպէս,

DefinitionOfTangentBundleInclusion.gif

Այստեղ ֆունկցիան -ի հատոյթն է, որ ։

Որպէս Ֆունկտոր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թող -ով նշանակւի ողորկ բազմաձևութիւնների կատեգորիան։ Սա այն կատեգորիան է, որում օբյեկները ողորկ բազմաձևութիւններն են, իսկ մորֆիզմները՝ դրանց միջև անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիաները։ Մենք կարող ենք սահմանել շօշափողացման ֆունկտորը, ։ Նշանակումը մեզ յուշում է, որ -ն ուղղարկում է բազմաձութիւնը իր շօշափողակոյտին։

Իսկ մորֆիզմներն ուր են արտապատկերւո՞ւմ։ Ենթադրենք տրւած է անվերջ դիֆերենցելի ֆունկցիան։ -ն այն ֆունկցիան է, որ արտապատկերում է ենթաբազմութիւնը , ընդ որում՝ , որտեղ -ն՝ կէտում -ի ածանցեալն է։ Այս սահմանումով -ը կլինի անվերջ դիֆերենցելի։ Ըստ էութեան՝ -ը հանդիսանում է անծանցեալի գաղափարի ընդլայնում։ Հետաքրքիր է այն, որ -ի ֆունկտորութիւնը ոչ այլ ինչ է, քան կոմպոզիցիայի կանոնի ընդհանրացում։

Օրինակներ եւ Փաստեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թերևս ամենատարրական օրինակը դա -ն է։ Այս շօշափողակոյտը նոյնն է ինչ որ -ը։ Դա հետևում է այն փաստից, որ -ը ատլաս է (որտեղ 1 նշանակւած է Id նոյնական ֆունկցիան)։ Դժուար չէ նաև նկատել, որ -ի ցանկացած բաց ենթաբազմաձևութեան համար տեղի ունի ։ Տոպոլոգիական համարժէքութիւնը -ի ու -ի միջև կարելի հետևեցնել այն փաստից, որ սեղմելի է։

Որոշ դէպքերում հարմար է լինում բազմաձևութիւնը դիտարկել որպէս -ի ենթաբազմաձևութիւն։ Սա թոյլ է տալիս դիտարկել շօշափողակոյտերը որպէս -ի ենթաբազմաձևութիւններ։ Ընդհանրապէս՝ եթէ արտապատկերումը սուզում (ողողում) է, ապա սուզում (ողողում) է նաև արտապատկերումը։ Դեռ աւելին, եթէ -ում կանոնաւոր կէտ է արտապատկերման նկատմամբ, ապա ցանկացած նոյնպէս կանոնաւոր է արտապատկերման նկատմամբ։ Օրինակ՝ մենք ունենք հետևալը,

ExactnSphereManifoldSequence.gif

որտեղ -ն սովորական -ի սուզումն է -ի մէջ որպէս միաւոր երկարութեան կետերի բազմութիւն, իսկ -ն՝ նորմ-քառակուսի ֆունկցիան է, այսինքն՝ ։ Նկատենք, որ -ի կանոնաւոր արժէք է, և ։ Շօշափողեցնելով այս յաջորդականութիւնը, կստանանք՝

TangentificationOfExactnSphereSequenceManifold.gif

Կարելի է տեսնել, որ ֆունկցիան հաստատուն ֆունկցիան է, քանի որ -ն ֆակտորիզացւում է կէտի միջով։ Այսպիսով՝ ։ Նկատենք, որ , և որ -ը փակ ենթաբազմաձևութիւն է կապակցուած բազմաձևութեան մէջ։ Ուրեմն՝ ։ Քանի որ -ն սուզում է, մենք կարող ենք -ը նոյնացնել -ի այս ենթաբազմաձևութեան հետ։

Յաջորդ օրինակը -ն է։ Այս վեկտորակոյտը կրկին տրիւեալ է։ Այդ տեսնելու համար -ը դիտարկել որպէս -ի Լի ենթախումբ։ Դիտարկել , որտեղ ։ Այս ֆունկցիան անվերջ դիֆերենցելի է։ Նկատենք, որ բոլոր -ի համար․ այդ իսկ պատճառով ։ Այսպիսով, մենք կարող ենք սահմանափակել -ը որպէս ֆունցիա -ից՝ ։ Այս ֆունկցիան հանդիսանում է հատոյթ, որ ոչ մի կէտում չի չքանում։ Քանի որ -ը միաչափ է, ուրեմն՝ այն տրիւիալ վեկտորակոյտ է։ Նմանատիպ ձևով, օգտւելով քւատերնիոններից և օկտոնեոններից, կարելի ցոյց տալ, որ -ն ու -ը նոյնպէս տրիւեալ են։

Իրականում՝ -ը տրիւեալ է միայն ու միայն այն դէպքում, երբ (Բոտ, Ադամս, Ատիյա, Միլնոր, Կևայրէ)։ Այս փաստը բաւականին դժուար է ապացուցել։ Սակայն դժուար չէ ստուգել այն զոյգ -երի համար։ Իրոք՝ վեկտորակոյտի տրիւեալութիւնից մասնաւորապէս բխում է, որ ոչ մի կէտում չչքացող հատոյթ գոյութիւն չունի։ Սակայն, եթէ -ը զոյգ է, -ի ցանկացած վեկտորական դաշտ չքանում է գոնէ մէկ կէտում։

Ծանօթագրութիւններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3
  • Allen E. Hatcher, Algebraic Topology Cambridge, (2002) University Press, Cambridge. ISBN 0-521-79540-0
  • Allen E. Hatcher, Vector Bundles and K-Theory