Մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիա

Մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիա, թվերի տեսությունում դրական ամբողջ $n$ փոփոխականի այնպիսի թվաբանական ֆունկցիա է, որի համար տեղի ունի $f(1)=1$ պայմանը և $$f(ab)=f(a)f(b)$$ ամեն անգամ, երբ $a$-ն և $b$-ն փոխադարձաբար պարզ են։

Թվաբանական ֆունկցիան կոչվում է լրիվ մուլտիպլիկատիվ (կամ բացարձակ մուլտիպլիկատիվ), եթե $f(1)=1$ և $f(ab)=f(a)f(b)$ հավասարությունը տեղի ունի բոլոր դրական ամբողջ $a$ և $b$ թվերի համար, նույնիսկ երբ դրանք փոխադարձաբար պարզ չեն։

Օրինակներ

Որոշ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաներ սահմանված են բանաձևերի գրառումը պարզեցնելու նպատակով.

• $1(n)$. հաստատուն ֆունկցիա՝ սահմանված $1(n)=1$ հավասարությամբ,

• $\operatorname {Id} (n)$. նույնական ֆունկցիա՝ սահմանված $\operatorname {Id} (n)=n$ հավասարությամբ,

• $\operatorname {Id} _{k}(n)$. աստիճանային ֆունկցիաներ՝ սահմանված $\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$ հավասարությամբ ցանկացած կոմպլեքս $k$ թվի համար։ Որպես մասնավոր դեպքեր ունենք.
  • $\operatorname {Id} _{0}(n)=1(n)$, և
  • $\operatorname {Id} _{1}(n)=\operatorname {Id} (n)$։

• $\varepsilon (n)$. ֆունկցիա՝ սահմանված $\varepsilon (n)=1$ պայմանով, եթե $n=1$, և $0$՝ հակառակ դեպքում։ Սա միավոր ֆունկցիան է, որն այդպես է կոչվում, քանի որ այն հանդիսանում է նույնական տարր (միավոր) Դիրիխլեի փաթույթի նկատմամբ։ Երբեմն նշանակվում է որպես $u(n)$ (չպետք է շփոթել $\mu (n)$-ի հետ)։

• $\lambda (n)$. Լիուվիլի ֆունկցիա, $\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$, որտեղ $\Omega (n)$-ը $n$-ը բաժանող բոլոր պարզ թվերի ընդհանուր քանակն է (հաշվի առնելով բազմապատիկությունը)։

Վերոնշյալ բոլոր ֆունկցիաները լրիվ մուլտիպլիկատիվ են։

• $1_{C}(n)$. $C\subseteq \mathbb {Z}$ բազմության ինդիկատորային ֆունկցիան։ Այս ֆունկցիան մուլտիպլիկատիվ է այն և միայն այն դեպքում, երբ $C$ բազմությունը փակ է փոխադարձաբար պարզ տարրերի բազմապատկման նկատմամբ։ Գոյություն ունեն նաև այլ բազմություններ (բազմապատկման նկատմամբ ոչ փակ), որոնք հանգեցնում են նման ֆունկցիաների, ինչպիսիք են, օրինակ, քառակուսիներից ազատ թվերի բազմությունը։

Մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաների այլ օրինակներ ներառում են թվերի տեսության մեջ կարևոր նշանակություն ունեցող բազմաթիվ ֆունկցիաներ, ինչպիսիք են՝

• $\gcd(n,k)$. $n$ և $k$ թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը՝ դիտարկված որպես $n$-ի ֆունկցիա, որտեղ $k$-ն ֆիքսված ամբողջ թիվ է,

• $\varphi (n)$. Էյլերի ֆունկցիա, որը հաշվում է $n$-ին չգերազանցող և նրա հետ փոխադարձաբար պարզ դրական ամբողջ թվերի քանակը,

• $\mu (n)$. Մյոբիուսի ֆունկցիա, որը որոշում է աստիճաններից ազատ թվերի պարզ արտադրիչների քանակի զույգությունը ($-1$ կենտ քանակի դեպքում, $+1$՝ զույգի դեպքում), և հավասար է $0$-ի, եթե $n$-ը քառակուսուց ազատ չէ,

• $\sigma _{k}(n)$. բաժանարարների ֆունկցիա, որը հանդիսանում է $n$-ի բոլոր դրական բաժանարարների $k$-րդ աստիճանների գումարը (որտեղ $k$-ն կարող է լինել ցանկացած կոմպլեքս թիվ)։ Որպես մասնավոր դեպքեր ունենք.
  • $\sigma _{0}(n)=d(n)$՝ $n$-ի դրական բաժանարարների քանակը,
  • $\sigma _{1}(n)=\sigma (n)$՝ $n$-ի բոլոր դրական բաժանարարների գումարը։

• $\sigma _{k}^{*}(n)$. $n$-ի բոլոր տարբեր բաժանարարների $k$-րդ աստիճանների գումարը.

$\sigma _{k}^{*}(n)\,=\!\!\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!\!d^{k}$

• $\operatorname {rad} (n)$. $n$-ի ռադիկալը, որը հանդիսանում է $n$-ի տարբեր պարզ արտադրիչների արտադրյալը,

• $a(n)$. $n$ կարգի ոչ իզոմորֆ աբելյան խմբերի քանակը,

• $\gamma (n)$՝ սահմանված $\gamma (n)=(-1)^{\omega (n)}$ հավասարությամբ, որտեղ $\omega (n)$ ադիտիվ ֆունկցիան $n$-ը բաժանող տարբեր պարզ թվերի քանակն է,
• $\tau (n)$. Ռամանուջանի տաու ֆունկցիա,
• Բոլոր Դիրիխլեի բնութագրերը լրիվ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաներ են, օրինակ՝
  • $(n/p)$՝ Լեժանդրի խորհրդանիշը, դիտարկված որպես $n$-ի ֆունկցիա, որտեղ $p$-ն ֆիքսված պարզ թիվ է։

Ոչ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիայի օրինակ է $r_{2}(n)$ թվաբանական ֆունկցիան, որը ցույց է տալիս $n$ թվի ներկայացումների քանակը երկու ամբողջ (դրական, բացասական կամ զրո) թվերի քառակուսիների գումարի տեսքով, որտեղ տարբերակները հաշվելիս կարգի փոփոխությունը թույլատրվում է։ Օրինակ՝

1 = 1² + 0² = (−1)² + 0² = 0² + 1² = 0² + (−1)²

ուստի $r_{2}(1)=4\neq 1$։ Սա ցույց է տալիս, որ ֆունկցիան մուլտիպլիկատիվ չէ։ Այնուամենայնիվ, $r_{2}(n)/4$ ֆունկցիան մուլտիպլիկատիվ է։

Ամբողջ թվային հաջորդականությունների առցանց հանրագիտարանում մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիայի արժեքների հաջորդականություններն ունեն «mult» բանալի բառը։

Ոչ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաների այլ օրինակների համար տե՛ս թվաբանական ֆունկցիա հոդվածը։

Հատկություններ

Մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիան ամբողջությամբ որոշվում է թվաբանության հիմնական թեորեմի հետևանքով՝ պարզ թվերի աստիճանների վրա իր արժեքներով։ Այսպիսով, եթե n-ը տարբեր պարզ թվերի աստիճանների արտադրյալ է, օրինակ՝ $n=p^{a}q^{b}...$, ապա՝ $f(n)=f(p^{a})f(q^{b})...$

Մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաների այս հատկությունը զգալիորեն կրճատում է հաշվարկների ծավալը, ինչպես երևում է n = 144 = 2⁴ · 3² թվի համար բերված հետևյալ օրինակներում.$$d(144)=\sigma _{0}(144)=\sigma _{0}(2^{4})\,\sigma _{0}(3^{2})=(1^{0}+2^{0}+4^{0}+8^{0}+16^{0})(1^{0}+3^{0}+9^{0})=5\cdot 3=15$$$$\sigma (144)=\sigma _{1}(144)=\sigma _{1}(2^{4})\,\sigma _{1}(3^{2})=(1^{1}+2^{1}+4^{1}+8^{1}+16^{1})(1^{1}+3^{1}+9^{1})=31\cdot 13=403$$$$\sigma ^{*}(144)=\sigma ^{*}(2^{4})\,\sigma ^{*}(3^{2})=(1^{1}+16^{1})(1^{1}+9^{1})=17\cdot 10=170$$

Նմանապես ունենք.$$\varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6=48$$

Ընդհանուր դեպքում, եթե f(n)-ը մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիա է, իսկ a-ն և b-ն ցանկացած երկու դրական ամբողջ թվեր են, ապա.

$f(a)\cdot f(b)=f(gcd)\cdot f(lcm(a,b))$

Երկու մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաների արտադրյալը նույնպես մուլտիպլիկատիվ է։

Յուրաքանչյուր լրիվ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիա հանդիսանում է մոնոիդների հոմոմորֆիզմ և ամբողջությամբ որոշվում է պարզ թվերի բազմության վրա իր նեղացմամբ։

Փաթույթ

Եթե f-ը և g-ն երկու մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաներ են, ապա կարելի է սահմանել նոր մուլտիպլիկատիվ $f*g$ ֆունկցիա՝ $f$-ի և $g$-ի Դիրիխլեի փաթույթը, հետևյալ կերպ.$$(f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\right)$$որտեղ գումարումը կատարվում է $n$-ի բոլոր դրական $d$ բաժանարարների վրայով։ Այս գործողությամբ բոլոր մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաների բազմությունը վերածվում է աբելյան խմբի, որի նույնական տարրը $\varepsilon$-ն է։ Փաթույթը տեղափոխական է, զուգորդական և բաշխական գումարման նկատմամբ։

Վերը քննարկված մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաների միջև առկա են հետևյալ առնչությունները.

• $\mu *1=\varepsilon$ (Մյոբիուսի շրջման բանաձև)
• $(\mu \operatorname {Id} _{k})*\operatorname {Id} _{k}=\varepsilon$ (ընդհանրացված Մյոբիուսի շրջում)
• $\varphi *1=\operatorname {Id}$
• $d=1*1$
• $\sigma =\operatorname {Id} *1=\varphi *d$
• $\sigma _{k}=\operatorname {Id} _{k}*1$
• $\operatorname {Id} =\varphi *1=\sigma *\mu$
• $\operatorname {Id} _{k}=\sigma _{k}*\mu$

Դիրիխլեի փաթույթը կարող է սահմանվել ընդհանուր թվաբանական ֆունկցիաների համար և առաջացնում է օղակային կառուցվածք, որը կոչվում է Դիրիխլեի օղակ։

Երկու մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաների Դիրիխլեի փաթույթը կրկին մուլտիպլիկատիվ է։ Այս փաստի ապացույցը տրվում է հետևյալ վերլուծությամբ փոխադարձաբար պարզ $a,b\in \mathbb {Z} ^{+}$ թվերի համար. $${\begin{aligned}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1}d_{2}}}\right)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\right)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\right)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{aligned}}$$

Դիրիխլեի շարքեր որոշ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաների համար

• $\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}$
• $\sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}$
• $\sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{4}}{\zeta (2s)}}$
• $\sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}$

Ավելի շատ օրինակներ ներկայացված են Դիրիխլեի շարք հոդվածում։

Ռացիոնալ թվաբանական ֆունկցիաներ

f թվաբանական ֆունկցիան կոչվում է $(r,s)$ կարգի ռացիոնալ թվաբանական ֆունկցիա, եթե գոյություն ունեն այնպիսի _{$g_{1},...,g_{r}$} և _{$h_{1},...,h_{s}$} լրիվ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաներ, որ՝$$f=g_{1}\ast \cdots \ast g_{r}\ast h_{1}^{-1}\ast \cdots \ast h_{s}^{-1},$$որտեղ հակադարձ ֆունկցիաները վերցված են Դիրիխլեի փաթույթի նկատմամբ։ $(1,1)$ կարգի ռացիոնալ թվաբանական ֆունկցիաները հայտնի են որպես տոտիենտ ֆունկցիաներ, իսկ $(2,0)$ կարգի ռացիոնալ թվաբանական ֆունկցիաները հայտնի են որպես քառակուսային ֆունկցիաներ կամ հատուկ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաներ։ Էյլերի $\varphi (n)$ ֆունկցիան տոտիենտ ֆունկցիա է, իսկ բաժանարարների $\sigma _{k}(n)$ ֆունկցիան՝ քառակուսային ֆունկցիա։ Լրիվ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաները $(1,0)$ կարգի ռացիոնալ թվաբանական ֆունկցիաներ են։ Լիուվիլի $\lambda (n)$ ֆունկցիան լրիվ մուլտիպլիկատիվ է։ Մյոբիուսի $\mu (n)$ ֆունկցիան $(0,1)$ կարգի ռացիոնալ թվաբանական ֆունկցիա է։ Ըստ համաձայնության, Դիրիխլեի փաթույթի նկատմամբ $\varepsilon$ նույնական տարրը $(0,0)$կարգի ռացիոնալ թվաբանական ֆունկցիա է։

Բոլոր ռացիոնալ թվաբանական ֆունկցիաները մուլտիպլիկատիվ են։ Մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիան հանդիսանում է $(r,s)$ կարգի ռացիոնալ թվաբանական ֆունկցիա այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա Բելլի շարքը բոլոր $p$ պարզ թվերի համար ունի հետևյալ տեսքը.$${\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}={\frac {(1-h_{1}(p)x)(1-h_{2}(p)x)\cdots (1-h_{s}(p)x)}{(1-g_{1}(p)x)(1-g_{2}(p)x)\cdots (1-g_{r}(p)x)}}}$$

Ռացիոնալ թվաբանական ֆունկցիայի գաղափարը սկիզբ է առել Ռ. Վայդյանաթասվամիից (1931)։

Բուշե-Ռամանուջանի նույնություններ

Մուլտիպլիկատիվ $f$ ֆունկցիան կոչվում է հատուկ մուլտիպլիկատիվ, եթե գոյություն ունի այնպիսի $f_{A}$ լրիվ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիա, որ՝

$f(m)f(n)=\sum _{d\mid (m,n)}f(mn/d^{2})f_{A}(d)$

բոլոր դրական ամբողջ $m$ և $n$ թվերի համար, կամ, որ նույնն է՝

$f(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}f(m/d)f(n/d)\mu (d)f_{A}(d)$

բոլոր դրական ամբողջ $m$ և $n$ թվերի համար, որտեղ $\mu$-ն Մյոբիուսի ֆունկցիան է։ Այս առնչությունները հայտնի են որպես Բուշե-Ռամանուջանի նույնություններ։ 1906 թվականին Է. Բուշեն ձևակերպեց հետևյալ նույնությունը.

$\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(mn/d^{2})d^{k},$

իսկ 1915 թվականին Ս. Ռամանուջանը ներկայացրեց դրա հակադարձ ձևը $k=0$ դեպքի համար.

$\sigma _{k}(mn)=\sum _{d\mid (m,n)}\sigma _{k}(m/d)\sigma _{k}(n/d)\mu (d)d^{k}$

ընդհանուր $k$-ի համար հակադարձ ձևը տրվել է Ս. Չոուլայի կողմից 1929 թվականին (տե՛ս P. J. McCarthy (1986))։ Բուշե-Ռամանուջանի նույնությունների ուսումնասիրությունն սկսվել է Բուշեի և Ռամանուջանի կողմից առաջարկված մասնավոր դեպքերն ավելի լավ հասկանալու փորձերից։

Հայտնի է, որ $f=g_{1}\ast g_{2}$ քառակուսային ֆունկցիաները բավարարում են Բուշե-Ռամանուջանի նույնություններին, որտեղ $f_{A}=g_{1}g_{2}$։ Քառակուսային ֆունկցիաները ճշգրտորեն համընկնում են հատուկ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաների դասի հետ։ Տոտիենտ ֆունկցիաները բավարարում են սահմանափակված Բուշե-Ռամանուջանի նույնությանը։ Լրացուցիչ մանրամասների համար տե՛ս Ռ. Վայդյանաթասվամի (1931)։

Մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաները F_q[X] օղակի վրա

Դիցուք A = F_q[X]-ը վերջավոր դաշտի վրա բազմանդամների օղակ է $q$ տարրերով։ $A$-ն գլխավոր իդեալների տիրույթ է, հետևաբար այն նաև միարժեք վերլուծության տիրույթ է։

$A$-ի վրա սահմանված կոմպլեքսարժեք $\lambda$ ֆունկցիան կոչվում է մուլտիպլիկատիվ, եթե $\lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)$ ամեն անգամ, երբ $f$-ը և $g$-ն փոխադարձաբար պարզ բազմանդամներ են։

Ձետա ֆունկցիան և Դիրիխլեի շարքերը F_q[X] օղակում

Դիցուք $h$-ը բազմանդամային թվաբանական ֆունկցիա է (այսինքն՝ ֆունկցիա սահմանված $A$-ի վրայի մոնիկ (ավագ անդամի 1 գործակցով) բազմանդամների բազմության վրա)։ Դրան համապատասխանող Դիրիխլեի շարքը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

$$D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ մոնիկ}}}h(f)|f|^{-s},$$

որտեղ ցանկացած $g\in A$ բազմանդամի համար ընդունված է $|g|=q^{\deg(g)},$ եթե $g\neq 0,$ և $|g|=0$ հակառակ դեպքում։

Այդ դեպքում բազմանդամային ձետա ֆունկցիան կլինի՝

$$\zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ մոնիկ}}}|f|^{-s}$$

Ինչպես բնական թվերի դեպքում, մուլտիպլիկատիվ $h$ ֆունկցիայի յուրաքանչյուր Դիրիխլեի շարք ունի արտադրյալի տեսքով ներկայացում (Էյլերի արտադրյալ).

$$D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{-sn}\right),$$

որտեղ արտադրյալը վերցվում է ըստ բոլոր մոնիկ անբերելի $P$ բազմանդամների։ Օրինակ, ձետա ֆունկցիայի արտադրյալի տեսքով ներկայացումը նույնն է, ինչ ամբողջ թվերի համար.

$$\zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}$$

Ի տարբերություն դասական ձետա ֆունկցիայի, $\zeta _{A}(s)$-ը պարզ ռացիոնալ ֆունկցիա է.

$$\zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}$$

Նմանապես, եթե $f$-ը և $g$-ն երկու բազմանդամային թվաբանական ֆունկցիաներ են, ապա կարելի է սահմանել դրանց $f*g$ Դիրիխլեի փաթույթը հետևյալ կերպ.

$${\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{aligned}}$$

որտեղ գումարը վերցվում է ըստ $m$-ի բոլոր մոնիկ բաժանարարների, կամ որ նույնն է՝ ըստ մոնիկ բազմանդամների բոլոր այն ($a,b$) զույգերի, որոնց արտադրյալը հավասար է $m$-ի։ $D_{h}D_{g}=D_{h*g}$ նույնությունը շարունակում է մնալ ուժի մեջ։

Բազմափոփոխական տարբերակ

Բազմափոփոխական ֆունկցիաները կարող են կառուցվել մուլտիպլիկատիվ մոդելի գնահատիչների միջոցով, որտեղ A մատրիցային ֆունկցիան սահմանվում է որպես՝ $$D_{N}=N^{2}\times N(N+1)/2$$

Գումարը կարող է բաշխվել արտադրյալի վրա հետևյալ կերպ.$$y_{t}=\sum (t/T)^{1/2}u_{t}=\sum (t/T)^{1/2}G_{t}^{1/2}\epsilon _{t}$$

Σ(.)-ի արդյունավետ գնահատման համար կարելի է դիտարկել հետևյալ երկու ոչ պարամետրական ռեգրեսիաները.$${\tilde {y}}_{t}^{2}={\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}}}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(\epsilon _{t}^{2}-1),$$

և $$y_{t}^{2}=\sigma ^{2}(t/T)+\sigma ^{2}(t/T)(g_{t}\epsilon _{t}^{2}-1)$$

Այսպիսով, այն տալիս է հետևյալ գնահատվող արժեքը.$$L_{t}(\tau ;u)=\sum _{t=1}^{T}K_{h}(u-t/T){\begin{bmatrix}ln\tau +{\frac {y_{t}^{2}}{g_{t}\tau }}\end{bmatrix}}$$

տեղային ֆունկցիայի հավանականությամբ $y_{t}^{2}$-ի համար, որտեղ $g_{t}$-ն հայտնի է, իսկ $\sigma ^{2}(t/T)$-ը՝ անհայտ։

Ընդհանրացումներ

$f$ թվաբանական ֆունկցիան կոչվում է քվազիմուլտիպլիկատիվ, եթե գոյություն ունի այնպիսի ոչ զրոյական $c$ հաստատուն, որ՝ $c\,f(mn)=f(m)f(n)$ բոլոր դրական ամբողջ $m,n$ թվերի համար, որոնց դեպքում $(m,n)=1$։ Այս գաղափարն առաջարկվել է Լահիրիի կողմից (1972)։

$f$ թվաբանական ֆունկցիան կոչվում է կիսամուլտիպլիկատիվ (semimultiplicative), եթե գոյություն ունի ոչ զրոյական $c$ հաստատուն, դրական ամբողջ $a$ թիվ և այնպիսի $f_{m}$ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիա, որ՝ $f(n)=cf_{m}(n/a)$ բոլոր դրական ամբողջ $n$ թվերի համար (այն պայմանով, որ $f_{m}(x)=0$, եթե $x$-ը դրական ամբողջ թիվ չէ)։ Այս հասկացությունը պատկանում է Դեյվիդ Ռիրիկին (1966)։

$f$ թվաբանական ֆունկցիան կոչվում է Սելբերգի իմաստով մուլտիպլիկատիվ, եթե յուրաքանչյուր $p$ պարզ թվի համար գոյություն ունի ոչ բացասական ամբողջ թվերի վրա սահմանված $f_{p}$ ֆունկցիա, որտեղ $f_{p}(0)=1$ բոլորի համար, բացառությամբ վերջավոր քանակությամբ $p$ պարզ թվերի, այնպես որ՝ $f(n)=\prod _{p}f_{p}(\nu _{p}(n))$ բոլոր դրական ամբողջ $n$ թվերի համար, որտեղ $\nu _{p}(n)$-ը $p$-ի ցուցիչն է $n$-ի կանոնական վերլուծության մեջ։ Տե՛ս Սելբերգ (1977)։

Հայտնի է, որ կիսամուլտիպլիկատիվ և Սելբերգի իմաստով մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաների դասերը համընկնում են։ Դրանք երկուսն էլ բավարարում են հետևյալ թվաբանական նույնությանը. $f(m)f(n)=f((m,n))f([m,n])$ բոլոր դրական ամբողջ $m,n$ թվերի համար։ Տե՛ս Հաուկանեն (2012)։

Ակնհայտ է և հեշտ տեսանելի, որ մուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաները հանդիսանում են քվազիմուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաներ $c=1$ դեպքում, իսկ քվազիմուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաները՝ կիսամուլտիպլիկատիվ ֆունկցիաներ $a=1$ դեպքում։

Գրականություն

• P. J. McCarthy, Introduction to Arithmetical Functions, Universitext. New York: Springer-Verlag, 1986.
• Hafner, Christian M.; Linton, Oliver (2010). «Efficient estimation of a multivariate multiplicative volatility model» (PDF). Journal of Econometrics. 159 (1): 55–73. doi:10.1016/j.jeconom.2010.04.007. S2CID 54812323.
• P. Haukkanen (2003). «Some characterizations of specially multiplicative functions». Int. J. Math. Math. Sci. 2003 (37): 2335–2344. doi:10.1155/S0161171203301139.
• P. Haukkanen (2012). «Extensions of the class of multiplicative functions». East–West Journal of Mathematics. 14 (2): 101–113.
• DB Lahiri (1972). «Hypo-multiplicative number-theoretic functions». Aequationes Mathematicae. 8 (3): 316–317. doi:10.1007/BF01844515.

• D. Rearick (1966). «Semi-multiplicative functions». Duke Math. J. 33: 49–53. doi:10.1215/S0012-7094-66-03308-4.

• L. Tóth (2013). «Two generalizations of the Busche-Ramanujan identities». International Journal of Number Theory. 9 (5): 1301–1311. arXiv:1301.3331. doi:10.1142/S1793042113500280.
• «The theory of multiplicative arithmetic functions». Transactions of the American Mathematical Society. 33 (2): 579–662. 1931. doi:10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1.
• Ramanujan, S. (1916). «Some formulae in the analytic theory of numbers» (PDF). Messenger. 45: 81–84.

• E. Busche, Lösung einer Aufgabe über Teileranzahlen. Mitt. Math. Ges. Hamb. 4, 229--237 (1906)

• A. Selberg: Remarks on multiplicative functions. Number theory day (Proc. Conf., Rockefeller Univ., New York, 1976), pp. 232–241, Springer, 1977.
• Mathar, Richard J. (2012). «Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions». arXiv:1106.4038 [math.NT].