Հիպերբոլիկ հետագիծ

Այս պատկերում կապույտ հետագիծը հիպերբոլիկ հետագծի օրինակ է՝ մեկից մեծ ուղեծրային էքսցենտրիսիտետով՝ e

Հիպերբոլիկ հետագիծը կամ հիպերբոլիկ ուղեծիրը, աստղադինամիկայում կամ երկնային մեխանիկայում կենտրոնական մարմնի շուրջ ցանկացած մարմնի հետագիծն է, երբ այդ մարմինն ունի բավարար արագություն կենտրոնական մարմնի գրավիտացիոն դաշտից դուրս գալու համար։ Հետագիծն նկարագրվում է ուղեծրային էքսցենտրիսիտետով, որը 1-ից մեծ թիվ է։

Պարզ դեպքում այս հետագծով շարժվող մարմինը կշարժվի դեպի անվերջություն՝ շարժվելով կենտրոնական մարմնի նկատմամբ վերջնական արագությամբ։ Պարաբոլիկ հետագծերի նման, բոլոր հիպերբոլիկ հետագծերը նույնպես փախուստի հետագծեր են։ Հիպերբոլիկ հետագծի տեսակարար ուղեծրային էներգիան դրական է։

Մոլորակների մոտով անցումները, որոնք օգտագործվում են գրավիտացիոն պարսատիկի էֆեկտի համար, կարող են դիտարկվել մոլորակի կողմից որպես հիպերբոլիկ հետագծեր։

Հիպերբոլիկ հետագիծը նկարագրող պարամետրեր

Ինչպես էլիպտիկ ուղեծիրը, տրված համակարգի հիպերբոլիկ հետագիծը կարող է սահմանվել նրա կիսաառանցքով և էքսցենտրիսիտետով։ Սակայն հիպերբոլիկ ուղեծրի դեպքում այլ պարամետրեր կարող են ավելի օգտակար լինել մարմնի շարժումը հասկանալու համար։ Հետևյալ աղյուսակում ներկայացված են հիմնական պարամետրերը և նրանց նկարագրող բանաձևերը՝

Հիպերբոլիկ հետագծի բանաձևեր

Պարամետր	Սիմվոլ	Բանաձև	կիրառելով $v_{\infty }$ (կամ $a$), կամ $b$
Ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետր	$\mu \,$	${\frac {v^{2}}{(2/r-1/a)}}$	$bv_{\infty }^{2}\cot \theta _{\infty }$
Էքսցենտրիսիտետ (>1)	$e$	${\frac {\ell }{r_{p}}}-1$	${\sqrt {1+b^{2}/a^{2}}}$
Մեծ կիսաառանցք (<0)	$a\,\!$	$1/(2/r-v^{2}/\mu )$	$-\mu /v_{\infty }^{2}$
Հիպերբոլիկ ավելցուկային արագություն	$v_{\infty }$	${\sqrt {-\mu /a}}$
(Արտաքին) Ասիմպտոտների միջև անկյունը	$2\theta _{\infty }$	$2\cos ^{-1}(-1/e)$	$\pi +2\tan ^{-1}(b/a)$
Ասիմպտոտների և մոտեցման հիպերբոլիկ ուղու համակցված առանցքի միջև անկյունը	$2\nu$	$2\theta _{\infty }-\pi$	$2\sin ^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{(1+r_{p}v_{\infty }^{2}/\mu )}}{\bigg )}$
Հարվածի պարամետր (Փոքր կիսաառանցք)	$b$	$-a{\sqrt {e^{2}-1}}$	${\displaystyle }$
Կիսաֆոկալ առանցք	$\ell$	$a(1-e^{2})$	$-b^{2}/a=h^{2}/\mu$
Պերիապսիսի հեռավորություն	$r_{p}$	$-a(e-1)$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a$
Տեսակարար ուղեծրային էներգիա	$\varepsilon$	$-\mu /2a$	$v_{\infty }^{2}/2$
Տեսակարար անկյունային մոմենտ	$h$	${\sqrt {\mu \ell }}$	$bv_{\infty }$
Ժամանակի ընթացքում անցած տարածքը	${\frac {\Delta A}{\Delta t}}$	${\frac {h}{2}}$

Մեծ կիսաառանցք, էներգիա և հիպերբոլիկ ավելցուկային արագություն

Մեծ կիսաառանցքը ($a\,\!$) անմիջապես տեսանելի չէ հիպերբոլիկ հետագծով, բայց կարող է կառուցվել որպես պերիապսիսից մինչև երկու ասիմպտոտների հատման կետը ընկած հեռավորությունը։ Սովորաբար, համաձայն ընդունված կանոնի, այն բացասական է՝ էլիպտիկ ուղեծրերի հետ տարբեր հավասարումները համապատասխանեցնելու համար։

Մեծ կիսաառանցքը ուղղակիորեն կապված է ուղեծրի տեսակարար ուղեծրային էներգիայի ($\epsilon \,$) կամ բնութագրող էներգիայի ($C_{3}$) հետ, և այն արագության հետ, որին մարմինը հասնում է, երբ հեռավորությունը ձգտում է անվերջության` հիպերբոլիկ ավելցուկային արագություն ($v_{\infty }\,\!$)։

$v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a$ կամ $a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}$

որտեղ՝ $\mu =Gm\,\!$-ն ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետրն է, իսկ $C_{3}$-ն բնութագրող էներգիան, որը սովորաբար օգտագործվում է միջմոլորակային առաքելությունների պլանավորման ժամանակ։

Պետք է հաշվի առնել, որ ընդհանուր էներգիան դրական է հիպերբոլիկ հետագծի դեպքում (մինչդեռ այն բացասական է էլիպտիկ ուղեծրի դեպքում)։

Էքսցենտրիսիտետը և մոտեցման ու մեկնման միջև անկյունը

Հիպերբոլիկ հետագծի դեպքում ուղեծրի էքսցենտրիսիտետը մեծ է 1-ից: Էքսցենտրիսիտետը ուղղակիորեն կապված է ասիմպտոտների միջև եղած անկյան հետ: 1-ից մի փոքր մեծ էքսցենտրիսիտետի դեպքում հիպերբոլան սուր «V»-աձև տեսք ունի: $e={\sqrt {2}}$ դեպքում ասիմպտոտները գտնվում են ուղիղ անկյան տակ: $e>2$ դեպքում ասիմպտոտները գտնվում են միմյանցից ավելի քան 120° հեռավորության վրա, իսկ պերիապսիսի հեռավորությունը մեծ է մեծ կիսաառանցքից: Էքսցենտրիկության հետագա աճին հետ հետագիծը մոտենում է ուղիղ գծի:

Պերիապսիսի ուղղության և կենտրոնական մարմնից ասիմպտոտի միջև ընկած անկյունը իրական անոմալիան է, քանի որ հեռավորությունը ձգտում է անվերջության ($\theta _{\infty }\,$), հետևաբար $2\theta _{\infty }\,$-ն մոտեցման և մեկնման ուղղությունների (ասիմպտոտների միջև) միջև արտաքին անկյունն է։ Այնուհետև`

$\theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,$ կամ $e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,$

Հարվածի պարամետրը և ամենամոտ մոտեցման հեռավորությունը

Հիպերբոլիկ հետագծեր, որոնցով անցում է կատարվում կենտրոնական մարմնի (փոքր կետ) մոտով նույն հիպերբոլիկ ավելցուկային արագությամբ (և մեծ կիսաառանցքով (=1)) և նույն ուղղությամբ, բայց տարբեր հարվածի պարամետրերով և էքսցենտրիսիտետներով: Դեղին գիծն անցնում է կենտրոնական կետի շուրջը՝ մոտենալով դրան:

Հարվածի պարամետրը այն հեռավորությունն է, որով մարմինը, եթե շարունակի շարժվել անխափան հետագծով, կխուսափի կենտրոնական մարմինից իր ամենամոտ մոտեցման պահին: Երբ մարմինները ենթարկվում են գրավիտացիոն ուժերի ազդեցության և հետևում են հիպերբոլիկ հետագծերով, այն հավասար է հիպերբոլայի փոքր կիսաառանցքին:

Տիեզերանավի կամ գիսաստղի մոլորակին մոտենալու դեպքում, հարվածի պարամետրը և ավելցուկային արագությունը ճշգրիտ հայտնի կլինեն: Եթե կենտրոնական մարմինը հայտնի է, այժմ կարելի է գտնել հետագիծը, ներառյալ, թե որքան մոտ կլինի մոտեցող մարմինը պերիապսիսում: Եթե այն փոքր է մոլորակի շառավղից, ապա պետք է սպասել հարված: Ամենամոտ մոտեցման հեռավորությունը, կամ պերիապսիսի հեռավորությունը, տրվում է հետևյալ կերպ՝

$r_{p}=-a(e-1)={\frac {\mu }{v_{\infty }^{2}}}\left({\sqrt {1+\left(b{\frac {v_{\infty }^{2}}{\mu }}\right)^{2}}}-1\right)$

Այսպիսով, եթե Երկրին (շառավիղ՝ ~6400 կմ) մոտեցող գիսաստղը 12.5 կմ/վ արագությամբ (արտաքին Արեգակնային համակարգից եկող մարմինների շարժման մոտավոր նվազագույն արագությունը) և անհրաժեշտ է որ այն խուսափի բախվել Երկրի հետ, ապա հարվածի պարամետրը պետք է լինի առնվազն 8600 կմ, կամ Երկրի շառավղից 34%-ով ավելի։

Արտաքին Արեգակնային համակարգից Յուպիտերին (շառավիղ՝ 70000 կմ) 5.5 կմ/վ արագությամբ մոտեցող մարմնի համար մոլորակի հետ բախումից խուսափելու համար հարվածի պարամետրը պետք է լինի առնվազն 770 000 կմ կամ Յուպիտերի շառավղի 11-ապատիկը։

Եթե կենտրոնական մարմնի զանգվածը հայտնի չէ, ապա դրա ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետրը, և, հետևաբար, զանգվածը, կարող է որոշվել ավելի փոքր մարմնի շեղմամբ՝ հարվածի պարամետրի և մոտեցման արագության հետ միասին։ Քանի որ սովորաբար այս բոլոր փոփոխականները կարող են ճշգրիտ որոշվել, տիեզերանավի անցման պարամետրները թույլ կտան ճշգրիտ որոշել մարմնի զանգվածը։

$\mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2$ որտեղ $\delta =2\theta _{\infty }-\pi$ այն անկյունն է, որով փոքր մարմինը շեղվում է ուղիղ գծից իր ընթացքի ընթացքում։

Տես նաև

• Ուղեծիր
• Ուղեծրի հավասարում
• Կեպլերի ուղեծիր
• Անցում մոլորակի մոտով
• Հիպերբոլիկ աստերոիդ

Արտաքին հղումներ

• Հետագծեր
• Ուղեծրեր
• Ուղեծրային մեխանիկա