Հոհմանի փոխանցման ուղեծիր

Հոհմանի փոխանցման ուղեծիրը ուղեծրային մանևր է, որն օգտագործվում է տիեզերանավը կենտրոնական մարմնի շուրջ տարբեր բարձրությունների վրա գտնվող երկու ուղեծրերի միջև տեղափոխելու համար։ Օրինակ, Հոհմանի փոխանցումը կարող է օգտագործվել արբանյակի ուղեծիրը ցածր մերձերկրյա ուղեծրից բարձրացնելու գեոհաստատուն ուղեծիր: Իդեալական դեպքում, և սկզբնական և նպատակային ուղեծրերը երկուսն էլ շրջանաձև և համահարթ են: Մանևրը իրականացվում է տիեզերանավը էլիպտիկ փոխանցման ուղեծիր տեղադրելով, որը շոշափող է սկզբնական և նպատակային ուղեծրերին: Մանևրը օգտագործում է երկու իմպուլսային շարժիչի այրում. առաջինը տեղադրում է տիեզերանավը փոխանցման ուղեծիր, իսկ երկրորդը տեղադրում այն նպատակային ուղեծիր:

Հոհմանի մանևրը հաճախ օգտագործում է իմպուլսի հնարավոր ամենացածր քանակը՝ փոխանցումն իրականացնելու համար, բայց պահանջում է համեմատաբար ավելի երկար ճանապարհորդության ժամանակ, քան բարձր իմպուլսային փոխանցումները: Որոշ դեպքերում, երբ մեկ ուղեծիրը շատ ավելի մեծ է, քան մյուսը, երկէլիպտիկ փոխանցումը կարող է օգտագործել նույնիսկ ավելի քիչ իմպուլս՝ ավելի մեծ ճանապարհորդության ժամանակի գնով։

Այս մանևրը անվանվել է Վալտեր Հոհմանի անունով, գերմանացի գիտնականի անունով, որը դրա նկարագրությունը հրապարակել է իր 1925 թվականի «Die Erreichbarkeit der Himmelskörper» («Երկնային մարմինների հասանելիությունը») գրքում^[1]: Հոհմանի վրա մասամբ ազդեցություն են ունեցել գերմանացի գիտաֆանտաստիկ գրող Կուրդ Լասվիցը և նրա 1897 թվականի «Երկու մոլորակ» գիրքը։

Հոհմանի փոխանցման ուղեծիրը երկնային մարմինների միջև ճանապարհորդելու համար օգտագործելիս, պահանջում է, որ մեկնարկային և նպատակակետային կետերը լինեն միմյանց նկատմամբ իրենց ուղեծրերի որոշակի վայրերում: Հոհմանի փոխանցումն օգտագործող տիեզերանավերը պետք է սպասեն այս պահանջվող համընկնմանը, որը բացում է մեկնարկի պատուհան: Օրինակ՝ Երկրի և Մարսի միջև առաքելության համար այս մեկնարկային պատուհանները տեղի են ունենում յուրաքանչյուր 26 ամիսը մեկ: Հոհմանի փոխանցման ուղեծիրը նաև որոշում է մեկնարկային և նպատակակետային կետերի միջև ճանապարհորդելու համար անհրաժեշտ ֆիքսված ժամանակ. Երկիր-Մարս ճանապարհորդության համար այս ճանապարհորդության ժամանակը մոտ 9 ամիս է: Երբ փոխանցումը կատարվում է զգալի ձգողականություն ունեցող երկնային մարմինների մոտ գտնվող ուղեծրերի միջև, սովորաբար պահանջվում է շատ ավելի քիչ դելտա-վ, քանի որ այրումների համար կարող է օգտագործվել Օբերտի էֆեկտի կիրառմամբ:

Հոհմանի փոխանցման մանևրները նույնպես հաճախ օգտագործվում են միջմոլորակային առաքելություններում, սակայն ցածր էներգիայով փոխանցումը, որը հաշվի է առնում իրական շարժիչների հրող ուժի սահմանափակումները և օգտագործում է երկու մոլորակների ձգողականության հորերը, կարող է ավելի վառելիքային խնայողություն ունենալ^[2]^[3]^[4]:

Օրինակ

Դիագրամը ցույց է տալիս Հոհմանի փոխանցման ուղեծիրը՝ տիեզերանավը ցածր շրջանաձև ուղեծրից ավելի բարձր տեղափոխելու համար։ Այն էլիպտիկ ուղեծիր է, որը շոշափում է ինչպես ստորին շրջանաձև ուղեծիրը, որից տիեզերանավը պետք է դուրս գա (երկնագույն, դիագրամում նշված է «1»), այնպես էլ ավելի բարձր շրջանաձև ուղեծիրը, որին այն պետք է հասնի (կարմիր, դիագրամում նշված է «3»)։ Փոխանցման ուղեծիրը (դեղին, դիագրամում նշված է «2») սկսվում է տիեզերանավի շարժիչը միացնելով՝ էներգիա ավելացնելու և ապոապսիսը բարձրացնելու համար։ Երբ տիեզերանավը հասնում է ապոապսիսին, երկրորդ շարժիչի միացումը էներգիա է ավելացնում պերիապսիսը բարձրացնելու համար, արդյունքում տիեզերանավը տեղադրում է ավելի մեծ շրջանաձև ուղեծրի վրա։

Նմանատիպ Հոհմանի փոխանցման ուղեծիր կարող է օգտագործվել տիեզերանավը բարձր ուղեծրից ավելի ցածր ուղեծիր տեղափոխելու համար։ Այս դեպքում տիեզերանավի շարժիչը գործարկվում է իր ընթացիկ ուղու հակառակ ուղղությամբ՝ դանդաղեցնելով տիեզերանավը և իջեցնելով էլիպտիկ փոխանցման ուղեծրի պերիապսիսը մինչև ստորին թիրախային ուղեծրի բարձրությունը։ Այնուհետև շարժիչը կրկին գործարկվում է ցածր բարձրության վրա՝ տիեզերանավը դանդաղեցնելու համար դեպի ստորին շրջանաձև ուղեծիր։

Հոհմանի փոխանցման ուղեծիրը հիմնված է երկու ակնթարթային արագության փոփոխություններ վրա։ Շարժիչների այրման ժամանակի տևողությունը փոխհատուցելու համար անհրաժեշտ է լրացուցիչ վառելիք. սա նվազագույնի է հասցվում բարձր հրող ուժով շարժիչների օգտագործմամբ՝ այրումների տևողությունը նվազագույնի հասցնելու համար։ Երկրի ուղեծրում տեղափոխությունների դեպքում երկու այրումները կոչվում են «պերիգեյի այրում» և «ապոգեյի այրում» (կամ ապոգեյի հարված^[5]), ավելի ընդհանուր առմամբ, Երկրից դուրս գտնվող մարմինների համար դրանք կոչվում են «պերիապսիս» և «ապոապսիս» այրումներ: Այլընտրանքորեն, ուղեծիրը շրջանաձև դարձնելու համար երկրորդ այրումը կարող է անվանվել «շրջանաձև այրում»։

1-ին և 2-րդ տիպերի

Իդեալական Հոհմանի փոխանցման ուղեծիրը տեղափոխվում է նույն հարթության երկու շրջանաձև ուղեծրերի միջև և անցնում է ուղիղ 180°-ով կենտրոնական մարմնի շուրջը։ Իրականում նպատակակետի ուղեծիրը կարող է շրջանաձև չլինել և համահարթ լինել սկզբնական ուղեծրի հետ։ Իրական աշխարհում փոխանցման ուղեծրերը կարող են անցնել մի փոքր ավելի կամ մի փոքր պակաս, քան 180°-ով կենտրոնական մարմնի շուրջը։ Ուղեծիրը, որը անցնում է 180°-ից պակաս անկյունով գլխավորի շուրջը, կոչվում է «1-ին տիպի» Հոհմանի փոխանցում, մինչդեռ ուղեծիրը, որը անցնում է ավելի քան 180°-ով, կոչվում է «2-րդ տիպի» Հոհմանի փոխանցում^[6]^[7]:

Փոխանցման ուղեծրերը կարող են պտտվել ավելի քան 360°-ով առաջնային աստղի շուրջ։ Այս բազմակի պտույտներով փոխանցումները երբեմն անվանում են 3-րդ և 4-րդ տիպեր, որտեղ 3-րդ տիպը 1-ինն է գումարած 360°, իսկ 4-րդ տիպը՝ 2-րդը գումարած 360°^[8]:

Կիրառումներ

Հոհմանի փոխանցման ուղեծիրը կարող է օգտագործվել որևէ մարմնի ուղեծիրը մեկ այլ մարմնի վրա տեղափոխելու համար, եթե դրանք համատեղ պտտվում են ավելի մեծ մարմնի շուրջ: Երկրի և Արեգակնային համակարգի համատեքստում սա ներառում է ցանկացած մարմին, որը պտտվում է Արեգակի շուրջ: Հոհմանի փոխանցման ուղեծրի օրինակ կարող է լինել Արեգակի շուրջ պտտվող աստերոիդը Երկրի մոտ հասցենլը^[9]:

Հաշվարկ

Մեկ այլ շատ ավելի մեծ մարմնի շուրջ պտտվող փոքր մարմնի համար, օրինակ՝ Երկրի շուրջ պտտվող արբանյակի համար, փոքր մարմնի ընդհանուր էներգիան նրա կինետիկ էներգիայի և պոտենցիալ էներգիայի գումարն է, և այս ընդհանուր էներգիան նաև հավասար է միջին հեռավորության $a$ վրա պոտենցիալի կեսին։ $E={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {-GMm}{2a}}.$

Այս արագության հավասարումը լուծելիս ստացվում է հետևյալ հավասարումը, $v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),$ որտեղ՝

$v$ -ը ուղեծրային մարմնի արագությունն է,
$\mu =GM$ -ը հիմնական մարմնի ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետրը է, ենթադրելով, որ $M+m$ -ը զգալիորեն մեծ չէ $M$ -ից (ինչը կազմում է $v_{M}\ll v$ ), (Երկիրի համար սա μ~3.986E14 մ³ վ⁻²)
$r$ -ը ուղեծրային մարմնի հեռավորությունն է հիմնական կիզակետից,
$a$ -ը մարմնի ուղեծրի մեծ կիսաառանցքն է։

Հետևաբար, Հոհմանի փոխանցման համար անհրաժեշտ Դելտա-v-ն (Δv) կարող է հաշվարկվել հետևյալ կերպ՝ ակնթարթային իմպուլսների ենթադրությամբ՝ \Delta v_1 = \sqrt{\frac{\mu}{r_1}} \left( \sqrt{\frac{2 r_2}{r_1+r_2}} - 1 \right),</math> էլիպտիկ ուղեծիր մտնելու համար $r=r_{1}$ ՝ $r_{1}$ շրջանաձև ուղեծրից, որտեղ $r_{2}$ -ը ստացված էլիպտիկ ուղեծրի աֆելիոնն է, իսկ \Delta v_2 = \sqrt{\frac{\mu}{r_2}} \left(1 - \sqrt{\frac{2 r_1}{r_1+r_2}}\right), </math> էլիպտիկ ուղեծրից դուրս գալ $r=r_{2}$ կետում դեպի $r_{2}$ շրջանաձև ուղեծիր, որտեղ $r_{1}$ -ը և $r_{2}$ -ը համապատասխանաբար մեկնման և ժամանման շրջանաձև ուղեծրերի շառավիղներն են։ $r_{1}$ -ից և $r_{2}$ -ից փոքրը համապատասխանում է Հոհմանի էլիպտիկ փոխանցման ուղեծրի պերիապսիսի հեռավորությունին: Սովորաբար $\mu$ -ն չափվում է մ³/վ² միավորներով, ուստի համոզվեք, որ $r_{1}$ -ի և $r_{2}$ -ի համար օգտագործում եք մետրեր, այլ ոչ թե կիլոմետրեր։ Այնուհետև ընդհանուր $\Delta v$ -ը կլինի՝

$\Delta v_{\text{total}}=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}.$

Անկախ նրանից՝ շարժվում ենք դեպի ավելի բարձր, թե ավելի ցածր ուղեծիր, Կեպլերի երրորդ օրենքի համաձայն, ուղեծրերի միջև տեղափոխման ժամանակը կազմում է

$t_{\text{H}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {4\pi ^{2}a_{\text{H}}^{3}}{\mu }}}=\pi {\sqrt {\frac {(r_{1}+r_{2})^{3}}{8\mu }}}$ (ամբողջ էլիպսի ուղեծրային պարբերության կեսը), որտեղ $a_{\text{H}}$ -ը Հոհմանի փոխանցման ուղեծրի մեծ կիսաառանցքի երկարությունն է։

Մեկ երկնային մարմնից մյուսը տեղափոխվելու համար կարևոր է սկսել մանևրը այն պահին, երբ երկու մարմինները ճիշտ դասավորված են։ Հաշվի առնելով, որ թիրախային անկյունային արագությունը հետևյալն է՝ $\omega _{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}^{3}}}},$ սկզբի պահին սկզբնական օբյեկտի և թիրախային օբյեկտի միջև անկյունային դասավորվածությունը α (ռադիաններով) պետք է լինի $\alpha =\pi -\omega _{2}t_{\text{H}}=\pi \left(1-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}+1\right)^{3}}}\right).$

Օրինակ

Դիտարկենք գեոհաստատուն փոխանցման ուղեծիր, որը սկսվում է r₁ = 6678 կմ (բարձրությունը՝ 300 կմ) և ավարտվում է գեոհաստատուն ուղեծրով՝ r₂ = 42164 կմ (բարձրությունը՝ 35786 կմ) չափերով։

Ավելի փոքր շրջանաձև ուղեծրում արագությունը 7,73 կմ/վ է, իսկ ավելի մեծում՝ 3,07 կմ/վ։ Էլիպտիկ ուղեծրում արագությունը տատանվում է 10,15 կմ/վ-ից պերիգեյում մինչև 1,61 կմ/վ ապոգեյում։

Հետևաբար, առաջին այրման Δv-ն կազմում է 10,15-7,73 = 2,42 կմ/վ, երկրորդ այրմանը՝ 3,07-1,61 = 1,46 կմ/վ, իսկ երկուսի համար միասին՝ 3,88 կմ/վ։

Սա «ավելի մեծ» է, քան փախուստի ուղեծրի համար անհրաժեշտ Δv-ն՝ 10,93-7,73 = 3,20 կմ/վ։ Ցածր մերձերկրյա ուղեծրում ընդամենը 0,78 կմ/վրկ ավելի (3,20−2,42) Δv-ի կիրառումը հրթիռին կտա փախուստի արագություն, որը փոքր է գեոսինքրոն ուղեծիրը շրջանաձև դարձնելու համար անհրաժեշտ 1,46 կմ/վրկ Δv-ից։ Սա ցույց է տալիս Օբերտի էֆեկտը, ըստ որի մեծ արագությունների դեպքում նույն Δv-ն ապահովում է ավելի շատ տեսակարար ուղեծրային էներգիա, և էներգիայի աճը մաքսիմալացվում է, եթե Δv-ն ծախսվում է որքան հնարավոր է արագ։

Վատագույն դեպքում, առավելագույն դելտա-v

Ինչպես ցույց է տալիս վերը նշված օրինակը, երկու շրջանաձև ուղեծրերի միջև Հոհմանի փոխանցում կատարելու համար անհրաժեշտ Δv-ն ամենամեծը չէ, երբ նպատակակետի շառավիղը անսահման է։ (Փախուստի արագությունը √2 անգամ մեծ է ուղեծրի արագությունից, ուստի փախուստի համար անհրաժեշտ Δv-ն √2-1 է) Պահանջվող Δv-ն ամենամեծն է, երբ ավելի մեծ ուղեծրի շառավիղը 15.5817 անգամ մեծ է փոքր ուղեծրի շառավղից^[10]: Այս թիվը $x 3 - 15 x 2 -9 x - 1 = 0$ դրական արմատն է, որը ${\textstyle 5+4\,{\sqrt {7}}\cos \left({1 \over 3}\arctan {{\sqrt {3}} \over 37}\right)}$ է։ Ավելի բարձր ուղեծրային հարաբերակցությունների դեպքում երկրորդ այրման համար անհրաժեշտ $Δ v$ -ն նվազում է ավելի արագ, քան ավելանում է առաջինի համար անհրաժեշտ $Δ v$ -ն։

Տես նաև

Ծանոթագրություններ

↑ Walter Hohmann, The Attainability of Heavenly Bodies (Washington: NASA Technical Translation F-44, 1960).
↑ Williams, Matt (2014 թ․ դեկտեմբերի 26). «Making the Trip to Mars Cheaper and Easier: The Case for Ballistic Capture». Universe Today (ամերիկյան անգլերեն). Վերցված է 2019 թ․ հուլիսի 29-ին.
↑ Hadhazy, Adam. «A New Way to Reach Mars Safely, Anytime and on the Cheap». Scientific American (անգլերեն). Վերցված է 2019 թ․ հուլիսի 29-ին.
↑ «An Introduction to Beresheet and Its Trajectory to the Moon». Gereshes (ամերիկյան անգլերեն). 2019 թ․ ապրիլի 8. Վերցված է 2019 թ․ հուլիսի 29-ին.
↑ Jonathan McDowell, "Kick In the Apogee: 40 years of upper stage applications for solid rocket motors, 1957-1997", 33rd AIAA Joint Propulsion Conference, July 4, 1997. abstract. Retrieved 18 July 2017.
↑ NASA, Basics of Space Flight, Section 1, Chapter 4, "Trajectories". Retrieved 26 July 2017. Also available spaceodyssey.dmns.org Արխիվացված 2017-07-28 Wayback Machine.
↑ Tyson Sparks, Trajectories to Mars Արխիվացված 2017-10-28 Wayback Machine, Colorado Center for Astrodynamics Research, 12/14/2012. Retrieved 25 July 2017.
↑ Langevin, Y. (2005). "Design issues for Space Science Missions," Payload and Mission Definition in Space Sciences, V. Mártínez Pillet, A. Aparicio, and F. Sánchez, eds., Cambridge University Press, p. 30. 052185802X, 9780521858021
↑ Calla, Pablo; Fries, Dan; Welch, Chris (2018). «Asteroid mining with small spacecraft and its economic feasibility». arXiv:1808.05099 [astro-ph.IM].
↑ Vallado, David Anthony (2001). Fundamentals of Astrodynamics and Applications. Springer. էջ 317. ISBN 0-7923-6903-3.

Գրականություն

«Orbital Mechanics». Rocket and Space Technology. Robert A. Braeunig. Արխիվացված է օրիգինալից 2012 թ․ փետրվարի 4-ին. Վերցված է 2005 թ․ օգոստոսի 17-ին.
«4. Interplanetary Trajectories». Basics of Spaceflight. JPL: NASA. 2023 թ․ հուլիսի 20.

Արտաքին հղումներ

Bate, R. R.; Mueller, D.D.; White, J.E. (1971). Fundamentals of Astrodynamics. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60061-1.
Battin, R .H. (1999). An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics. Washington, DC: American Institute of Aeronautics & Ast. ISBN 978-1-56347-342-5.
Hohmann, Walter (1994) [1925]. Die Erreichbarkeit der Himmelskörper. Munich: R. Oldenbourg Verlag. ISBN 3-486-23106-5.
Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40896-6.
Vallado, D. A. (2001). Fundamentals of Astrodynamics and Applications (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-7923-6903-5.

[1] Walter Hohmann, The Attainability of Heavenly Bodies (Washington: NASA Technical Translation F-44, 1960).

[2] Williams, Matt (2014 թ․ դեկտեմբերի 26). «Making the Trip to Mars Cheaper and Easier: The Case for Ballistic Capture». Universe Today (ամերիկյան անգլերեն). Վերցված է 2019 թ․ հուլիսի 29-ին.

[3] Hadhazy, Adam. «A New Way to Reach Mars Safely, Anytime and on the Cheap». Scientific American (անգլերեն). Վերցված է 2019 թ․ հուլիսի 29-ին.

[4] «An Introduction to Beresheet and Its Trajectory to the Moon». Gereshes (ամերիկյան անգլերեն). 2019 թ․ ապրիլի 8. Վերցված է 2019 թ․ հուլիսի 29-ին.

[5] Jonathan McDowell, "Kick In the Apogee: 40 years of upper stage applications for solid rocket motors, 1957-1997", 33rd AIAA Joint Propulsion Conference, July 4, 1997. abstract. Retrieved 18 July 2017.

[NASA-trajectories-6] NASA, Basics of Space Flight, Section 1, Chapter 4, "Trajectories". Retrieved 26 July 2017. Also available spaceodyssey.dmns.org Արխիվացված 2017-07-28 Wayback Machine.

[7] Tyson Sparks, Trajectories to Mars Արխիվացված 2017-10-28 Wayback Machine, Colorado Center for Astrodynamics Research, 12/14/2012. Retrieved 25 July 2017.

[8] Langevin, Y. (2005). "Design issues for Space Science Missions," Payload and Mission Definition in Space Sciences, V. Mártínez Pillet, A. Aparicio, and F. Sánchez, eds., Cambridge University Press, p. 30. 052185802X, 9780521858021

[9] Calla, Pablo; Fries, Dan; Welch, Chris (2018). «Asteroid mining with small spacecraft and its economic feasibility». arXiv:1808.05099 [astro-ph.IM].

[10] Vallado, David Anthony (2001). Fundamentals of Astrodynamics and Applications. Springer. էջ 317. ISBN 0-7923-6903-3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]