Միջնագծած գնդային մակերևույթ
Միջնագծած գնդային մակերևույթ (անգլ.՝ midsphere or intersphere), գնդային մակերևույթ, որը շոշափում է բազմանիստի յուրաքանչյուր կողը միայն մեկ կետում։ Ոչ բոլոր բազմանիստների է հնարավոր միջնագծել գնդային մակերևույթը։ Սակայն յուրաքանչյուր բազմանիստի համար գոյություն ունի կոմբինատոր համարժեք կանոնավոր բազմանիստ, որին հնարավոր է միջնագծել գնդային մակերևույթ։ Գնդային մակերևույթը կոչվում է միջնագծված, քանի որ այն գտնվում է բազմանիստին ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթների միջև։ Բազմանիստին միջնագծած գնդի շառավիղն անվանում են միջնագծած գնդային մակերևույթի շառավիղ։
Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Համաչափ բազմանիստերին, այդ թվում կանոնավոր, քվազիկանոնավոր, կիսականոնավոր բազմանիստերին և նրանց նկատմամբ երկակիությամբ օժտված է բազմանիստերին կարելի է միջնագծել գնդային մակերևույթ։ Կանոնավոր բազմանիստերին ներգծած, միջնագծած և արտագծած գնդային մակերևույթները համակենտրոն են[1]։
Շոշափող շրջանագծեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Եթե O -ն հանդիսանում է P բազմանիստի միջնագծած գնդային մակերևույթը, ապա O գնդային մակերևույթի և P բազմանիստի յուրաքանչյուր նիստի հատումը՝ ընդհանուր կետերը, հանդիսանում են շրջանագծեր։ P բազմանիստի բոլոր նիստերին առկա այդ շրջանագծերն իրենցից ներկայացնում են մի շրջանագծային համակարգ, որում շրջանագծերը ունեն շոշափման կետ, միայն այն ժամանակ, երբ նրանց ընդգրկող նիստերն ունեն ընդհանուր կող։
Երկակիություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Եթե v -ն P բազմանիստի գագաթն է, ապա գոյություն ունի կոն, որը հատում է O գնդային մակերևույթը շրջանագծով և որի գագաթը v -ն է։ Կոնի և O գնդային մակերևույթի ընդհանուր հատույթ հանդիսացող շրջանագիծն առաջացնում է գնդոլորտային սեգմենտի սահման, որի ներսում բազմանիստի գագաթից տեսանելի է O գնդային մակերևույթը։ Այսինքն, բազմանիստի գագաթից նայելիս, միջնագծված գնդային մակերևույթի տեսանելի սահմանը, դա կոնի և O գնդային մակերևույթի ընդհանուր հատույթ հանդիսացող շրջանագիծն է։ Այդ շրջանագծերը ունեն շոշափման կետ, միայն այն ժամանակ, երբ նրանց համապատասխանող գագաթները ունեն ընդհանուր կող[1]։
Կանոնական բազմանիստեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Շոշափող շրջանագծերի համակարգով հարթ գրաֆների ներկայացման շրջանագծերի միջադրման թեորեմի (անգլ.՝ Circle packing theorem , հայտնի է նաև որպես Կոեբ-Անդրեեվ-Թուրսթոնի թեորեմ, անգլ.՝ Koebe–Andreev–Thurston theorem) առավել ուժեղ ձևը փաստում է, որ յուրաքանչյուր բազմանիստ գրաֆ կարելի է ձևափոխել միջնագծված գնդային մակերևույթով բազմանիստի։ Կանոնական բազմանիստի հորիզոնական շրջանագծերը ստերեոգրաֆիկ արտապատկերման (պրոյեկցիա) միջոցով Էվկլիդեսյան տարածության մեջ կարող են ձևափոխվել շրջանագծերի համախմբի, որոնք չեն հատվում, բայց շոշափվում են, երբ իրենց համապատասխանող գագաթները կից են[2]։ Եվ հակառակը, գոյություն ունեն բազմանիստեր, որոնք չունեն ներգծած և արտագծած գնդային մակերևույթներով համարժեք ձևեր[3]։
Ցանկացած երկու բազմանիստ, որոնք օժտված են ցանցային նիստայնությամբ և ունեն միջնագծված գնդային մակերևույթ, եռաչափ տարածությունում արտապատկերային ձևափոխության միջոցով կարող են ձևափոխվել մեկը մյուսի, պահպպանելով միջնագծված գնդային մակերևույթը նույն դիրքում։ Մոբիուսի ձևափոխությունը հանդիսանում է միջնագծված գնդային մակերևույթի արտապատկերային ձևափոխման սահմանափակում[4]։ Գոյություն ունի հետևյալ ձևափոխությունն իրականացնելու եզակի միջոց, այնպես, որ միջնագծված գնդային մակերևույթը լինի միավոր գնդային մակերևույթ և շոշափման կետերի ծանրության կենտրոնը համընկնի գնդային մակերևույթի կենտրոնի հետ։ Վերջինս կանոնական բազմանիստերի կոնգրուենցիայի (ձևով և չափով միանման՝ համընկնելի) տեսակետից յուրահատուկ պատկերացում է տալիս տվյալ բազմանիստի մասին[5]։ Ի հակասություն, գագաթից միջնագծված գնդային մակերևույթ եղած փոքրագույն հեռավորությունը առավելագույնս դարձնող ձևափոխված բազմանիստը հնարավոր է գտնել գծային ժամանակահատվածում։ Կանոնավոր բազմանիստի ընտրության բոլոր հնարավոր դեպքերից առավելագույն համաչափությամբ օժտված է գծային ժամանակահատվածում ընտրված կանոնական բազմանիստը[6]։
Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- ↑ 1,0 1,1 Coxeter (1973) states this for regular polyhedra; Cundy & Rollett 1961 for archimedean polyhedra.
- ↑ Schramm (1992); Sachs (1994). Schramm states that the existence of an equivalent polyhedron with a midsphere was claimed by Koebe (1936), but that Koebe only proved this result for polyhedra with triangular faces. Schramm credits the full result to William Thurston, but the relevant portion of Thurston's lecture notes [1] Արխիվացված 2021-01-21 Wayback Machine again only states the result explicitly for triangulated polyhedra.
- ↑ Schramm (1992); Steinitz (1928).
- ↑ Sachs (1994).
- ↑ Ziegler (1995).
- ↑ Bern & Eppstein (2001).
Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
- Bern, M.; Eppstein, D. (2001), «Optimal Möbius transformations for information visualization and meshing», SWAT and WADS conferences, Lecture Notes in Computer Science, vol. 2125, Providence, Rhode Island: Springer-Verlag, էջեր 14–25, arXiv:cs.CG/0101006, doi:10.1007/3-540-44634-6_3.
- Coxeter, H. (1973), «2.1 Regular polyhedra; 2.2 Reciprocation», Regular Polytopes (3rd ed.), Dover, էջեր 16–17, ISBN 0-486-61480-8.
- Cundy, H. M.; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (2nd ed.), Oxford University Press, էջ 117.
- Koebe, Paul (1936), «Kontaktprobleme der Konformen Abbildung», Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Phys. Kl., 88: 141–164.
- Sachs, Horst (1994), «Coin graphs, polyhedra, and conformal mapping», Discrete Mathematics, 134 (1–3): 133–138, doi:10.1016/0012-365X(93)E0068-F, MR 1303402.
- Schramm, Oded (1992), «How to cage an egg» (PDF), Inventiones Mathematicae, 107 (3): 543–560, Bibcode:1992InMat.107..543S, doi:10.1007/BF01231901, MR 1150601, Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2012-03-22-ին, Վերցված է 2019-04-14-ին.
- Steinitz, E. (1928), «Über isoperimetrische Probleme bei konvexen Polyedern», Journal für die reine und angewandte Mathematik, 159: 133–143.
- Ziegler, Günter M. (1995), Lectures on Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 152, Springer-Verlag, էջեր 117–118, ISBN 0-387-94365-X.