Միավոր քառակուսի

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Միավոր քառակուսի իրական հարթության վրա:

Միավոր քառակուսի, քառակուսի, որի կողմը միավոր հատվածն է։ Միավոր քառակուսին հանդիսանում է մակերեսի չափման միավոր։ Երբեմն պահանջվում է, որ ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում միավոր քառակուսու ձախ ներքևի գագաթը գտնվի կոորդինատների սկզբնակետում, իսկ քառակուսու կողմերը զուգահեռ լինեն կոորդինատային առանցքներին։ Այդ դեպքում քառակուսու գագաթները կունենան , , և կոորդինատներ։

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հաճախ միավոր քառակուսի ասելով ենթադրում են կամայական քառակուսի, որի կողմը 1 է։

Եթե տրված է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը, ապա այս գաղափարը կիրառվում է ավելի լայն իմաստով և միավոր քառակուսի ասելով ի նկատի ունեն այն կետերի բազմությունը, որոնց (x ,y) կոորդինատները ընկած է միջակայքում։

.

Այլ կերպ ասած, միավոր քառակուսին դա I միավոր հատվածի՝ , Դեկարդյան արտադրյալն է I × I ։

Կոմպլեքս հարթության մեջ միավոր քառակուսի ասելով՝ հասկանում ենք այն քառակուսին, որի գագաթների կոորդինատները ընդունում են 0, 1, i և 1 + i կոմպլեքս արժեքներ։

Մակերեսի միավոր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Միավոր քառակուսին հանդիսանում է պատկերի մակերեսի չափման միավոր։ Չափել պատկերի մակերեսը, նշանակում է գտնել պատկերի մակերեսի և միավոր քառակուսու մակերեսի հարաբերությունը, այսինքն՝ գտնել, թե քանի հատ միավոր քառակուսի կտեղավորվի պատկերի մեջ[1]։ Բոլոր հիմքերը կան ենթադրելու, որ Հին Բաբելոնում հենց այդպես էլ որոշել են պատկերի մակերեսը[2]:

Էվկլիդեսի «Սկզբունքներ» աշխատությունում չկար երկարության միավոր, այդ իսկ պատճառով չկար նաև միավոր քառակուսու գաղափար։ Էվկլիդեսը մակերեսը չէր չափում միավորներով, այլ դրա փոխարեն, դիտարկում էր մակերեսների հարաբերությունը[3]։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Միավոր քառակուսու մակերեսը հավասար է 1-ի, պարագիծը՝ 4-ի, անկյունագիծը՝ :
  • () Համաչափ նորմայի իմաստով, միավոր քառակուսին հանդիսանում է 1 տրամագծով «շրջան», այսինքն կետերի բազմություն, որոնք (1/2, 1/2) կոորդինատով կետից հեռացված են ոչ ավել քան 1/2 միավոր[4]։
  • Կանտորը ապացուցեց, որ գոյություն ունի փոխմիարժեք համապատասխանություն միավոր հատվածի և միավոր քառակուսու միջև։ Այս փաստն այնքան հակասեց նրա ներքին զգացողությանը, որ 1877 թվականին Կանտորը Ռ․ Դեդեկինդին ուղված նամակում գրեց․

«Ես տեսնում եմ, բայց չեմ հավատում»[5][6]:

  • 1890 թվականին Ջ․ Պեանոյի կողմից իրականացվեց շատ ավելի զարմանալի փաստի հայտնագործում։ Պարզվեց, որ գոյություն ունի միավոր հատվածի անընդհատ արտապատկերումը քառակուսու վրա։ Այդպիսի արտապատկերման օրինակ հանդիսացավ Պեանոյի կորը, որը տարածությունը կորով լրացնելու առաջին օրինակն էր։ Պեանոյի կորը քառակուսու վրա տվեց միավոր հատվածի այնպիսի արտապատկերում, որ քառակուսու յուրաքանչյուր կետի համար գոյություն ունեցավ համապատասխան կետ հատվածից[7]։
  • Այնուամենայնիվ, գոյություն չունի հատվածի փոխմիարժեք անընդհատ արտապատկերում քառակուսու վրա։ Պեանոյի կորը ունի բազմապատիկ թվով կետեր, այսինքն այն տրված քառակուսու որոշ կետերով անցնում է մեկ անգամից ավել, այսինքն Պեանոյի կորը չի տալիս փոխմիարժեք համապատասխանություն։ Իրականում հեշտ է ապացուցել, որ հատվածը և քառակուսին հոմեոմորֆ չեն, որից էլ հետևում է, որ անհնար է խուսափել բազմապատիկ թվով կետերից[8]։

Բաց հիմնախնդիր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հայտնի չէ՝ արդյոք գոյություն ունի մակերևույթի վրա այնպիսի կետ, որի հեռավորությունը միավոր հատվածի ցանկացած գագաթից լինի ռացիոնալ թիվ (տեղեկությունը մինչև 2011 թվականի տվյալներով է): Թեպետ հայտնի է, որ գոյություն չունի այդպիսի կետ քառակուսու սահմանին[9][10]:

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Валерий Гусев, Александр Мордкович Математика: учебно-справочное пособие. — Litres, 2016-06-10. — С. 436. — 674 с. — ISBN 9785457404793
  2. Peter Strom Rudman How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. — Prometheus Books, 2007-01-01. — С. 108. — 316 с. — ISBN 9781615921768
  3. Saul Stahl Geometry from Euclid to Knots. — Courier Corporation, 2012-05-23. — С. 99-100. — 481 с. — ISBN 9780486134987
  4. Athanasios C. Antoulas Approximation of Large-Scale Dynamical Systems. — SIAM, 2009-06-25. — С. 29. — 489 с. — ISBN 9780898716580
  5. Сергей Деменок Фрактал: между мифом и ремеслом. — Litres, 2016-06-08. — С. 156. — 298 с. — ISBN 9785040137091
  6. Michael J. Bradley The Foundations of Mathematics: 1800 to 1900. — Infobase Publishing, 2006. — С. 104—105. — 177 с. — ISBN 9780791097212
  7. Сергей Сизый Математические задачи. Студенческие олимпиады математико-механического факультета Уральского госуниверситета. — Litres, 2016-04-14. — С. 34. — 128 с. — ISBN 9785040047086
  8. Александр Шень, Николай Верещагин Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. — Litres, 2015-11-13. — С. 19. — 113 с. — ISBN 9785457918795
  9. Guy, Richard K. (1991), Unsolved Problems in Number Theory, Vol. 1 (2nd տպ.), Springer-Verlag, pp. 181—185 .
  10. Barbara, Roy (March 2011), The rational distance problem, pp. 59—61, http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9458155 .