Մասնակից:Flora Karapetyan/Ավազարկղ5

Կանոնավոր դոդեկաեդր (տասներկուանիստ) ( հին հունարեն՝ δώδεκα — «տասներկու» և εδρον — «նիստ»), հինգ հնարավոր կանոնավոր բազմանիստերից մեկը: Դոդեկաեդրը բաղկացած է տասներկու կանոնավոր հնգանկյուններից^[1], որոնք հանդիսանում են նրա նիստերը։ Դոդեկաեդրի յուրաքանչյուր գագաթ հանդիսանում է երեք կանոնավոր հնգանկյունիների գագաթ: Այսպիսով՝ դոդեկաեդրը կազմված է 12 նիստից (հնգանկյուն), 30 կողից և 20 գագաթից (յուրաքանչյուր գագաթից՝ 3 կող)։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Թերևս ամենահին տասներկուանիստի տեսքով իրը հայտնաբերվել է Իտալիայի հյուսիսում՝ Պադովայի մոտ, 19-րդ դարի վերջին, այն թվագրվում է մ.թ.ա. 500 թվականին և ենթադրաբար օգտագործվել է որպես զառախաղ էտրուսկների կողմից ^[2]^[3]:

Հին հույն գիտնականները իրենց աշխատություններում նշել են դոդեկաեդրի մասին: Պլատոնը տարբեր դասական տարրեր համեմատեց կանոնավոր բազմանիստերի հետ: Դոդեկաեդրի մասին Պլատոնը գրել է, որ «... Աստված սահմանեց այն Տիեզերքի համար և օգտագործեց որպես մոդել»^[4]։ Էվկլիդեսը իր «Սկզբունքներ» XIII գրքի 17-րդ նախադասության մեջ խորանարդի կողերին կառուցում է տասներկուանիստ^[5]^[6]^:132-136։ Պապուս Ալեքսանդրիացին «Մաթեմատիկական ժողովածուում» զբաղվում է դոդեկաեդրի կառուցմամբ, ճանապարհին ապացուցելով, որ տասներկուանիստի գագաթները գտնվում են զուգահեռ հարթություններում^[6]^:318-319^[7]։

Եվրոպական մի քանի երկրների տարածքում հայտնաբերվել են բազմաթիվ առարկաներ, որոնք կոչվում են հռոմեական դոդեկաեդրներ, որոնք թվագրվում են մեր թվարկությունից առաջ 2-3-րդ դարերով, որի նպատակը ամբողջովին պարզ չէ:

Հիմնական բանաձևեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթե որպես կողի երկարություն վերցնենք $a$ , ապա տասներկուանիստի մակերևույթի մակերեսը հավասար է

S=3a^{2}{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\approx 20{,}645728807067602a^{2}

։

Տասներկուանիստի ծավալը

V={\frac {a^{3}}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\approx 7{,}663118960624632a^{3}

։

Դոդեկաեդրին արտագծյալ գնդի շառավիղը^[8]

R={\frac {a}{4}}(1+{\sqrt {5}}){\sqrt {3}}\approx 1{,}4012585384440734a

։

Դոդեկաեդրին ներգծյալ գնդի շառավիղը^[8]

r={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+{\frac {22}{\sqrt {5}}}}}\approx 1{,}1135163644116066a

։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տասներկուանիստի բոլոր գագաթները՝ հինգական, գտնվում են չորս զուգահեռ հարթություններում՝ դրանցից յուրաքանչյուրում կազմելով կանոնավոր հնգանկյուն:
Տասներկուանիստի ցանկացած երկու կից նիստերով կազմված երկնիստ անկյունը հավասար է arccos(−1/√5) = 116.565051177078°^[8]։
20 գագաթներից յուրաքանչյուրի հարթ անկյունների գումարը 324 ° է, եռանիստ անկյունը հավասար է arccos(−11/5√5) ≈ 2,9617 ստեռադիան։
Տասներկուանիստին կարելի է ներգծել խորանարդ այնպես, որ խորանարդի կողմերը հանդիսանան տասներկուանիստի անկյունագծեր:
Տասներկուանիստն ունի երեք աստղային տեսք։
Տասներկուանիստին կարելի է ներգծել հինգ խորանարդ։ Եթե տասներկուանիստի հնգանկյուն նիստերը փոխարինենք հարթ հնգանկյուն աստղերով այնպես, որ տասներկուանիստի կողերը վերանան, ապա մենք ստանում ենք հինգ հատվող խորանարդի տարածություն: Տասներկուանիստը, որպես այդպիսին, կվերանա: Փակ բազմանկյան փոխարեն կհայտնվի հինգ ուղղանկյուն բաց երկրաչափական համակարգ: Կամ հինգ եռաչափ տարածությունների համաչափ հատում:
Կամայական նիստին զուգահեռ ամենամոտ հարթությունը, որն ունի հինգ գագաթ՝ տվյալ նիստին չպատկանող, գտնվում է այս նիստին ներգծված շրջանագծի շառավղի երկարության վրա: Եվ այս հինգ գագաթների շուրջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը հավասար է շրջաններից մեկի տրամագծին: Այս երկու մեծությունները համապատասխանաբար հավասար են՝ ${\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a$ և ${\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}a$ , որտեղ $a$ –ն դոդեկաեդրի կողի երկարությունն է։

Դոդեկաեդրի համաչափության տարրեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դոդեկաեդրն ունի համաչափության կենտրոն և համաչափության 15 առանցք:Առանցքներից յուրաքանչյուրն անցնում է հակառակ՝ զուգահեռ, կողերի միջնակետերով:
Դոդեկաեդրն ունի 15 համաչափության հարթություն: Համաչափության ցանկացած հարթություն յուրաքանչյուր նիստով անցնում է հակառակ՝ զուգահեռ, կողի գագաթով և միջնակետով:

Կապը գնդային մակերևույթի հետ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կանոնավոր դոդեկաեդր առաջանում է նաև գնդի մակերևույթում՝ կանոնավոր հնգանկյուններով:

Օրթոգոնալ պրոյեկցիա^[en]	Ստերեոգրաֆիկ պրոյեկցիա

Հետաքրքիր փաստեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռադիոլյարյան Circorrhegma dodecahedra- ն, որը նկարագրեց Էռնստ Հեկկե լը 1887 թվականին, ունի դոդեկաեդրի մոտավոր տեսք^[9]։
2003 թվականին, WMAP տիեզերանավի տվյալների վերլուծության ժամանակ, առաջ քաշվեց վարկած, որ տիեզերքը Պուանկարեի տասներկուանիստ տարածություն է^[10]^[11]^[12]։

Մշակույթի մեջ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դոդեկաեդրը օգտագործվում է որպես պատահական թվերի գեներատոր (այլ զառերի հետ միասին) սեղանի դերախաղերում և նշվում է d12 (զառախաղ):
Սեղանի օրացույցները պատրաստվում են թղթե դոդեկաեդրի տեսքով, որտեղ տասներկու ամիսներից յուրաքանչյուրը գտնվում է կողերից մեկում^[13]:
Կաղապար:Нет АИ 2.
Կաղապար:Нет АИ 2.
Կաղապար:Нет АИ 2.
Կաղապար:Нет АИ 2
Megaminx-ը նման է կուբիկ Ռուբիկի, միայն դոդեկաեդրի նմանությամբ: Ընդհանուր 62 մաս` 12 կենտրոն, 20 անկյուն և 30 կող։

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

↑ Селиванов Д. Ф., (1890–1907). «Тело геометрическое». Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ). Սանկտ Պետերբուրգ.{{cite book}}: CS1 սպաս․ location missing publisher (link) CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link) CS1 սպաս․ հավելյալ կետադրություն (link)
↑ Stefano De' Stefani Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa(իտալ.) // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti : diario. — 1885-86. — С. 1437—1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом
↑ Amelia Carolina Sparavigna An Etruscan Dodecahedron. — 1205.0706
↑ Платон. «Тимей»
↑ «Euclid's Elements. Book XIII. Proposition 17».
↑ ^6,0 ^6,1 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.
↑ Roger Herz-Fischler A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Dover Publications, 2013. — С. 117—118.
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 Доказательство приведено в: Cobb, John W. (2005—2007). «The Dodecahedron» (անգլերեն). Վերցված է 2014-06-01-ին.
↑ В таблице XVII четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2
↑ «The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps» (անգլերեն).
↑ «Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background» (անգլերեն).
↑ Jeffrey Weeks. «The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations» (PDF) (անգլերեն). Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2012-11-04-ին.
↑ A. T. White Graphs of Groups on Surfaces: Interactions and Models. — Elsevier, 2001. — P. 45. — 378 p. — ISBN 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

[:0-1] Селиванов Д. Ф., (1890–1907). «Тело геометрическое». Բրոքհաուզի և Եֆրոնի հանրագիտական բառարան: 86 հատոր (82 հատոր և 4 լրացուցիչ հատորներ). Սանկտ Պետերբուրգ.{{cite book}}: CS1 սպաս․ location missing publisher (link) CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link) CS1 սպաս․ հավելյալ կետադրություն (link)

[:1-2] Stefano De' Stefani Intorno un dodecaedro quasi regolare di pietra a facce pentagonali scolpite con cifre, scoperto nelle antichissime capanne di pietra del Monte Loffa(իտալ.) // Atti del Reale Istituto veneto di scienze, lettere ed arti : diario. — 1885-86. — С. 1437—1459. См. также изображение этого предмета в конце тома, стр. 709 файла со сканом

[:2-3] Amelia Carolina Sparavigna An Etruscan Dodecahedron. — 1205.0706

[:3-4] Платон. «Тимей»

[:4-5] «Euclid's Elements. Book XIII. Proposition 17».

[Euclid-6] 6,0 ^6,1 Начала Евклида. Книги XI—XV. — М.—Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950. — Помимо перевода на русский язык сочинения Евклида это издание в комментариях содержит перевод предложений Паппа о правильных многогранниках.

[:5-7] Roger Herz-Fischler A Mathematical History of the Golden Number. — Courier Dover Publications, 2013. — С. 117—118.

[Dok-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 Доказательство приведено в: Cobb, John W. (2005—2007). «The Dodecahedron» (անգլերեն). Վերցված է 2014-06-01-ին.

[:6-9] В таблице XVII четвёртого тома его монографии о радиоляриях она обозначена номером 2

[:7-10] «The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps» (անգլերեն).

[:8-11] «Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background» (անգլերեն).

[:9-12] Jeffrey Weeks. «The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations» (PDF) (անգլերեն). Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2012-11-04-ին.

[white-13] A. T. White Graphs of Groups on Surfaces: Interactions and Models. — Elsevier, 2001. — P. 45. — 378 p. — ISBN 0-080-50758-1, 978-0-080-50758-3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]