Ներքին եկամտաբերության մակարդակ

Ներքին եկամտաբերության մակարդակ (ՆԵՄ), ներդրման եկամտաբերության մակարդակը հաշվարկելու մեթոդ։ «Ներքին» տերմինը վերաբերում է այն փաստին, որ հաշվարկը բացառում է արտաքին գործոնները, ինչպիսիք են՝ ռիսկից զերծ տոկոսադրույքը, գնաճը, կապիտալի արժեքը կամ ֆինանսական ռիսկը։

Մեթոդը կարող է կիրառվել ինչպես ex-post, այնպես էլ ex-ante: Նախնական կիրառման դեպքում, ներքին տոկոսադրույքը (ՆԵՄ) ապագա տարեկան եկամտաբերության մակարդակի գնահատականն է։ Հետագայում կիրառվելիս այն չափում է պատմական ներդրման իրական ներդրումային եկամտաբերությունը։

Այն նաև կոչվում է զեղչված դրամական հոսքի եկամտաբերության մակարդակ (DCFROR)^[1] կամ եկամտաբերության մակարդակ^[2]:

Սահմանում (ՆԵՄ)

Ներդրման կամ նախագծի ներքին եկամուտը «տարեկան արդյունավետ բարդացված եկամտաբերության մակարդակն» է կամ եկամտաբերության մակարդակը, որը ներդրումից ստացված բոլոր դրամական հոսքերի (թե՛ դրական, թե՛ բացասական) զուտ ներկա արժեքը (ԶՆԱ) հավասարեցնում է զրոյի^[2]^[3]։ Համարժեքորեն, դա այն տոկոսադրույքն է, որի դեպքում ապագա դրամական հոսքերի զուտ ներկա արժեքը հավասար է սկզբնական ներդրմանը^[2]^[3] և դա նաև այն տոկոսադրույքն է, որի դեպքում ծախսերի ընդհանուր ներկա արժեքը (բացասական դրամական հոսքեր) հավասար է օգուտների ընդհանուր ներկա արժեքին (դրական դրամական հոսքեր):

Ներքին ներքին հարաբերակցությունը (ՆՆՀ) ներկայացնում է ներդրումների եկամտաբերությունը, որը ստացվում է, երբ նախագիծը հասնում է իր հավասարակշռված կետին, ինչը նշանակում է, որ նախագիծը միայն աննշանորեն է արդարացված որպես արժեքավոր։ Երբ ՆՆՀ-ն ցույց է տալիս դրական արժեք, դա ցույց է տալիս, որ նախագիծը, ակնկալվում է, արժեք կստեղծի։ Եվ հակառակը, եթե ՆՆՀ-ն ցույց է տալիս բացասական արժեք, կանխատեսվում է, որ նախագիծը կկորցնի իր արժեքը։ Ըստ էության, ներքին եկամուտը նշանակում է եկամտաբերության այն մակարդակը, որը ստացվում է, երբ նախագծի զուտ ներկայիս արժեքը հասնում է չեզոք վիճակի, հենց այն կետում, երբ զուտ ներկայիս արժեքը հավասարվում է իրական արժեքին^[4]։

ՆԵՄ-ը հաշվի է առնում փողի և ներդրումների ժամանակային նախապատվությունը։ Տվյալ պահին ստացված ներդրման տրված եկամտաբերությունն ավելի մեծ արժեք ունի, քան ավելի ուշ ժամանակում ստացված նույն եկամտաբերությունը, ուստի վերջինս կբերի ավելի ցածր ներքին եկամուտ, քան առաջինը, եթե մյուս բոլոր գործոնները հավասար են։ Կայուն եկամտի ներդրումը, որտեղ գումարը ավանդվում է մեկ անգամ, այդ ավանդի տոկոսները ներդրողին վճարվում են որոշակի տոկոսադրույքով յուրաքանչյուր ժամանակահատվածում, և սկզբնական ավանդը ո՛չ աճում է, ո՛չ էլ նվազում, կունենա որոշակի տոկոսադրույքին հավասար ներքին տոկոսադրույք։ Ներդրումը, որն ունի նախորդ ներդրման նման ընդհանուր եկամտաբերություն, բայց մեկ կամ մի քանի ժամանակահատվածով հետաձգում է եկամտաբերությունը, կունենա ավելի ցածր ներքին ներքին տոկոսադրույք:

Օգտագործումներ

Խնայողություններ և վարկեր

Խնայողությունների և վարկերի համատեքստում ներքին տոկոսադրույքը (ՆԵՄ) կոչվում է նաև արդյունավետ տոկոսադրույք։

Ներդրման շահութաբերություն

Ներքին տոկոսադրույքը ներդրման շահութաբերության, արդյունավետության, որակի կամ եկամտաբերության ցուցանիշ է։ Սա հակադրվում է ԶՆԱ-ին, որը ներդրում կատարելով ավելացված զուտ արժեքի կամ մեծության ցուցանիշ է։

Բիզնեսի արժեքը մեծացնելու համար ներդրումը պետք է կատարվի միայն այն դեպքում, եթե դրա շահութաբերությունը, որը չափվում է ներքին եկամտաբերության մակարդակով, մեծ է նվազագույն ընդունելի եկամտաբերությունից։ Եթե որևէ նախագծի կամ ներդրման՝ օրինակ՝ նոր գործարանի կառուցման, գնահատված ներքին ներքին տոկոսադրույքը գերազանցում է ընկերության կողմից այդ նախագծում ներդրված կապիտալի արժեքը, ապա ներդրումը շահութաբեր է։ Եթե գնահատված ներքին ներքին եկամտաբերությունը փոքր է կապիտալի արժեքից, առաջարկվող նախագիծը չպետք է իրականացվի^[5]։

Ներդրումների ընտրությունը կարող է կախված լինել բյուջետային սահմանափակումներից։ Կարող են լինել փոխադարձաբար բացառող մրցակցող նախագծեր կամ սահմանափակումներ ընկերության՝ բազմաթիվ նախագծեր կառավարելու կարողության վրա։ Այս պատճառներով կորպորացիաները կապիտալի բյուջետավորման մեջ օգտագործում են ներքին ռիսկի գործակիցը՝ այլընտրանքային կապիտալ նախագծերի շարքի շահութաբերությունը համեմատելու համար։ Օրինակ, կորպորացիան կհամեմատի նոր գործարանում կատարված ներդրումը գոյություն ունեցող գործարանի ընդլայնման հետ՝ հիմնվելով յուրաքանչյուր նախագծի ներքին նորմայի վրա: Եկամտաբերությունը մեծացնելու համար, որքան բարձր է նախագծի ներքին եկամուտը, այնքան ավելի ցանկալի է այն իրականացնել։

Ներդրումների համար ներքին եկամուտը չափելու առնվազն երկու տարբեր եղանակ կա՝ նախագծի ներքին եկամուտը և սեփական կապիտալի ներքին եկամուտը: Նախագծի ներքին նորման ենթադրում է, որ դրամական հոսքերը անմիջականորեն օգուտ են բերում նախագծին, մինչդեռ սեփական կապիտալի ներքին նորման հաշվի է առնում ընկերության բաժնետերերի համար եկամտաբերությունը պարտքի սպասարկումից հետո^[6]։

Չնայած ներքին եկամուտը ներդրման կենսունակությունը ստուգող և այլընտրանքային նախագծերի եկամտաբերությունը համեմատելու համար օգտագործվող ամենատարածված չափանիշներից մեկն է, ներքին եկամուտը առանձին դիտարկելը կարող է լավագույն մոտեցումը չլինել ներդրումային որոշման համար։ Ներքին եկամտի հաշվարկների ընթացքում կատարված որոշակի ենթադրություններ միշտ չէ, որ կիրառելի են ներդրման համար։ Մասնավորապես, ներքին ռիսկի գործակիցը ենթադրում է, որ նախագիծը կա՛մ չի ունենա միջանկյալ դրամական հոսքեր, կա՛մ միջանկյալ դրամական հոսքերը վերաներդրվում են նախագծում, ինչը միշտ չէ, որ այդպես է։ Այս անհամապատասխանությունը հանգեցնում է եկամտաբերության մակարդակի գերագնահատման, որը կարող է լինել նախագծի արժեքի սխալ ներկայացում^[7]։

Կայուն եկամուտ

ՆԵՄ-ն օգտագործվում է ֆիքսված եկամտի արժեթղթերում ներդրումները գնահատելու համար՝ օգտագործելով այնպիսի չափանիշներ, ինչպիսիք են մարման ժամկետի եկամտաբերությունը և պահանջարկի եկամտաբերությունը։

Պարտավորություններ

Ե՛վ ներքին ներքին գործակիցը, և՛ զուտ ներկա արժեքը կարող են կիրառվել պարտավորությունների, ինչպես նաև ներդրումների նկատմամբ։ Պարտավորության համար ավելի ցածր ներքին ներքին տոկոսադրույքը նախընտրելի է ավելի բարձրից։

Կապիտալի կառավարում

Կորպորացիաները օգտագործում են ՆԵՄ-ը բաժնետոմսերի թողարկումների և բաժնետոմսերի հետգնման ծրագրերը գնահատելու համար: Բաժնետոմսերի հետգնումը կատարվում է, եթե բաժնետերերին կապիտալի վերադարձն ունի ավելի բարձր ներքին տոկոսադրույք, քան թեկնածու կապիտալ ներդրումային նախագծերը կամ ձեռքբերման նախագծերը ընթացիկ շուկայական գներով։ Նոր նախագծերի ֆինանսավորումը նոր պարտք ներգրավելու միջոցով կարող է նաև ենթադրել նոր պարտքի արժեքի չափումը՝ մարման ժամկետի եկամտաբերության (ներքին եկամտաբերության մակարդակ) տեսանկյունից։

Մասնավոր կապիտալ

Սահմանափակ գործընկերների տեսանկյունից, ներքին ներքին հարաբերակցությունը օգտագործվում է նաև մասնավոր կապիտալի համար՝ որպես գլխավոր գործընկերոջ՝ որպես ներդրումային կառավարչի, գործունեության չափանիշ^[8]։ Սա պայմանավորված է նրանով, որ գլխավոր գործընկերն է, որը վերահսկում է դրամական հոսքերը, ներառյալ սահմանափակ գործընկերների կողմից պարտավորված կապիտալի դուրսբերումները։

Հաշվարկ

Հաշվի առնելով նախագիծը ներկայացնող զույգերի հավաքածուն (ժամանակ, դրամական հոսք), ԶԱԱ-ն եկամտաբերության մակարդակի ֆունկցիա է։ Ներքին եկամտաբերության նորման այն տոկոսադրույքն է, որի դեպքում այս ֆունկցիան զրո է, այսինքն՝ ներքին եկամտաբերության նորման NPV (ԶԱԱ) = 0 հավասարման լուծումն է (ենթադրելով, որ արբիտրաժային պայմաններ գոյություն չունեն):

Հաշվի առնելով (ժամանակահատված, դրամական հոսք) զույգերը ( $n$ , $C_{n}$ ) որտեղ $n$ ոչ բացասական ամբողջ թիվ է, կետերի ընդհանուր քանակը $N$ , և $\operatorname {NPV}$ , (զուտ ներկա արժեք), ներքին եկամտաբերության նորման տրվում է հետևյալ կերպ՝ $r$ մեջ՝

\operatorname {NPV} =\sum _{n=0}^{N}{\frac {C_{n}}{(1+r)^{n}}}=0

^[2]^[3]

Այս ռացիոնալ բազմանդամը կարող է վերածվել նույն արմատներ ունեցող սովորական բազմանդամի ՝ g-ն (gain)-ով փոխարինելով։ $1+r$ և բազմապատկելով $g^{N}$ ստանալ համարժեք, բայց ավելի պարզ պայման

\sum _{n=0}^{N}C_{n}g^{N-n}=0

Հնարավոր ներքին ներքին ռեզոնանսները (IRR) r- ի իրական արժեքներն են, որոնք բավարարում են առաջին պայմանը և 1-ով փոքր են երկրորդ պայմանի իրական արմատներից (այսինքն՝ $r=g-1$ յուրաքանչյուր g արմատի համար)։ Նկատի ունենալով, որ երկու բանաձևերում էլ՝ $C_{0}$ նախագծի սկզբում կատարված սկզբնական ներդրման ժխտումն է, մինչդեռ $C_{N}$ նախագծի դրամական արժեքն է ավարտին, որը համարժեք է այն կանխիկ գումարին, որը կհանվեր, եթե նախագիծը լուծարվեր և վճարվեր այնպես, որ նախագծի արժեքը զրոյի հասցվեր։ Երկրորդ պայմանում $C_{0}$ սովորական բազմանդամի առաջատար գործակիցը g- ով, մինչդեռ $C_{N}$ հաստատուն անդամ է։

Ժամանակահատվածը $n$ սովորաբար տրվում է տարիներով, բայց հաշվարկը կարող է ավելի պարզեցվել, եթե $r$ հաշվարկվում է այն ժամանակահատվածի միջոցով, որի ընթացքում սահմանվում է խնդրի մեծ մասը (օրինակ՝ ամիսների միջոցով, եթե դրամական հոսքերի մեծ մասը տեղի է ունենում ամսական ընդմիջումներով) և դրանից հետո վերածվում է տարեկան ժամանակահատվածի։

Ցանկացած ֆիքսված ժամանակ կարող է օգտագործվել ներկա ժամանակի փոխարեն (օրինակ՝ անուիտետի մեկ ժամանակահատվածի ավարտը), ստացված արժեքը զրո է միայն այն դեպքում, եթե NPV-ն զրո է։

Այն դեպքում, երբ դրամական հոսքերը պատահական փոփոխականներ են, ինչպես օրինակ՝ ցմահ անուիտետի դեպքում, սպասվող արժեքները տեղադրվում են վերը նշված բանաձևում։

Հաճախ, արժեքը $r$ որը բավարարում է վերը նշված հավասարմանը, անալիտիկորեն հնարավոր չէ գտնել։ Այս դեպքում պետք է օգտագործվեն թվային կամ գրաֆիկական մեթոդներ։

Օրինակ

Եթե ներդրումը կարող է տրվել դրամական հոսքերի հաջորդականությամբ

Տարի ( $n$ )	Դրամական հոսք ( $C_{n}$ )
0	-123400
1	36200
2	54800
3	48100

ապա IRR-ը $r$ տրված է

\operatorname {NPV} =-123400+{\frac {36200}{(1+r)^{1}}}+{\frac {54800}{(1+r)^{2}}}+{\frac {48100}{(1+r)^{3}}}=0.

Այս դեպքում պատասխանը 5.96% է (հաշվարկում, այսինքն՝ r = .0596):

Թվային լուծում

Քանի որ վերը նշվածը հավասարման արմատները գտնելու ընդհանուր խնդրի դրսևորում է $\operatorname {NPV} (r)=0$ , կան բազմաթիվ թվային մեթոդներ, որոնք կարող են օգտագործվել գնահատելու համար $r$ . Օրինակ, օգտագործելով սեկանսի մեթոդը, $r$ տրված է

r_{n+1}=r_{n}-\operatorname {NPV} _{n}\cdot \left({\frac {r_{n}-r_{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n}-\operatorname {NPV} _{n-1}}}\right).

որտեղ $r_{n}$ համարվում է $n$ IRR-ի ^րդ մոտարկումը։

Սա $r$ կարելի է գտնել ճշգրտության կամայական աստիճանի։ Տարբեր հաշվապահական փաթեթները կարող են ապահովել տարբեր ճշգրտության մակարդակների գործառույթներ։ Օրինակ՝ Microsoft Excel-ը և Google Sheets-ը ունեն ներկառուցված ֆունկցիաներ՝ IRR-ը հաշվարկելու համար ինչպես ֆիքսված, այնպես էլ փոփոխական ժամանակային ինտերվալների համար՝ "=IRR(...)" և "=XIRR(...)".

Կոնվերգենցիայի վարքագիծը հետևյալն է՝

Եթե ֆունկցիան $\operatorname {NPV} (i)$ ունի մեկ իրական արմատ $r$ , ապա հաջորդականությունը վերարտադրելիորեն զուգամիտվում է դեպի $r$ .
Եթե ֆունկցիան $\operatorname {NPV} (i)$ ունի $n$ իրական արմատներ $\scriptstyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ , ապա հաջորդականությունը զուգամիտվում է արմատներից մեկի հետ, և սկզբնական զույգերի արժեքների փոփոխությունը կարող է փոխել այն արմատը, որին այն զուգամիտվում է։
Եթե ֆունկցիան $\operatorname {NPV} (i)$ իրական արմատներ չունի, ապա հաջորդականությունը ձգտում է +∞-ի։

Ունենալով $\scriptstyle {r_{1}>r_{0}}$ երբ $\operatorname {NPV} _{0}>0$ կամ $\scriptstyle {r_{1}<r_{0}}$ երբ $\operatorname {NPV} _{0}<0$ կարող է արագացնել կոնվերգենցիան $r_{n}$ դեպի $r$ .

Միակ արտահոսքի և բազմակի ներհոսքերի թվային լուծում

Հատկապես հետաքրքիր է այն դեպքը, երբ վճարումների հոսքը բաղկացած է մեկ արտահոսքից, որին հաջորդում են հավասար ժամանակահատվածներում տեղի ունեցող բազմակի մուտքերը։ Վերոնշյալ նշագրության մեջ սա համապատասխանում է.

C_{0}<0,\quad C_{n}\geq 0{\text{ for }}n\geq 1.\,

Այս դեպքում վճարային հոսքի զուտ ներկայիս արժեքը տոկոսադրույքի ուռուցիկ, խիստ նվազող ֆունկցիա է։ IRR-ի համար միշտ կա մեկ եզակի լուծում։

Տրված են երկու գնահատականներ $r_{1}$ և $r_{2}$ IRR-ի համար, սեկանսի մեթոդի հավասարումը (տե՛ս վերևում)՝ $n=2$ միշտ ապահովում է բարելավված գնահատական $r_{3}$ ։ Սա երբեմն անվանում են «Հարված և փորձարկում» (կամ «Փորձարկում և սխալ») մեթոդ։ Կարելի է նաև ստանալ ավելի ճշգրիտ ինտերպոլյացիայի բանաձևեր, օրինակ՝ սեկանսի բանաձևը՝ ուղղմամբ։

r_{n+1}=r_{n}-\operatorname {NPV} _{n}\left({\frac {r_{n}-r_{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n}-\operatorname {NPV} _{n-1}}}\right)\left(1-1.4{\frac {\operatorname {NPV} _{n-1}}{\operatorname {NPV} _{n-1}-3\operatorname {NPV} _{n}+2C_{0}}}\right),

(որն առավել ճշգրիտ է, երբ $0>\operatorname {NPV} _{n}>\operatorname {NPV} _{n-1}$ )-ը գրեթե 10 անգամ ավելի ճշգրիտ է, քան սեկանսի բանաձևը՝ տոկոսադրույքների և նախնական ենթադրությունների լայն շրջանակի համար։ Օրինակ՝ օգտագործելով վճարումների հոսքը { − 4000, 1200, 1410, 1875, 1050} և նախնական ենթադրությունները $r_{1}=0.25$ և $r_{2}=0.2$ Սեկանսի բանաձևը՝ ուղղմամբ, տալիս է 14.2% ներքին ռեզոնանսի գնահատական (0.7% սխալ)՝ համեմատած սեկանսի մեթոդով ստացված 13.2% ներքին ռեզոնանսի (7% սխալ) հետ։

Եթե կիրառվի իտերատիվ կերպով, կամ սեկանսի մեթոդը, կամ բարելավված բանաձևը միշտ համընկնում է ճիշտ լուծման հետ։

Ե՛վ սեկանսի մեթոդը, և՛ բարելավված բանաձևը հիմնված են IRR-ի սկզբնական ենթադրությունների վրա։ Կարող են օգտագործվել հետևյալ նախնական ենթադրությունները.

r_{1}=\left(A/|C_{0}|\right)^{2/(N+1)}-1\,

r_{2}=(1+r_{1})^{p}-1\,

որտեղ

A={\text{ sum of inflows }}=C_{1}+\cdots +C_{N}\,

p={\frac {\log(\mathrm {A} /|C_{0}|)}{\log(\mathrm {A} /\operatorname {NPV} _{1,in})}}.

Այստեղ, $\operatorname {NPV} _{1,in}$ վերաբերում է միայն ներհոսքերի ԶՆԱ-ին (այսինքն՝ սահմանված է $\mathrm {C} _{0}=0$ և հաշվարկել NPV-ն):

Դրամական միջոցների ստացման ճշգրիտ ամսաթվեր

Դրամական հոսք $C_{n}$ կարող է տեղի ունենալ ցանկացած պահի $t_{n}$ նախագծի մեկնարկից տարիներ անց։ $t_{n}$ կարող է ամբողջ թիվ չլինել։ Դրամական հոսքը դեռ պետք է զեղչվի որոշակի գործոնով ${\frac {1}{(1+r)^{t_{n}}}}$ . Եվ բանաձևն է՝

\operatorname {NPV} =C_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {C_{n}}{(1+r)^{t_{n}}}}=0

Թվային լուծման համար կարող ենք օգտագործել Նյուտոնի մեթոդը

r_{k+1}=r_{k}-{\frac {\operatorname {NPV} _{k}}{\operatorname {NPV} '_{k}}}

որտեղ $\operatorname {NPV} '$ -ի ածանցյալն է $\operatorname {NPV}$ և տրված է

\operatorname {NPV} '=-\sum _{n=1}^{N}{\frac {C_{n}\cdot t_{n}}{(1+r)^{t_{n}+1}}}

Սկզբնական արժեք $r_{1}$ կարող է տրվել

r_{1}={\frac {-1}{C_{0}}}\sum _{n=1}^{N}C_{n}-1

Օգտագործման հետ կապված խնդիրներ

Համեմատություն ԶԱԱ ներդրումների ընտրության չափանիշի հետ

Որպես գործիք, որը կիրառվում է ներդրումային որոշում կայացնելու համար՝ արդյոք նախագիծը արժեք է ավելացնում, թե ոչ, մեկ նախագծի ներքին նորմայի համեմատումը պահանջվող եկամտաբերության մակարդակի հետ՝ ցանկացած այլ նախագծից առանձին, համարժեք է զուտ ներկայիս արժեքի մեթոդին։ Եթե համապատասխան ներքին ներքին նորման (եթե այն կարելի է ճիշտ գտնել) մեծ է պահանջվող եկամտաբերությունից, ապա պահանջվող եկամտաբերության մակարդակը օգտագործելով դրամական հոսքերը դրանց ներկա արժեքին համապատասխան զեղչելու համար, այդ նախագծի NPV-ն կլինի դրական, և հակառակը։ Սակայն, IRR-ի օգտագործումը նախագծերը նախապատվության կարգով տեսակավորելու համար չի հանգեցնում նույն հերթականությանը, ինչ NPV-ի օգտագործումը։

Զուտ արժեքի առավելագույն աճ

Հնարավոր ներդրումային նպատակներից մեկը նախագծերի ընդհանուր զուտ ներկայիս արժեքի մաքսիմալացումն է։

Երբ նպատակը ընդհանուր արժեքը մեծացնելն է, հաշվարկված ներքին տոկոսադրույքը (IRR) չպետք է օգտագործվի փոխադարձաբար բացառող նախագծերի միջև ընտրություն կատարելու համար։

Այն դեպքերում, երբ մեկ նախագիծն ունի ավելի բարձր սկզբնական ներդրում, քան երկրորդ փոխադարձաբար բացառիկ նախագիծը, առաջին նախագիծը կարող է ունենալ ավելի ցածր ներքին եկամուտ (IRR), բայց ավելի բարձր զուտ ներկայիս արժեք (բաժնետերերի հարստության աճ) և, հետևաբար, պետք է ընդունվի երկրորդ նախագծի համեմատ (ենթադրելով, որ կապիտալի սահմանափակումներ չկան):

Երբ նպատակը ընդհանուր արժեքը մեծացնելն է, ներքին ռիսկը չպետք է օգտագործվի տարբեր տևողության նախագծերը համեմատելու համար։ Օրինակ, ավելի երկար տևողությամբ, բայց ավելի ցածր ներքին եկամուտ ունեցող նախագծի կողմից ավելացված զուտ ներկայիս արժեքը կարող է ավելի մեծ լինել, քան նմանատիպ չափի նախագծի դեպքում՝ ընդհանուր զուտ դրամական հոսքերի առումով, բայց ավելի կարճ տևողությամբ և ավելի բարձր ներքին եկամուտ ունեցող նախագծի դեպքում։

Մասնագետի նախընտրությունը ներքին եկամուտին՝ զուտ ներկայիս արժեքի համեմատ

Չնայած ԶԱԱ-ի նկատմամբ ակադեմիական ուժեղ նախապատվությանը, հարցումները ցույց են տալիս, որ ղեկավարները նախընտրում են ներքին եկամուտը զԱԱ-ի նկատմամբ^[9]։ Պարզվում է, որ մենեջերները նախընտրում են համեմատել տարբեր չափերի ներդրումները կանխատեսվող ներդրումային կատարողականի առումով՝ օգտագործելով ներքին ռիսկի գործակիցը, քան մեծացնել ընկերության համար արժեքը՝ զուտ ներկայիս ակտիվության առումով։ Այս նախընտրությունը տարբերություն է ստեղծում փոխադարձաբար բացառող նախագծերը համեմատելիս։

Երկարաժամկետ եկամտաբերության մաքսիմալացում

Ընդհանուր արժեքի մաքսիմալացումը միակ հնարավոր ներդրումային նպատակը չէ։ Այլընտրանքային նպատակ, օրինակ, կլինի երկարաժամկետ եկամտաբերության մաքսիմալացումը։ Նման նպատակը ռացիոնալ կերպով կհանգեցներ կապիտալ բյուջեի շրջանակներում նախ այն նոր նախագծերի ընդունմանը, որոնք ունեն ամենաբարձր ներքին եկամուտը, քանի որ նման նախագծերի ավելացումը հակված կլինի մեծացնելու ընդհանուր երկարաժամկետ եկամտաբերությունը։

Օրինակ

Սա տեսնելու համար դիտարկենք երկու ներդրող՝ Max Value-ը և Max Return-ը։ Max Value-ը ցանկանում է, որ իր զուտ կապիտալը հնարավորինս մեծանա և կներդնի իր հասանելի յուրաքանչյուր ցենտը դրան հասնելու համար, մինչդեռ Max Return-ը ցանկանում է առավելագույնի հասցնել իր եկամտաբերությունը երկարաժամկետ հեռանկարում և կնախընտրեր ընտրել ավելի փոքր կապիտալ ծախսերով, բայց ավելի բարձր եկամտաբերությամբ նախագծեր։ «Մաքսիմ արժեք» և «Մաքսիմ եկամտաբերություն» համակարգերը կարող են իրենց բանկից ներգրավել մինչև 100,000 ԱՄՆ դոլար՝ տարեկան 10 տոկոս տոկոսադրույքով, որը վճարվում է տարվա վերջում։

«Առավելագույն արժեք» և «Առավելագույն վերադարձ» ներդրողներին ներկայացվում են երկու հնարավոր ներդրումային նախագծեր՝ «Մեծը լավագույնն է» և «Փոքրը գեղեցիկ է»։ «Big-Is-Best»-ը այսօր պահանջում է 100,000 ԱՄՆ դոլարի կապիտալ ներդրում, իսկ բախտավոր ներդրողին մեկ տարվա ընթացքում կվերադարձվի 132,000 ԱՄՆ դոլար։ «Փոքրը գեղեցիկ է» նախագիծը պահանջում է ընդամենը 10,000 ԱՄՆ դոլար կապիտալ այսօրվա դրությամբ և մեկ տարվա ընթացքում ներդրողին կվերադարձնի 13,750 ԱՄՆ դոլար։

Լուծում

Երկու ներդրողների համար էլ կապիտալի արժեքը կազմում է 10 տոկոս։

Ե՛վ «Մեծը լավագույնն է», և՛ «Փոքրը գեղեցիկ է» նախագծերն ունեն դրական զուտ ներկայիս արժեքներ։

\operatorname {NPV} ({\text{Big-Is-Best}})={\frac {132,000}{1.1}}-100,000=20,000

\operatorname {NPV} ({\text{Small-Is-Beautiful}})={\frac {13,750}{1.1}}-10,000=2,500

և յուրաքանչյուրի ներքին ներքին տոկոսադրույքը (իհարկե) մեծ է կապիտալի արժեքից։

{\mathit {NPV}}({\text{Big-Is-Best}})={\frac {132,000}{1.32}}-100,000=0

այսպիսով, «Մեծը լավագույնն է» ցուցանիշի ներքին ներքին նորման 32 տոկոս է, և

\operatorname {NPV} ({\text{Small-Is-Beautiful}})={\frac {13,750}{1.375}}-10,000=0

այսպիսով, «Փոքրը գեղեցիկ է» ցուցանիշի ներքին ներքին հարաբերակցությունը կազմում է 37.5 տոկոս։

Երկու ներդրումներն էլ ընդունելի կլինեին երկու ներդրողների համար էլ, բայց պատմության շրջադարձն այն է, որ սրանք փոխադարձաբար բացառիկ նախագծեր են երկու ներդրողների համար էլ, քանի որ նրանց կապիտալ բյուջեն սահմանափակվում է 100,000 ԱՄՆ դոլարով։ Ինչպե՞ս են ներդրողները ռացիոնալ ընտրություն կատարելու երկուսի միջև։

Max Value-ն ընտրում է Big-Is-Best-ը, որն ունի ավելի բարձր զուտ ներկայիս արժեք՝ 20,000 ԱՄՆ դոլար, Small-Is-Great-ի փոխարեն, որն ունի ընդամենը 2,500 համեստ զուտ ներկայիս արժեք, մինչդեռ Max Return-ը ընտրում է Small-Is-Great-ը՝ իր գերազանց 37.5 տոկոս եկամտաբերության համար՝ Big-Is-Best-ի կողմից առաջարկվող գրավիչ (բայց ոչ այնքան գրավիչ) 32 տոկոս եկամտաբերության փոխարեն։ Այնպես որ, վեճ չկա, թե ով որ նախագիծն է ստանում, նրանք յուրաքանչյուրը ուրախ է ընտրել տարբեր նախագծեր։

Ինչպե՞ս կարող է սա ռացիոնալ լինել երկու ներդրողների համար էլ։ Պատասխանը կայանում է նրանում, որ ներդրողները պարտավոր չեն ներդնել ամբողջ 100,000 ԱՄՆ դոլարը։ Max Return-ը առայժմ բավարարվում է ընդամենը 10,000 ԱՄՆ դոլար ներդնելով։ Ի վերջո, Max Return-ը կարող է արդարացնել արդյունքը՝ մտածելով, որ գուցե վաղը նոր հնարավորություններ կառաջանան ներդնելու մնացած 90,000 ԱՄՆ դոլարը, որը բանկը պատրաստ է վարկ տրամադրել Max Return-ին՝ նույնիսկ ավելի բարձր IRR-ով։ Նույնիսկ եթե ի հայտ գան ընդամենը յոթ այլ նախագծեր, որոնք նույնական կլինեն «Փոքրը գեղեցիկ է» նախագծին, «Մաքս վերադարձը» կկարողանա հավասարվել «Մեծը լավագույնի» զուտ արժեքին՝ ընդամենը 80,000 ԱՄՆ դոլար ընդհանուր ներդրմամբ, իսկ բյուջեում կմնա 20,000 ԱՄՆ դոլար՝ իսկապես անմոռանալի հնարավորությունների համար։ Max Value-ը նույնպես գոհ է, քանի որ նա անմիջապես լցրել է իր կապիտալի բյուջեն և որոշում է, որ տարվա մնացած մասը կարող է զբաղեցնել ներդրումներից ազատ։

Բազմակի ներքին ռիսկեր

Երբ դրամական հոսքերի նշանը փոխվում է մեկից ավելի անգամ, օրինակ՝ երբ դրական դրամական հոսքերին հաջորդում են բացասականները, իսկ հետո՝ դրականները (+ + − − − +), ներքին նորմայի հարաբերակցությունը կարող է ունենալ բազմաթիվ իրական արժեքներ։ ( −, 21, − ) նման դրամական հոսքերի շարքում սկզբում ներդնում են գումար, ուստի բարձր եկամտաբերությունն ավելի լավն է, բայց հետո ստանում են ավելին, քան ունեն, ուստի պարտք են ունենում, ուստի ցածր եկամտաբերությունն ավելի լավն է։ Այս դեպքում նույնիսկ պարզ չէ՝ բարձր, թե ցածր IRR-ն է ավելի լավ։

Մեկ նախագծի համար կարող են լինել նույնիսկ մի քանի իրական ներքին եկամուտների ցուցանիշներ, ինչպես օրինակ՝ 0% և 10%: Այս տեսակի նախագծերի օրինակներ են շերտավոր հանքերը և ատոմակայանները, որտեղ նախագծի ավարտին սովորաբար մեծ դրամական արտահոսք է լինում։

Երկրային ներքին ռեզոնանսը բավարարում է բազմանդամային հավասարումը։ Շտուրմի թեորեմը կարող է օգտագործվել որոշելու համար, թե արդյոք այդ հավասարումն ունի եզակի իրական լուծում։ Ընդհանուր առմամբ, IRR հավասարումը չի կարող լուծվել վերլուծականորեն, այլ միայն իտերացիայի միջոցով։

Բազմակի ներքին եկամտաբերության մակարդակների դեպքում, ներքին ներքին վերադարձի մոտեցումը դեռևս կարող է մեկնաբանվել այնպես, որ համապատասխանի ներկա արժեքի մոտեցմանը, եթե հիմքում ընկած ներդրումային հոսքը ճիշտ նույնականացվի որպես զուտ ներդրում կամ զուտ փոխառություն^[10]։

Սահմանափակումներ մասնավոր կապիտալի համատեքստում

Գոյատևման կողմնակալության համատեքստում, որը խոշոր մասնավոր կապիտալի ընկերությունների բարձր ներքին եկամուտը (IRR) դարձնում է միջինի վատ արտացոլում, ըստ Լյուդովիկ Ֆալիպուի՝

«...գլխավոր ցուցանիշը, որը հաճախ ակնառու կերպով ներկայացված է որպես եկամտաբերության մակարդակ ներկայացումներում և փաստաթղթերում, իրականում ներքին ներքին ռիսկ է : IRR-ները եկամտաբերության մակարդակներ չեն: Խոշոր ընկերություններին ընդհանուր է այն, որ նրանց վաղ ներդրումները լավ են ստացվել: Այս վաղ հաղթողները այդ ընկերությունների ստեղծման օրվանից IRR-ը սահմանել են արհեստականորեն կպչուն և բարձր մակարդակի վրա: IRR-ի մաթեմատիկան նշանակում է, որ նրանց IRR-ները կմնան այս մակարդակի վրա հավերժ, քանի դեռ ընկերությունները խուսափում են խոշոր աղետներից: Ի դեպ, սա առաջացնում է որոշակի անարդարություն, քանի որ արևմտյան երկրներում ավելի հեշտ է շահարկել IRR-ները LBO-ների վրա, քան ցանկացած այլ PE ներդրումների դեպքում: Սա նշանակում է, որ PE արդյունաբերության մնացած մասը (օրինակ՝ զարգացող շուկաների աճի կապիտալը) դատապարտված է հավերժ համեմատաբար վատ տեսք ունենալու՝ առանց որևէ այլ պատճառի, քան խաղարկելի կատարողականի չափանիշի օգտագործման»^[11]։

նաև՝

«Կենսաթոշակային ֆոնդերի կատարողականի ներկայացման հետ կապված մեկ այլ խնդիրն այն է, որ PE-ի դեպքում ժամանակի կշռված եկամտաբերությունը... կատարողականի ամենահարմար չափանիշը չէ: Ավելի տեղին կլիներ հարցնել, թե որքան են կենսաթոշակային ֆոնդերը տվել և ստացել PE-ից դոլարային արտահայտությամբ, այսինքն՝ MoM-ից: Ես ուսումնասիրեցի 15 խոշորագույն ֆոնդերի կայքերը՝ նրանց կատարողականի վերաբերյալ տեղեկատվություն հավաքելու համար: Դրանցից քչերն են իրենց PE ֆոնդերի հաշվետվությունները հրապարակում առցանց: Շատ դեպքերում նրանք տեղեկատվություն են հրապարակում PE-ում իրենց անցյալ կատարողականի վերաբերյալ, բայց ոչինչ, որը հնարավորություն կտա որևէ իմաստալից համեմատության: Օրինակ ՝ CalSTRS-ը [Կալիֆոռնիայի պետական կենսաթոշակային ֆոնդ] տրամադրում է միայն յուրաքանչյուր ֆոնդի զուտ ներքին եկամուտը (IRR), որում նրանք ներդրում են կատարում: Քանի որ ներքին եկամուտը հաճախ մոլորեցնող է և երբեք չի կարող ամփոփվել կամ համեմատվել ֆոնդային շուկայի եկամտաբերության հետ, նման տեղեկատվությունը գործնականում անօգուտ է կատարողականը չափելու համար»^[12]։

Փոփոխված ներքին եկամտաբերության տոկոսադրույք (MIRR)

Փոփոխված ներքին եկամտաբերության մակարդակը (MIRR) հաշվի է առնում կապիտալի արժեքը և նախատեսված է նախագծի հավանական եկամտաբերության ավելի լավ ցուցիչ տրամադրելու համար։ Այն կիրառում է զեղչի տոկոսադրույք փոխառված կանխիկի համար, իսկ ներքին տոկոսադրույքը (IRR) հաշվարկվում է ներդրումային կանխիկ հոսքերի համար։ Սա վերաբերում է իրական կյանքում, օրինակ՝ երբ հաճախորդը կանխավճար է կատարում մինչև որոշակի մեքենայի կառուցումը։

Երբ նախագիծն ունի բազմաթիվ ներքին եկամուտների նորմեր (IRR), ավելի հարմար կլինի հաշվարկել նախագծի ներքին եկամուտը՝ հաշվի առնելով վերաներդրված օգուտները^[13]: Համապատասխանաբար, օգտագործվում է MIRR-ը, որն ունի ենթադրյալ վերաներդրման տոկոսադրույք, որը սովորաբար հավասար է նախագծի կապիտալի արժեքին։

Միջին ներքին եկամտաբերության նորմա (AIRR)

Մագնին (2010) ներկայացրեց նոր մոտեցում՝ AIRR մոտեցում, որը հիմնված է միջինի ինտուիտիվ հասկացության վրա և լուծում է IRR-ի խնդիրները^[14]: Սակայն, վերը նշված դժվարությունները IRR-ի բազմաթիվ թերություններից միայն մի քանիսն են։ Մագնին (2013) ներկայացրել է ներքին ռիսկի հաշվեկշռի (IRR) 18 թերությունների մանրամասն ցանկ և ցույց է տվել, թե ինչպես AIRR մոտեցումը չի առաջացնում ներքին ռիսկի խնդիրներ^[15]:

Մաթեմատիկա

Մաթեմատիկորեն, ենթադրվում է, որ ներդրման արժեքը ենթարկվում է էքսպոնենցիալ աճի կամ նվազման՝ համաձայն որոշակի եկամտաբերության մակարդակի (ցանկացած արժեք, որը մեծ է − %-ից), դրամական հոսքերի անընդհատության ընդհատումներով, և դրամական հոսքերի շարքի ներքին եկամուտը (IRR) սահմանվում է որպես ցանկացած եկամտաբերություն, որը հանգեցնում է զրոյական զուտ ներկայիս արժեքի (կամ համարժեքորեն՝ եկամտաբերության մակարդակ, որը հանգեցնում է զրոյի ճիշտ արժեքի վերջին դրամական հոսքից հետո):

Այսպիսով, ներքին եկամտաբերության մակարդակը(ները) բխում են ԶՆԱ-ից՝ որպես եկամտաբերության մակարդակի ֆունկցիա։ Այս ֆունկցիան անընդհատ է։ − % եկամտաբերության մակարդակին մոտենալով՝ ԶԱԱ-ն մոտենում է անվերջությանը վերջին դրամական հոսքի նշանով, իսկ դրական անվերջության եկամտաբերության մակարդակին մոտենալով՝ ԶԱԱ-ն մոտենում է առաջին դրամական հոսքին (ներկայումս եղածին): Հետևաբար, եթե առաջին և վերջին դրամական հոսքերն ունեն տարբեր նշան, ապա գոյություն ունի ներքին ներքին նորմա։ Առանց IRR ժամանակային շարքերի օրինակներ՝

Միայն բացասական դրամական հոսքեր՝ զուտ ներկայիս ներկայիս արժեքը բացասական է եկամտաբերության յուրաքանչյուր մակարդակի համար։
( − 1, 1, − 1), երկու բացասական դրամական հոսքերի միջև բավականին փոքր դրական դրամական հոսք. NPV-ն 1/(1)-ի քառակուսային ֆունկցիա է։ + r ), որտեղ r-ը եկամտաբերության մակարդակն է, կամ այլ կերպ ասած՝ r /(1) զեղչի տոկոսադրույքի քառակուսային ֆունկցիան + r ); ամենաբարձր ԶԱԱ-ն − է, r = 100% դեպքում։

Բացառապես բացասական դրամական հոսքերի շարքի դեպքում, որին հաջորդում է բացառապես դրական դրամական հոսքերի շարք, եկամտաբերության նորմայի արդյունքում ստացված ֆունկցիան անընդհատ է և մոնոտոն նվազող՝ դրական անվերջությունից (երբ եկամտաբերության նորման մոտենում է -100%-ին) մինչև առաջին դրամական հոսքի արժեքը (երբ եկամտաբերության նորման մոտենում է անվերջությանը), ուստի գոյություն ունի եզակի եկամտաբերության նորմա, որի համար այն զրո է։ Հետևաբար, ներքին ներքին հարաբերակցությունը (IRR) նույնպես եզակի է (և հավասար): Չնայած NPV ֆունկցիան ինքնին պարտադիր չէ, որ մոնոտոն նվազի իր ամբողջ տիրույթում, այն գտնվում է ներքին օրենսդրական նորմայի սահմաններում։

Նմանապես, բացառապես դրական դրամական հոսքերի շարքի դեպքում, որին հաջորդում է բացառապես բացասական հոսքերի շարք, ներքին ներքին նորմը (IRR) նույնպես եզակի է։

Վերջապես, Դեկարտի նշանների կանոնի համաձայն, ներքին եկամտաբերության նորմերի քանակը երբեք չի կարող ավելի մեծ լինել, քան դրամական հոսքի նշանի փոփոխությունների քանակը։

Վերաինվեստիցիայի վերաբերյալ բանավեճ

Հաճախ նշվում է, որ ներքին ռիսկը (IRR) ենթադրում է բոլոր դրամական հոսքերի վերաներդրում մինչև նախագծի ավարտը։ Այս պնդումը գրականության մեջ քննարկման առարկա է դարձել։

Ստորև մեջբերված են աղբյուրներ, որոնք նշում են, որ գոյություն ունի նման թաքնված ենթադրություն^[13]^[16]։ Այլ աղբյուրներ պնդում են, որ ներքին ներքին տոկոսադրույքի վերաներդրման ենթադրություն գոյություն չունի^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]։

Այս շփոթության պատճառը հասկանալու համար դիտարկենք 3-ամյա պարտատոմսի օրինակ՝ 1000 դոլար անվանական արժեքով և 5% (կամ 50 դոլար) կտրոնային տոկոսադրույքով։


	Ապագա արժեք, կտրոնները օգտագործված են				Ապագա արժեք, վերաներդրված կտրոններ
	Սկզբնական մնացորդ	Տոկոսադրույք, 5%	Մուտք/ելք կանխիկ	Վերջնական մնացորդ	Սկզբնական մնացորդ	Interest, 5%	Մուտք/ելք կանխիկ	Վերջնական մնացորդ
Ներդրում			-1000				-1000
Առաջին տարվա կտրոն	1000	50	50	1000	1000	50	0	1050
3-րդ տարվա կտրոն + պարտատոմս	1000	50	50	1000	1050	52.5	0	1102.5
3-րդ տարվա կտրոն + պարտատոմս	1000	50	1050	0	1102.5	55.125	1157.625	0
Ընդհանուր եկամտաբերություն			150				157.625
IRR			5%				5%

Ինչպես երևում է, չնայած ընդհանուր եկամտաբերությունը տարբեր է, ներքին ներքին հարաբերակցությունը (IRR) դեռևս նույնն է։ Այլ կերպ ասած, ներքին տոկոսադրույքը (IRR) չեզոք է նույն տոկոսադրույքով կատարված վերաներդրումների նկատմամբ։ Անկախ նրանից, թե կանխիկը վաղաժամկետ է դուրս բերվում, թե վերաներդրվում է նույն տոկոսադրույքով և ուշ է դուրս բերվում, տոկոսադրույքը նույնն է։

Որպեսզի հասկանանք, թե ինչու, մենք պետք է հաշվարկենք մեր ապագա դրամական հոսքերի ներկա արժեքը (ՆՎ)՝ արդյունավետորեն ձեռքով վերարտադրելով IRR հաշվարկները։

	Կտրոնները օգտագործված են			Վերաինվեստիցիայի ենթարկված կտրոններ
	Մուտք/ելք կանխիկ	PV բանաձև	ՖՎ	Մուտք/ելք կանխիկ	PV բանաձև	ՖՎ
Ներդրում	-1000	-1000 / (1+5%)^0	-1000	-1000	-1000 / (1+5%)^0	-1000
Առաջին տարվա կտրոն	50	50 / (1+5%)^1	47.62	0	0 / (1+5%)^1	0
2-րդ տարվա կտրոն	50	50 / (1+5%)^2	45.35	0	0 / (1+5%)^2	0
3-րդ տարվա կտրոն + պարտատոմս	1050	1050 / (1+5%)^3	907.03	1157.625	1157.625 / (1+5%)^3	1000
Ընդհանուր եկամտաբերություն	150		0	157.625		0

Անձնական ֆինանսների ոլորտում

Ներքին ներքին հարաբերակցությունը կարող է օգտագործվել ֆինանսական ներդրումների, ինչպիսիք են անհատ ներդրողի բրոքերային հաշիվները, դրամական կշռված կատարողականը չափելու համար։ Այս սցենարի համար, ներքին տոկոսադրույքի (IRR) համարժեք^[23], ավելի ինտուիտիվ սահմանումն է. «IRR-ն ֆիքսված տոկոսադրույքով հաշվի տարեկան տոկոսադրույքն է (ինչպես որոշ չափով իդեալականացված խնայողական հաշիվ), որը, երբ ենթարկվում է նույն ավանդներին և դուրսբերումներին, ինչ իրական ներդրումը, ունի նույն վերջնական մնացորդը, ինչ իրական ներդրումը»։ Այս ֆիքսված տոկոսադրույքով հաշիվը կոչվում է նաև ներդրման համար կրկնօրինակող ֆիքսված տոկոսադրույքով հաշիվ։ Կան օրինակներ, երբ կրկնօրինակվող ֆիքսված տոկոսադրույքով հաշիվը հանդիպում է բացասական մնացորդների, չնայած այն հանգամանքին, որ իրական ներդրումը չի ունեցել բացասական մնացորդներ^[23]։ Այդ դեպքերում, ներքին տոկոսադրույքի (IRR) հաշվարկը ենթադրում է, որ բացասական մնացորդների դեպքում գանձվում է նույն տոկոսադրույքը, որը վճարվում է դրական մնացորդների դեպքում։ Ապացուցված է, որ տոկոսագումարի գանձման այս եղանակը ներքին ներքին ռեզոնանսի բազմակի լուծումների խնդրի արմատական պատճառն է։^[24]^[25] Եթե մոդելը փոփոխվի այնպես, որ, ինչպես իրական կյանքում է, բացասական մնացորդների վրա գանձվի արտաքին մատակարարմամբ փոխառության ծախս (հնարավոր է՝ ժամանակի ընթացքում փոփոխվող), բազմակի լուծումների խնդիրը վերանում է^[24]^[25]։ Արդյունքում ստացված տոկոսադրույքը կոչվում է ֆիքսված տոկոսադրույքի համարժեք ( FREQ )^[23]։

Տարեկան չհաշվարկված ներքին եկամտաբերության տոկոսադրույք

Ներդրումային արդյունավետության չափման համատեքստում, երբեմն տերմինաբանության մեջ երկիմաստություն կա պարբերական եկամտաբերության մակարդակի, ինչպիսին է վերևում սահմանված ներքին տոկոսադրույքը, և պահպանման ժամանակահատվածի եկամտաբերության միջև։ «Ներքին եկամտաբերության մակարդակ» (ՆԵՇ) կամ «Սկզբնապես ներքին եկամտաբերության մակարդակ» (ՍՆՀ) տերմինը որոշ համատեքստերում օգտագործվում է ժամանակահատվածում չտարեկանացված եկամտաբերության, մասնավորապես մեկ տարուց պակաս ժամանակահատվածների համար^[26]։

Ծանոթագրություններ

↑ Project Economics and Decision Analysis, Volume I: Deterministic Models, M.A.Main, Page 269
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Kellison, Stephen G. (2009). The theory of interest (Third ed.). Boston: McGraw-Hill Irwin. էջեր 251–252. ISBN 978-0-07-338244-9. OCLC 182552985.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Broverman, Samuel A. (2010). Mathematics of investment and credit (5th ed.). Winsted, CT: ACTEX Publications, Inc. էջեր 264–265. ISBN 978-1-56698-767-7. OCLC 651487023.
↑ «IRR Calculator: Calculate Internal Rate of Return Online - NPV Calculator» (անգլերեն). 2023 թ․ մայիսի 21. Վերցված է 2023 թ․ հունիսի 2-ին.
↑ Ehsan, Nikbakht, Ehsan and Groppelli, A.A. (2012). Finance (sixth ed.). Hauppagge, NY: Barron's Educational Series. էջ 201. ISBN 978-0-7641-4759-3.{{cite book}}: CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link)
↑ «PPP Toolkit». Արխիվացված է օրիգինալից 2022 թ․ սեպտեմբերի 29-ին.
↑ «Internal rate of return: A cautionary tale | McKinsey».
↑ «Global Investment Performance Standards». CFA Institute. Վերցված է 2015 թ․ դեկտեմբերի 31-ին.
↑ Pogue, M.(2004). Investment Appraisal: A New Approach. Managerial Auditing Journal.Vol. 19 No. 4, 2004. pp. 565–570
↑ Hazen, G. B., "A new perspective on multiple internal rates of return," The Engineering Economist 48(1), 2003, 31–51.
↑ Phalippou, Ludovic (2020 թ․ հունիսի 10). «Professor Financial Economics Said Business School Oxford University». SSRN Paper: 4. SSRN 3623820.
↑ Phalippou, Ludovic (2020 թ․ հունիսի 10). «Professor Financial Economics Said Business School Oxford University». SSRN Paper: 15, 16. SSRN 3623820.
↑ ^13,0 ^13,1 «CFO | News for CFOs». www.cfo.com.
↑ Magni, C.A. (2010) "Average Internal Rate of Return and investment decisions: a new perspective". The Engineering Economist, 55(2), 150‒181.
↑ Magni, C.A. (2013) "The Internal-Rate-of-Return approach and the AIRR paradigm: A refutation and a corroboration" The Engineering Economist, 58(2), 73‒111.
↑ [1] Measuring Investment Returns
↑ Dudley, C.L., “A note on reinvestment assumptions in choosing between net present value and internal rate of return.” Journal of Finance 27(4), 1972, 907–15.
↑ Keane, S.M., “The internal rate of return and the reinvestment fallacy.” Abacus 15(1), 1979, 48–55.
↑ Lohmann, J.R., “The IRR, NPV and the fallacy of the reinvestment rate assumptions”. The Engineering Economist 33(4), 1988, 303–30.
↑ Keef, S.P., and M.L. Roush, “Discounted cash flow methods and the fallacious reinvestment assumptions: a review of recent texts.” Accounting Education 10(1), 2001, 105-116.
↑ Rich, S.P., and J.T. Rose, “Re-examining an Old Question: Does the IRR Method Implicitly Assume a Reinvestment Rate?” Journal of Financial Education 10(1), 2014, 105-116.
↑ Dudley, Magni, Carlo Alberto and Martin, John D., “The Reinvestment Rate Assumption Fallacy for IRR and NPV: A Pedagogical Note” ', 2017
↑ ^23,0 ^23,1 ^23,2 The Mathematics of the Fixed Rate Equivalent, a GreaterThanZero White Paper.
↑ ^24,0 ^24,1 Teichroew, D., Robicheck, A., and Montalbano, M., Mathematical analysis of rates of return under certainty, Management Science Vol. 11 Nr. 3, January 1965, 395–403.
↑ ^25,0 ^25,1 Teichroew, D., Robicheck, A., and Montalbano, M., An analysis of criteria for investment and financing decisions under certainty, Management Science Vol. 12 Nr. 3, November 1965, 151–179.
↑ [2] Global Investment Performance Standards

Գրականություն

Bruce J. Feibel. Investment Performance Measurement. New York: Wiley, 2003. 0-471-26849-6
Ray Martin, INTERNAL RATE OF RETURN REVISITED

Արտաքին հղումներ

Ինտերակտիվ դասախոսություն տնտեսագիտության վերաբերյալ Հարավային Կարոլինայի համալսարանից

[main2692-1] Project Economics and Decision Analysis, Volume I: Deterministic Models, M.A.Main, Page 269

[:02-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 Kellison, Stephen G. (2009). The theory of interest (Third ed.). Boston: McGraw-Hill Irwin. էջեր 251–252. ISBN 978-0-07-338244-9. OCLC 182552985.

[:12-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Broverman, Samuel A. (2010). Mathematics of investment and credit (5th ed.). Winsted, CT: ACTEX Publications, Inc. էջեր 264–265. ISBN 978-1-56698-767-7. OCLC 651487023.

[4] «IRR Calculator: Calculate Internal Rate of Return Online - NPV Calculator» (անգլերեն). 2023 թ․ մայիսի 21. Վերցված է 2023 թ․ հունիսի 2-ին.

[5] Ehsan, Nikbakht, Ehsan and Groppelli, A.A. (2012). Finance (sixth ed.). Hauppagge, NY: Barron's Educational Series. էջ 201. ISBN 978-0-7641-4759-3.{{cite book}}: CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link)

[6] «PPP Toolkit». Արխիվացված է օրիգինալից 2022 թ․ սեպտեմբերի 29-ին.

[7] «Internal rate of return: A cautionary tale | McKinsey».

[8] «Global Investment Performance Standards». CFA Institute. Վերցված է 2015 թ․ դեկտեմբերի 31-ին.

[9] Pogue, M.(2004). Investment Appraisal: A New Approach. Managerial Auditing Journal.Vol. 19 No. 4, 2004. pp. 565–570

[10] Hazen, G. B., "A new perspective on multiple internal rates of return," The Engineering Economist 48(1), 2003, 31–51.

[11] Phalippou, Ludovic (2020 թ․ հունիսի 10). «Professor Financial Economics Said Business School Oxford University». SSRN Paper: 4. SSRN 3623820.

[12] Phalippou, Ludovic (2020 թ․ հունիսի 10). «Professor Financial Economics Said Business School Oxford University». SSRN Paper: 15, 16. SSRN 3623820.

[cautionary3-13] 13,0 ^13,1 «CFO | News for CFOs». www.cfo.com.

[14] Magni, C.A. (2010) "Average Internal Rate of Return and investment decisions: a new perspective". The Engineering Economist, 55(2), 150‒181.

[15] Magni, C.A. (2013) "The Internal-Rate-of-Return approach and the AIRR paradigm: A refutation and a corroboration" The Engineering Economist, 58(2), 73‒111.

[measuring2-16] [1] Measuring Investment Returns

[17] Dudley, C.L., “A note on reinvestment assumptions in choosing between net present value and internal rate of return.” Journal of Finance 27(4), 1972, 907–15.

[18] Keane, S.M., “The internal rate of return and the reinvestment fallacy.” Abacus 15(1), 1979, 48–55.

[19] Lohmann, J.R., “The IRR, NPV and the fallacy of the reinvestment rate assumptions”. The Engineering Economist 33(4), 1988, 303–30.

[20] Keef, S.P., and M.L. Roush, “Discounted cash flow methods and the fallacious reinvestment assumptions: a review of recent texts.” Accounting Education 10(1), 2001, 105-116.

[21] Rich, S.P., and J.T. Rose, “Re-examining an Old Question: Does the IRR Method Implicitly Assume a Reinvestment Rate?” Journal of Financial Education 10(1), 2014, 105-116.

[22] Dudley, Magni, Carlo Alberto and Martin, John D., “The Reinvestment Rate Assumption Fallacy for IRR and NPV: A Pedagogical Note” ', 2017

[gtz_freqmath2-23] 23,0 ^23,1 ^23,2 The Mathematics of the Fixed Rate Equivalent, a GreaterThanZero White Paper.

[teichrow_et_al_12-24] 24,0 ^24,1 Teichroew, D., Robicheck, A., and Montalbano, M., Mathematical analysis of rates of return under certainty, Management Science Vol. 11 Nr. 3, January 1965, 395–403.

[teichrow_et_al_22-25] 25,0 ^25,1 Teichroew, D., Robicheck, A., and Montalbano, M., An analysis of criteria for investment and financing decisions under certainty, Management Science Vol. 12 Nr. 3, November 1965, 151–179.

[26] [2] Global Investment Performance Standards

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]