Քութայիսի ֆուտբոլի սան է։ Իր կարիերան սկսել է տեղի «Տորպեդո» ակումբում։ Հարձակվողի արդյունավետ խաղը, որը Վրաստանի առաջնության 54 խաղերում աչքի էր ընկել 55 խաղում, սկսել է գրավել արտասահմանյան ակումբների սելեկցիոների ուշադրությունը։ Ոչ լիարժեք երեք մրցաշրջանի ընթացքում Աշվետիան երկու անգամ խաղացել է Վլադիկավկազի «Ալանիա» և վրացական «Դինամո» ակումբներում։
Խաղացել է նաև արտասահմանում՝ դանիական «Կոպենհագեն» և գերմանական «Կառլ Ցեյս» ակումբներում։
2007 թվականի ամռանը պայմանագիր է կնքել Ռուսաստանի առաջին դիվիզիոնի «Անժի» ակումբի հետ, բայց սահմանափակումների պատճառով, որ դրել էր ՊՖԼ-ն ակումբի վրա, պաշտոնապես միացել է այդ թիմին 2008 թվականին։ Խփելով 17 գոլ՝ դարձել է տարվա լավագույն ռմբարկու ակումբում։ 2008 թվականի դեկտեմբերի 18-ին լքել է «Անժի» ակումբը պայմանագրի ժամկետն ավարտվելու պատճառով[5]։
2009 թվականի սկզբին եղել է Բառնաուլի «Դինամո» ակումբում, բայց չի կարողացել ամրապնդել իր տեղը ակումբում և օգոստոսի 14-ին տեղափոխվել է «Նիժնի Նովգորոդ» ակումբ[6]։
Հանդես գալով տարբոր առաջնություններում՝ կարողացել է աչքի ընկնել 194 գոլերով։ Վրաստանի հավաքականում անցկացրած 24 հանդիպումներում աչքի է ընկել հինգ գոլով։