Նյոթերի թեորեմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Էմմի Նյոթերը գերմանացի հեղինակավոր մաթեմատիկոս էր, հայտնի աբստրակտ հանրահաշվում և տեսական ֆիզիկայում իր ներդրումներով։

Նյոթերի թեորեմը պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ սիմետրիայի համապատասխանում է որոշակի պահպանման օրենք.

Թեորեմը սովորաբար ձևակերպվում է գործողության ֆունկցիոնալ ունեցող մեծությունների համար, և արտահայտում է լագրանժյանի ինվարիանտությունը ձևափոխությունների որոշ անընդհատ խմբի նկատմամբ։

Թեորեմը սահմանել են գյոթինգենյան դպրոցի գիտնականներ Դավիդ Հիլբերտը, Ֆելիքս Կլայնը և Էմմի Նյոթերը։ Ապացուցել է Էմմի Նյոթերը 1915 թվականին, հրատարակել՝ 1918 թվականին[1]։

Ձևակերպում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դասական մեխանիկա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

դիֆեոմորֆիզմների յուրաքանչյուր միապարամետրական խմբի, որի լագրանժյանը պահպանվում է, համապատասխանում է համակարգի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է

։

Ձևակերպենք անվերջ փոքրերի ձևափոխությունների տերմիններով։ Դիցուք կոորդինատների անվերջ փոքր ձևափոխությունը

տեսքն ունի, իսկ Լագրանժնի ֆունկցիան ինվարիանտ է այդ ձևափոխությունների նկատմամբ, այսինքն

, եթե ։

Այդ դեպքում համակարգի համար գոյություն ունի առաջին ինտեգրալ, որը հավասար է

։

Թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել ժամանակն ընդգրկող ձևափոխությունների համար, եթե ժամանակի շարժումը պատկերացնենք որոշ պարամետրից կախված, ընդ որում շարժման պրոցեսում ։ Այդ դեպքում

ձևափոխություններից հետևում է առաջին ինտեգրալը՝

։

Դաշտի տեսություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նյոթերի թեորեմը կարելի է ընդհանրացնել անվերջ մեծ թվով ազատության աստիճաններով համակարգի համար։ Այդպիսի համակարգեր են գրավիտացիոն և էլեկտրամագնիսական դաշտերը։ Դիցուք համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան կախված է պոտենցիալներից, որոնք իրենց հերթին կախված են կոորդինատներից։ Գործողության ֆունկցիոնալը կունենա

տեսքը։ Դիցուք պոտենցիալների տարածության դիֆեոմորֆիզմների խումբը պահպանում է Լագրանժի ֆունկցիան։ Այդ դեպքում պահպանվում է

վեկտորը, որը կոչվում է Նյոթերի հոսքի վեկտոր։ Գումարում է կատարվում ըստ կրկնվող ինդեքսների. ։ Նյոթերի հոսքի վեկտորի պահպանման իմաստն այն է, որ

այդ պատճառով հոսքը կոորդինատների տարածության ցանկացած փակ մակերևույթով 0 է։ Մասնավորապես, եթե կոորդինատներից առանձնացնենք մեկը՝ ժամանակ կոչվածը, և դիտարկենք հաստատուն ժամանակի հիպերհարթությունը, ապա հոսքը այդպիսի հիպերհարթությունով հաստատուն է ժամանակի ընթացքում, պայմանով, որ դաշտը անվերջությունում բավարար արագ է նվազում, իսկ հիպերմակերևույթը կոմպակտ չէ, այնպես որ վեկտորի հոսքը երկու հիպերմակերևույթների միջակա տարածության տիրույթի կողային սահմանով հավասար է 0։ Դաշտի դասական տեսության մեջ այդպիսի հատկություն ունի, օրինակ, էլեկտրամագնիսական դաշտի էներգիա-իմպուլսի թենզորը։ Վակուումում դաշտի լագրանժյանը բացահայտ կախված չէ կոորդինատներից, այդ պատճառով ունենք էներգիայի-իմպուլսի հոսքին զուգորդվող պահպանվող մեծություն։

Դիֆերենցիալ հավասարումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք ունենք գործողության ֆունկցիոնալով վարիացիոն խնդիր։ Այստեղ լագրանժյանն է. -ն՝ անկախ փոփոխականներ, -ն՝ կախյալ փոփոխականներ, այսինքն՝ ֆունկցիաներ -ից։ կարող է կախված լինել նաև -ի ածանցյալներից ըստ -ի, պարտադիր չէ միայն առաջին կարգի։

Վարիացիոն խնդիրը այսպիսի ֆունկցիոնալի համար հանգեցնում է Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումների, որոնք կարելի է գրել

տեսքով, որտեղ -երը Էյլեր-Լագրանժի օպերատորներն են՝

,

ֆունկցիայի ածանցյալն է ըստ փոփոխականի։ Բազմակետը նշանակում է, որ եթե -ը կախված է առաջինից բարձի կարգի ածանցյալներից, ապա -ին պետք է ավելացնել համապատասխան գումարելիները։ Ամփոփ գրառմամբ ,

որտեղ — մուլտինդեքսն է։ Գումարումը կատարվում է ըստ բոլոր բաղադրիչների այնպես, որ ածանցյալը մտնում է -ի մեջ։

Նյոթերի թեորեմը կապում է ֆունկցիոնալի այսպես կոչված վարիացիոն սիմետրիաները պահպանման օրենքների հետ, որոնք տեղի են ունենում Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների լուծումներով։

Պահպանման օրենքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Պահպահման օրենքները դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի համար

տեսքի արտահայտություններ են, ինչը ճիշտ է այդ համակարգի հավասարումների համար, այնպես որ եթե դրա մեջ տեղադրենք այդ դիֆերենցիալ հավասարումները, կստանանք նույնություն։ Տվյալ դեպքում դիտարկվում են Էյլեր-Լագրանժի դիֆերենցիալ հավասարումներ։ Այստեղ -ն լրիվ դիվերգենցիա (լրիվ ածանցյալներով դիվերգենցիալ) է ըստ -ի։ -ի, -ի և ըստ -ի ածանցյալների հարթ ֆունկցիաներ են։ Պահպանման տրիվալ օրենքներ են կոչվում այն պահպանման օրենքները,

  • որոնց համար -ն ինքնին նույնություն է՝ առանց որևէ դիֆերենցիալ հավասարում հաշվի առնելու, կամ
  • որոնց համար -ն 0 է դառնում, հենց տեղադրում ենք դիֆերենցիալ հավասարումները՝ առանց դիվերգենցիաները հաշվելու (լուծումներում պահպանվում է նույնական զրոն), կամ
  • որոնց համար -ն նախորդ դեպքերի գծային կոմբինացիան է։

Եթե և ֆունկցիաներով երկու պահպանման օրենքների համար տարբերությունը պահպանման տրիվիալ օրենք է, ապա այդպիսի պահպանման օրենքները կոչվում են համարժեք։

Յուրաքանչյուր պահպանման օրենք համարժեք է բնութագրական ձև ունեցող պահպանման օրենքին, այսինքն այնպիսի օրենքին, որի համար

,

որտեղ -ն արտահայտություններ են, որոնք մտնում են դիֆերենցիալ հավասարումների որոշ համակարգերի մեջ. ։ Նկարագրվող դեպքի համար և

։

կախված են -ից, -ից և ըստ -ի ածանցյալներից և կոչվում են պահպանման օրենքի բնութագրեր։

Վարիացիոն սիմետրիաներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք ունենք ընդհանրացված վեկտորական դաշտ.

։

«Ընդհանրացումն» այն իմաստով է, որ և -ն կարող են կախված լինել ոչ միայն -ից և -ից, այլև -ի ածանցյալներից ըստ -ի։

Սահմանում. -ն կոչվում է ֆունկցիոնալի վարիացիոն սիմետրիա, եթե գոյություն ունի համախումբ այնպես, որ

։

շարունակությունն է։ Շարունակությունը հաշվի է առնում, որ -ի գործողությունը -ի և -ի վրա առաջացնում է նաև ածանցյալների անվերջ փոքր փոփոխություն, և տրվում է

բանաձևերով։ Շարունակության համար բանաձևում պետք է բացի -ից վերցնել այնպիսի -ով բաղադրիչներ, որոնց համար -ն մտնում է -ի մեջ, կամ, ընդհանուր դեպքում, այն արտահայտության մեջ, որի վրա ազդում է շարունակությունը։

Վարիացիոն սիմետրիայի սահմանման իմաստն այն է, որ -ն անվերջ փոքր ձևափոխություն է, որոնք առաջին աստիճանում փոխում են ֆունկցիոնալն այնպես, որ Էյլեր-Լագրանժի հավասարումները ձևափոխվում են համարժեք հավասարումների։ Ճիշտ է հետևյալ թեորեմը.

Եթե -ն վարիացիոն սիմետրիա է, ապա -ն հանդիսանում է Էյլեր-Լագրանժի հավասարումների (ընդհանրացված) սիմետրիա.

։

Այս բանաձևը նշանակում է, որ արտահայտությունների անվերջ փոքր փոփոխությունները, որոնք այստեղ գրված են տեսքով, լուծումներում 0 են դառնում։

Վեկտորական դաշտերի բնութագրեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ֆունկցիաների համախումբը (վերը բերված նշանակումներով) կոչվում է վեկտորական դաշտի բնութագիր։ -ի փոխարեն կարելի է վերցնել

Վեկտորական դաշտ, որը կոչվում է -ի էվոլյուցիոն ներկայացուցիչ։

-ն և -ն ըստ էության նույն սիմետրիան են սահմանում, այդ պատճառով եթե հայտնի են -ի բնութագրերը, կարելի է համարել, որ դրանով սիմետրիան տրված է։ -ի շարունակությունը որոշվում է -ի շարունակության նման, բայց ֆորմալ տեսանկյունից ավելի պարզ է, քանի որ կարիք չկա առանձին հաշվի առնելու - երի ներդրումները։

Նյոթերի թեորեմը կապ է հաստատում պահպանման օրենքների բնութագրերի և վեկտորական դաշտերի բնութագրերի միջև։

Նյոթերի թեորեմ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

ընդհանրացված վեկտորական դաշտը սահմանում է ֆունկցիոնալի սիմետրիաների խումբը միայն և միայն այն դեպքում, եթե նրա բնութագիրը պահպանման օրենքի բնութագիրն է Էյլեր-Լագրանժի համապատասխան հավասարումների համար։

Պահպանման օրենքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դասական մեխանիկայում էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքներն արտածվում են համակարգի լագրանժյանի համասեռություն-իզոտրոպությունից. լագրանժյանը (Լագրանժի ֆունկցիան) ինքնին չի փոփոխվում ժամանակի ընթացքում և չի փոփոխվում տարածության մեջ համակարգի տեղափոխությունից կամ պտույտից։ Ըստ էության դա նշանակում է, որ լաբորատորիայում գտնվող որևէ փակ համակարգի դիտարկելիս, անկախ լաբորատորիայի դիրքից և փորձն անցկացնելու ժամանակից, կստացվեն նույն արդյունքները։ Համակարգի լագրանժյանի մյուս սիմետրիաները, եթե կան այդպիսիք, համապատասխանում են տվյալ համակարգում պահպանվող այլ մեծությունների (շարժման ինտեգրալների), օրինակ, երկու մարմինների գրավիտացիոն և կուլոնյան խնդրի լագրանժյանի սիմետրիան հանգեցնում է որ միայն էներգիայի, իմպուլսի և իմպուլսի մոմենտի պահպանման, այլև՝ Լապլա-Ռունգե-Լենցի վեկտորի պահպանման։

Կիրառություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նյոթերի թեորեմը թույլ է տալիս նշանակալի տեղեկություն ստանալ դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգի լուծումների հատկությունների մասին՝ ելնելով միայն նրանց սիմետրիայից։ Այն նաև սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների ինտեգրման եղանակներից մեկն է, քանի որ թույլ է տալիս որոշ դեպքերում գտնել հավասարումների համակարգի առաջին ինտեգրալը և այդպիսով նվազեցնել անհայտ ֆունկցիաների թիվը։ Օրինակ,

  • Համակարգի իմպուլսի պահպանումը բխում է տարածական տեղաշարժերի նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։ Օրինակ, եթե X առանցքի երկայնքով տեղաշարժը չի փոխում հավասարումների համակարգը, ուրեմն այդ առանցքի երկայնքով իմպուլսը պահպանվում է։
  • Իմպուլսի մոմենտի պահպանումը բխում է տարածության պտույտների նկատմամբ համակարգի ինվարիանտությունից։
  • Էներգիայի պահպանումը ժամանակի համասեռության՝ ժամանակի հաշվարկի սկիզբը կամայական ձևով տեղաշարժելու կարելիության հետևանք է։

Մասնակի ածանցյալներով հավասարումների դեպքում անհրաժեշտ է փնտրել անվերջ թվով առաջին ինտեգրալներ։ Նույնիսկ դրանք իմանալով՝ սովորաբար հեշտ չէ գտնել ընդհանուր լուծում։

Հիմնարար բնույթի շնորհիվ Նյոթերի թեորեմը կիրառվում է ֆիզիկային այնպիսի բնագավառներում, ինչպես քվանտային մեխանիկան է՝ հենց իմպուլսի, իմպուլսի մոմենտի և այլ հասկացությունները սահմանելու համար։ Հավասարումների ինվարիանտությունը որոշ սիմետրիաների նկատմամբ այդ մեծությունների միակ իսկությունն է դառնում և երաշխավորում է նրանց պահպանումը։

Դաշտի քվանտային տեսությունում Նյոթերի թեորեմի համակերպը Ուորդ-Տակահաշիի նույնաությունն է, որը թույլ է տալիս ստանալ հավելյալ պահպանման օրենքներ։ Օրինակ, էլեկտրական լիցքի պահպանման օրենքը բխում է մասնիկի կոմպլեքս ալիքային ֆունկցիայի փուլի փոփոխության նկատմամբ ֆիզիկական համակարգի ինվարիանտությունից և էլեկտրամագնիսական դաշտի վեկտորական ու սկալյար պոտենցիալների համապատասխան տրամաչափավորումից։

Նյոթերի լիցքը կիրառվում է նաև ստացիոնար սև խոռոչի էնտրոպիան հաշվելու համար[2]։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Noether E (1918)։ «Invariante Variationsprobleme»։ Nachr. D. König. Gesellsch. D. Wiss. Zu Göttingen, Math-phys. Klasse 1918: 235–257 
  2. Calculating the entropy of stationary black holes. (անգլ.)

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М, Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
  • Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М, Наука, 280 с., 1983 г.

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]