Մասնակից:Aramiannerses/ավազարկղ

Մաթեմատիկայում, կատեգորիաները յատուկ մաթեմատիկական կառուցուածքներ են՝ հանրահաշուային ըստ բնոյթի, որ լայն կիրառում ունեն մաթեմատիկայի տարբեր ճիւղերում։ Կատեգորիաների հիմնական առաւելութիւնը կայանում է նրանում, որ նրանք ներառում են շատ մաթեմատիկական գաղափարները մի ընդհանրական լեզուի ներքոյ։ Բացի դրանից կատեգորիական մեթոդներով հնարաւոր է ապացուցել մեծ քանակով փաստեր առանց երբեւիցէ խօսելու, թէ ինչ է տեղի ունենում դիտարկուող օբյեկտների ներսում։ Միեւնոյն ժամանակ՝ մաթեմատիկոսներին հետաքրքրող օբյեկտներից շատերը պահպանում են կատեգորիական կառուցուածքը․ որպէս օրինակ՝ ֆունդամենտալ խումբը, հոմոլոգիայի, կոհոմոլոգիայի մոդուլները, հոմոտոպիայի խմբերը, եւ այն։ Մոնոիդները, խմբերը, խմբոիդները, մասնակի կարգաւորուած բազմութիւնները կարող են սահմանուել կատեգորիաների միջոցով։ Մեզ առաւել հետաքրքրող կատեգորիաներից կլինեն, բազմութիւնների կատեգորիան՝ $\displaystyle \mathbf {Set}$, խմբերի կատեգորիան՝ $\displaystyle \mathbf {Group}$, օղակների կատեգորիան` $\displaystyle \mathbf {Ring}$, տոպոլոգիական տարածութիւն կատեգորիան՝ $\displaystyle \mathbf {Top}$, որոնք մենք կսահմանենք յաջորդիւ:

Սահմանում

Կատեգորիա $\displaystyle \mathbf {C}$-ն բաղացած է հետեւեալ մասերից եւ պայմաններից։

• $\displaystyle \mathbf {C}$-ն ունի օբյեկտերի դաս, որը նշանակւում է $\displaystyle \mathrm {Ob} \mathbf {C}$-ով։
• $\displaystyle \mathbf {C}$-ն մորֆիզմների դաս, որը նշանակւում է $\displaystyle \mathrm {Hom} \mathbf {C}$-ով (երբեմն էլ՝ $\displaystyle \mathrm {Mor} \mathbf {C}$-ով)։
• Գոյութիւն ունեն երկու արտապատկերում $\displaystyle \iota ,\varphi :\mathrm {Hom} \mathbf {C} \rightarrow \mathrm {Ob} \mathbf {C}$: Եթէ $\displaystyle f\in \mathrm {Hom} \mathbf {C}$, ապա $\displaystyle \iota (f)$-ը $\displaystyle f$-ի աղբիւր կամ սկզբնակէտ, իսկ $\displaystyle \varphi (f)$-ը $\displaystyle f$-ի աւարտ կամ վերջնակէտ։ Եթէ $\displaystyle A,B\in \mathrm {Ob} \mathbf {C}$, $\displaystyle \iota (f)=A$ եւ $\displaystyle \varphi (f)=B$, ապա մենք կգրենք $\displaystyle f:A\rightarrow B$ եւ կասենք, որ $\displaystyle f$-ը $\displaystyle A$-ից $\displaystyle B$ մորֆիզմ է: Կպահանջենք նաեւ, որ բոլոր $\displaystyle A$-ից $\displaystyle B$ մորֆիզմները կազմեն բազմութիւն, տրուած $\displaystyle A$ եւ $\displaystyle B$ օբյեկտների համար։ Մենք կնշնակենք այս բազմութիւնը $\displaystyle [A,B]$-ով։ Գրականութեան մէջ այս բազմութիւն յաճախ նշանակւում է $\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)$-ով կամ $\displaystyle \mathrm {Mor} (A,B)$-ով։
• Գոյութիւն ունի կոմպոզիցիայի գործողութիւն $\displaystyle \circ _{(A,B,C)}:[B,C]\times [A,B]\rightarrow [A,C]$, ցանկացած $\displaystyle A,B,C\in \mathrm {Ob} \mathbf {C}$ եռեակի համար: Եթէ $\displaystyle f:B\rightarrow C$ եւ $\displaystyle f:A\rightarrow B$, մենք $\displaystyle \circ _{(A,B,C)}(f,g)$ գրելու փոխարէն կգրենք $\displaystyle f\circ g$, երբ սա երկիմաստութիւններ չի առաջացնի (այս դէպքում միշտ)։
• Ցանկացած օբյեկտ $\displaystyle A$-ի համար գոյութիւն ունի յատուկ միաւոր մորֆիզմ․ $\displaystyle \mathbf {1} _{A}\in [A,A]$: Այս մորֆիզմը բաւարարում է հետեւեալ պայմանին՝ ցանկացած $\displaystyle f\in [B,A]$ եւ $\displaystyle g\in [A,C]$ մորֆիզմների համար $\displaystyle f=\mathbf {1} _{A}\circ f$ ու $\displaystyle g=g\circ \mathbf {1} _{A}$:
• Նաեւ կոմպոզիցիան ասոցիատիւ է։ Սա նշանակում է, որ հետեւեալ դիագրամը կոմուտատիւ է․

${\begin{aligned}&[C,\ D]\times [B,\ C]\times [A,\ B]\xrightarrow {\qquad 1\times \circ \qquad } [C,\ D]\times [A,\ C]\\&\qquad \ \left.{\begin{aligned}\\\circ \times 1\\{}\end{aligned}}\right\downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \left\downarrow {\begin{aligned}\\\circ \\{}\end{aligned}}\right.\\&\quad \ \ \ [B,\ D]\times [A,\ B]\xrightarrow {\ \ \qquad \qquad \circ \qquad \qquad \ \ } [A,\ D]\end{aligned}}$

Սա կարելի է վերաձեւակերպել հետեւեալ կերպով․ $\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$ բոլոր համապատասխան մորֆիզմների համար։

Օրինակներ

Բազմութիւնները, խմբերը, տոպոլոգիական տարածութիւնները, մոդուլները հեշտութեամբ կարելի է վերածել կատեգորիաների։

$\mathbf {C}$	$\mathbf {Set}$	$\mathbf {Group}$	$\mathbf {Top}$
$\mathrm {Ob} \mathbf {C}$	բազմութիւններ	խմբեր	տոպոլոգիական տարածութիւններ
$\mathrm {Hom} \mathbf {C}$	ֆունկցիաներ	հոմոմորֆիզմներ	անընդյատ ֆունկցիաներ
$\circ$	ֆունկցիոնալ կոմպոզիցիա