Մասնակից:Զաբելա Աբելյան/Աբելյան խումբ

Աբելյան (կամ տեղափոխական) խումբը— խումբ է, որում խմբային գործողությունը հանդիսանում է տեղափոխական, երբեմն ասում են,աբելյան խումբ $(G,*)$ , եթե $a*b=b*a$ ցանկացած երկու տարրերի համար $a,\;b\in G$ . Սովորաբար աբելյան խմբի խմբային գործողությունների նշանակման համար օգտագործվում է հավելում (լատ. additivus) գրառում,այսինքն՝ խմբային գործողությունները նշանակվում է $+$ նշանով և անվանվում է գումարում ^[1].

Անվանումը տրված է նորվեգական մաթեմատիկոս Հ. Աբելի պատվին խմբի տեղադրման հետազոտությունում իր ներդրման համար:

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զուգահեռ խմբի տեղափոխումը գծային տարածությունում:
Աբելյան ցանկացած Ցիկլային խումբ $G=\langle a\rangle$ $G=\langle a\rangle$ : Իրոք ճիշտ է ցանկացած $x=a^{n}$ $x=a^{n}$ и $y=a^{m}$ $y=a^{m}$ , որ
$xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$ :
- Մասնավորապես, ամբողջ թվի $\mathbb {Z}$ բազմությունը գումարման տեղափոխական խումբ է, դա ճիշտ է և հանման դասի $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \,.$ համար:
Ցանկացած օղակ հանդիսանում է իր գումարման տեղափոխական (աբելյան) խումբ, օրինակ կարող է ծառայել $\mathbb {R}$ իրական թվերի դաշտը թվերի գումարման գործողություններով:
Տեղափոխական օղակի հակադարձելի տարրերը (մասնավորապես ,ոչզրոյական տարրերը ցանկացած դաշտի) կազմում է բազմապատկման աբելյան խումբ:Օրինակ, աբելյան խումբ է ներկայացնում ոչզրոյական իրական թվերի բազմությունը բազմապատկման գործողություններով:

Կապակցված սահմանումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Համանմանությամբ համաչափությունը վեկտորական տարածությունում, յուրաքանչյուր աբելյան խումբ է ունի կարգ: Այն որոշվում է ինչպես նվազագույն վեկտորական տարածության համաչափություն ռացիոնալ թվերի $\mathbb {Q}$ դաշտում, որում ներդրվում է խմբի ֆակտորի հյուսումը:

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Իհարկե, իզոմորֆ աբելյան խմբերի ծնունդը ուղղակի ցիկլային խմբի գումար է:
- իզոմորֆ աբելյան վերջավոր խմբերը ուղղակի ցիկլային վերջավոր խմբերի գումար է:
Ցանկացած աբելյան խմբեր ունեն սովորական կազմություն ամբողջ թվերի մոդուլը օղակի նկատմամբ: Իրոք, դիցուք $n$ $n$ ը բնական թիվ է, իսկ $x$ $x$ ը տեղափոխական խմբի տարր $G$ $G$ գործողությամբ, նշանակված +, այդ ժամանակ $nx$ $nx$ կարելի է որոշել ինչպես $x+x+\ldots +x$ $x+x+\ldots +x$ ( $n$ $n$ անգամ) և $(-n)x=-(nx)$ $(-n)x=-(nx)$ .
- Պնդումները և թեորեմները , ճիշտ են աբելյան խմբերի համար (այսինքն. մոդուլի նկատմամբ $\mathbb {Z}$ գլխավոր իդեալներ տիրույթ), հաճախ կարող են մոդուլը ընդհանրացնել կամայական գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ:Բնորոշ օրինակ է հանդիսանում վերջավոր աբելյան խմբի դասակարգումը, որը կարող ենք ընդհանրացնել մինչև ցանկացած վերջավոր մոդեւլի դասակարգումը գլխավոր իդեալների տիրույթի նկատմամբ:
Հոմոմորֆիզմ բազմություն $\operatorname {Hom} (G,\;H)$ բոլոր խմբային հոմոմորֆիզմներից՝ $G$ ից $H$ , նույնպես հանդիսանում է աբելյան խումբ:Իրոք, դիցուք $f,\;g:G\to H$ երկու հոմոմորֆիզմ խումբ է աբելյան խմբերի միջև, այդ ժամանակ դրանց գումարը $f+g$ , տրված ինչպես $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ , նույնպես հանդիսանում է հոմոմորֆիզմ (դա ճիշտ է,եթե $H$ չի հանդիսանում տեղափոխական խումբ):
Աբելյան հասկացությունը սերտ կապված է կենտրոն $Z(G)$ հասկացության հետ, $G$ խումբը բազմություն է, կազմված նրա այն տարրերից,որոնք տեղափոխում են $G$ խմբի յուրաքանչյուր տարրի հետ և գլխավոր դեր յուրօրինակ «աբելյան չափումներում:»Աբելյան խումբ է, այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ նրա կենտրոնը համընկնում է ամբողջ խմբի կենտրոնի հետ:

Վերջավոր աբելյան խմբեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վերջավոր աբելյան խմբի հիմնական թեորեմը ապացուցում է,որ ցանկացած վերջավոր աբելյան խումբը հնարավոր է ր ցիկլային ենթախմբի գումարը բաշխվում է ուղղի վրա, որի հաջորդականությունը հանդիսանում է պարզ թվերի աստիճաններ:. Վերջավոր աբելյան խմբի կազմության մասին թեորեմայի այդ հետևանքը ընդհանուր է դեպքի համար, երբ խումբը չունի անվերջ տարերի հաջորդականություն: $\mathbb {Z} _{mn}$ իզոմորֆ է ուղղակի գումարին $\mathbb {Z} _{m}$ և $\mathbb {Z} _{n}$ այն ժամանակ և միայն այն ժամանակ, երբ $m$ և $n$ փոխադարձ պարզ են: Հետևաբար, աբելյան խումբը կարելի է գրառել $G$ ուղղակի գումարի տեսքի

\mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}

երկու տարբեր եղանակներով:

Որտեղ թիվ $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$ պարզ աստիճանի է:

Վարիացիաներ և ընդհանրացումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիֆերենցիալ խումբը կոչվում է աբելյան խումբ $\mathbf {C}$ , որում տրված է այսպիսի էնդոմորֆիզմ $d\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ , որ $d^{2}=0$ : Այդ էնդոմորֆիզմը անվանում են դիֆերենցիալ: Դիֆերենցիալ խմբի տարերին անվանում են շղթաներ, միջուկի տարրերը՝ $\ker \,d$ ցիկլ, պատկերի տարրերը՝ $\mathrm {Im} \,d$ սահմանային:

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հանրահաշվական համակարգ

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7:

Ծանոթագրություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

↑ Աբելյան խումբ — статья из Математической энциклопедии. Ю. Л. Ершов

[1] Աբելյան խումբ — статья из Математической энциклопедии. Ю. Л. Ершов

[1]