Հինդու-արաբական թվային համակարգ
| Թվային համակարգեր |
|---|
 |
| Հինդու-արաբական թվային համակարգ |
|
• Արևմտյան արաբական • Արևելյան արաբական • Հնդկական (Բենգալյան • Գուրմուխի • Սինհալա • Թամիլական) • Բալիական • Բիրմայական • Ձոնգխա • Ջավայական • Քհմերական • Լաոսական • Մոնղոլական • Թայլանդական |
| Արևելյան Ասիա |
|
• Չինական
• Հոքիեն • Ճապոնական • Կորեական • Վիետնամական • Հաշվողական փայտիկներ |
| Այբբենական |
|
• Աբջադիա
• Արյաբհաթա
• Կյուրեղյան
• |
| Նախկին |
|
• Եգեյան
• Ատտիկայի
• Բաբելոնյան
• Բրահմայական
• |
| Դիրքային համակարգեր ըստ հիմքի |
|
• 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 8 • 10 • 12 • 16 • 20 • 60 • Նախապատմական |
| Այլ |
| Տեղեկատվության չափում |
| Մաթեմատիկա | ||
|---|---|---|
|
|
||
| Պորտալ | ||
Հինդու-արաբական թվային համակարգ (անգլ.՝ Hindu–Arabic numeral system) (նաև հայտնի որպես ինդո-արաբական թվային համակարգ[1], հնդկական թվերի համակարգ կամ արաբական թվային համակարգ)[2], դիրքային, տասնորդական հիմքով հաշվարկման համակարգ ամբողջ թվերը ներկայացնելու համակարգ։ Դրա ընդլայնումը՝ ոչ ամբողջ թվերի համար, հայտնի է որպես տասնորդական թվային համակարգ, որը ներկայումս ամենատարածվածն է աշխարհում։
Այս համակարգը ստեղծվել է հնդիկ մաթեմատիկոսների կողմից՝ մ.թ. I-ից IV դարերի միջև։ IX դարում այն որդեգրվել է արաբ մաթեմատիկոսների կողմից, որոնք այն զարգացրել են՝ ներառելով կոտորակները։ Համակարգը առավել լայնորեն հայտնի դարձավ պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ-Խորեզմի «Հաշվարկ հնդկական թվերով» և արաբ մաթեմատիկոս Ալ-Քինդիի «Հնդկական թվերի օգտագործման մասին» աշխատությունների շնորհիվ, որոնք գրվել են արաբերենով[3]։ Միջնադարյան Եվրոպայում համակարգը տարածվել է ուշ միջնադարում՝ հատկապես Ֆիբոնաչիի XIII դարի «Liber Abaci» գրքի միջոցով։ Մինչ տպագրական մամուլի զարգացմանը XV դարում, Եվրոպայում այս համակարգի օգտագործումը հիմնականում սահմանափակված էր Հյուսիսային Իտալիայով[4]։
Համակարգը հիմնված է տասը սիմվոլների վրա, որոնք ներկայացնում են 0-ից 9 թվերը և հնարավորություն են տալիս յուրաքանչյուր բնական թիվ արտահայտել դրանց յուրահատուկ հաջորդականությամբ։ Այս նշանները, սկզբունքորեն, անկախ են հենց համակարգից։ Գործածվող նշանները ծագում են Բրահմի թվերից և միջնադարից ի վեր ենթարկվել են տարբեր տիպոգրաֆիկ փոփոխությունների։
Այս սիմվոլների համակարգերը պայմանականորեն բաժանվում են երեք հիմնական խմբերի.
- Արևմտյան արաբական թվեր՝ կիրառվում են Մեծ Մաղրեբում և Եվրոպայում,
- Արևելյան արաբական թվեր՝ կիրառվում են Մերձավոր Արևելքում,
- Հնդկական թվեր՝ տարբեր գրային համակարգերում՝ Հնդկական ենթամայրցամաքում։
Ծագումնաբանություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Իններորդ դարում՝ մ․թ․ 600 թվականին, Հնդկաստանի և Հարավարևելյան Ասիայի Բրահմի տառաձևերից բխած գրություններում թվերի գրառման ձևում տեղի ունեցավ փոփոխություն․ նախկինում օգտագործվող հավելումային համակարգից, որտեղ տարբեր մեծությունների համար օգտագործվում էին առանձին թվանշաններ, անցում կատարվեց դիրքային համակարգի, որտեղ մեկ ամբողջական հավաքածուով նշաններ էին օգտագործվում 1-ից 9 թվերի համար, և կետ՝ զրոյի համար։ Այս նոր համակարգը աստիճանաբար փոխարինեց հավելումային թվանշանային գրառումները դարերի ընթացքում[5]։
Երբ այս համակարգը որդեգրվեց և ընդլայնվեց միջնադարյան արաբների և պարսիկների կողմից[6], այն կոչվեց ալ-հիսաբ ալ-հինդի («հնդկական հաշվարկ»): Այս թվանշանները աստիճանաբար սկսեցին օգտագործվել Եվրոպայում 10-րդ դարից սկսած[7]՝ հավանաբար փոխանցվել էր արաբ վաճառականների միջոցով[8]։ Միջնադարյան և Վերածննդի ժամանակաշրջանի եվրոպացի մաթեմատիկոսները հիմնականում ճանաչում էին այս թվանշանների հնդկական ծագումը, թեև մի քանի ազդեցիկ աղբյուրներ դրանք վերագրում էին արաբներին, և արդյունքում Եվրոպայում դրանք լայն տարածում ստացան որպես «արաբական թվանշաններ»[9]։
Ըստ որոշ աղբյուրների՝ այս թվային համակարգը կարող էր ծագել նաև չինական Շանգի թվանշաններից (մ․թ․ա․ 1200 թ.), որը նույնպես տասնական դիրքային թվային համակարգ էր[9]։
Դիրքային թվային համակարգ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Հինդու-արաբական թվանշանային համակարգը նախատեսված է տասնորդական համակարգում դիրքային գրառման համար։ Այս համակարգի ավելի զարգացած տարբերակում օգտագործվում է նաև տասնորդական տրոհիչ (սկզբում նշան էր միավորների թվանշանի վերևում, սակայն այժմ ավելի հաճախ օգտագործվում է կետ կամ ստորակետ՝ միավորների և տասներորդականների միջև տարանջատման համար), ինչպես նաև հատուկ նշան «այս թվանշանները անվերջ կրկնվում են» արտահայտելու համար։ Ժամանակակից օգտագործման մեջ այդ վերջին նշանը սովորաբար հորիզոնական գիծ է (վինկուլում), որը տեղադրվում է կրկնվող թվանշանների վերևում։ Այս զարգացած ձևով թվանշանային համակարգը կարող է արտահայտել ցանկացած ռացիոնալ թիվ՝ օգտագործելով միայն 13 նշան՝ 10 թվանշան (0–9), տասնորդական առանձնացուցիչ, վինկուլում և նախորդող մինուս նշան բացասական թվի համար։
Չնայած այն հաճախ օգտագործվում է արաբական այբբենական գրության մեջ, որը գրվում է աջից ձախ, այս թվանշաններով գրած թվերը դասավորվում են այնպես, որ առավել կարևոր թվանշանը (ամենաբարձր կարգի) լինի ձախ կողմում՝ թվերը ընթերցվում են ձախից աջ։ Սակայն թվերը երբեմն չեն արտասանվում հենց այդ կարգով՝ մեծից փոքր[10]։ Տեքստերում, որտեղ համակցվում են աջից ձախ և ձախից աջ գրառման համակարգեր, անհրաժեշտ են համապատասխան ուղղության փոփոխություններ։
Սիմվոլներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Տարբեր խորհրդանշանային համակարգեր օգտագործվում են հնդկական-արաբական թվանշանային համակարգում թվերը ներկայացնելու համար, որոնց մեծ մասը զարգացել է Բրահմի թվանշաններից։ Այս համակարգը ներկայացնող նշանները միջնադարից սկսած բաժանվել են մի քանի տիպոգրաֆիկական տարբերակների, որոնք դասակարգվում են երեք հիմնական խմբերում․
- Տարածված արևմտյան «արաբական թվանշանները», որոնք օգտագործվում են լատիներենի, կյուրեղագիր և հունական այբուբենների հետ, ծագել են «արևմտյան արաբական թվանշաններից», որոնք զարգացել են Ալ-Անդալուսում և Մաղրիբում։ Այս խմբի տիպոգրաֆիկական երկու ոճերն են՝ շարքով և տեքստային։
- «Արաբա-հնդկական» կամ «արևելյան արաբական թվանշանները», որոնք օգտագործվում են արաբերեն գրության մեջ և հիմնականում զարգացել են ներկայիս Իրաքի տարածքում։ Արևելյան արաբական թվանշանների մի տարբերակ օգտագործվում է նաև պարսկերենում և ուրդուում։
- Հնդկական թվանշանները, որոնք օգտագործվում են Հնդկաստանում և Հարավարևելյան Ասիայում Բրահմյան ընտանիքին պատկանող գրություններով։ Հնդկաստանի մոտ մեկ տասնյակ խոշոր գրային համակարգերից յուրաքանչյուրը ունի իր սեփական թվանշանային նշանները (ինչը կարելի է տեսնել Unicode-ի նշանների աղյուսակներում)։
Հիերոգլիֆների համեմատություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Պատմություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Նախորդներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Բրահմի թվանշանները, որոնք այս համակարգի հիմքում են, առաջ են եկել մեր թվարկությունից առաջ։ Դրանք փոխարինել են ավելի վաղ օգտագործվող Խարոշթի թվանշաններին, որոնք կիրառվել են մ.թ.ա. 4-րդ դարից։ Բրահմի և Խարոշթի թվանշանները օգտագործվել են զուգահեռ՝ Մաուրյան կայսրության ժամանակաշրջանում, և երկուսն էլ հանդիպում են մ.թ.ա. 3-րդ դարի Աշոկա արքայի հրամանագրերում[11]։
Նագարի և Դևանագարի թվանշանները ունեցել են ձեռագրային տարբերակներ։
Բուդդայական արձանագրություններում մ.թ.ա. մոտ 300 թվականից օգտագործվել են այն խորհրդանիշները, որոնք հետագայում դարձել են 1, 4 և 6։ Մեկ դար անց արդեն արձանագրվել է 2, 4, 6, 7 և 9 թվանշաններին համապատասխանող նշանների կիրառությունը։ Այս Բրահմի թվանշանները հինդու-արաբական թվանշանների նախահայրերն են (1-ից 9), սակայն դեռևս չէին օգտագործվում որպես դիրքային համակարգ՝ զրոյի կիրառությամբ։ Փոխարենը, յուրաքանչյուր տասնյակի համար կային առանձին նշաններ (օրինակ՝ 10, 20, 30 և այլն)։
Ժամանակակից թվանշանային համակարգը՝ ներառյալ դիրքային գրառումը և զրոյի կիրառությունը, տեսականորեն անկախ է օգտագործվող նշաններից և էապես ավելի նոր է, քան Բրահմի թվանշանները։
Զարգացում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Դիրքային համակարգը կիրառվել է Բախշալիի ձեռագրում, որի ամենահին էջերը ռադիոկարբոնային թեստերով թվագրվել են մ.թ. 224–383 թվականներին։ Դիրքային տասնորդական համակարգի զարգացումը տեղի է ունեցել հնդկական մաթեմատիկայի մեջ Գուպտա դինաստիայի ժամանակաշրջանում[12]։ Մոտավորապես 500 թվականին աստղագետ Արյաբհատան օգտագործում է «kha» բառը (նշանակում է «դատարկություն»)՝ զրոն նշելու համար թվերի աղյուսակային դասավորություններում։ 7-րդ դարի «Բրահմասֆուտա Սիդդհանտա» երկում զրոյի մաթեմատիկական դերի համեմատաբար զարգացած ըմբռնում է արտահայտված[13]։ 5-րդ դարի կորած պրակրիտերեն «Լոկավիբհագա» տեքստի սանսկրիտերեն թարգմանությունը կարող է պահպանած լինել զրոյի՝ որպես դիրքային նշանի ամենավաղ կիրառության օրինակը։
Առաջին հստակ թվագրված և անվիճելի արձանագրությունը, որտեղ զրոյի համար նշան է օգտագործված, հայտնաբերվել է Հնդկաստանի Գվալիոր քաղաքում՝ Չատուրբհուջա տաճարում, և թվագրված է մ.թ. 876 թվականին[14]։
Միջնադարյան իսլամական աշխարհ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Այս հնդկական զարգացումները ընդունվեցին իսլամական մաթեմատիկայի մեջ 8-րդ դարում, ինչպես արձանագրել է Ալ-Քիֆթին իր աշխատության մեջ՝ «Գիտնականների ժամանակագրություն» (13-րդ դարի սկիզբ)[15]։
10-րդ դարի իսլամական մաթեմատիկայում այս համակարգը ընդլայնվեց՝ ներառելով կոտորակներ, ինչպես նկարագրված է Աբբասյան խալիֆայության մաթեմատիկոս Աբու’լ-Հասան ալ-Ուքլիդիսիի տրակտատում։ Նա առաջինն էր, ով նկարագրեց տասնորդական դիրքային կոտորակները[16]։ Ըստ պատմաբան Ջ. Լ. Բերգգրենի՝ հենց մուսուլմաններն էին առաջինները, ովքեր թվերը ներկայացրին մեր ժամանակներում ընդունված ձևով, քանի որ նրանք էին, ովքեր առաջինը ընդլայնեցին հաշվման այս համակարգը՝ միավորից փոքր մասնաբաժիններ ներկայացնելու համար տասնորդական կոտորակներով, այնպիսի բան, ինչը հնդիկները դեռ չէին արել։ Հետևաբար, համակարգը «հինդու-արաբական» անվանելը ամբողջովին տեղին է[17][18]։
Այս թվանշանային համակարգը հայտնի դարձավ ինչպես պարսիկ մաթեմատիկոս Ալ-Խորեզմին, ով մ.թ. մոտ 825 թվականին գրել է գիրք՝ «Հաշվարկ հնդկական թվանշաններով», այնպես էլ արաբ մաթեմատիկոս Ալ-Քինդիին, ով մոտ 830 թվականին գրել է գիրք՝ «Հնդկական թվանշանների օգտագործման մասին»։
Պարսիկ գիտնական Քուշյար Գիլանին, ով գրել է «Հնդկական հաշվարկի սկզբունքներ», հեղինակել է ամենահին պահպանված ձեռագրերից մեկը, որն օգտագործում է հնդկական թվանշաններ[19]։
Այս գրքերն են հիմնականում պատասխանատու հնդկական հաշվման համակարգի տարածման համար՝ սկզբում իսլամական աշխարհում, իսկ ապա՝ նաև Եվրոպայում։
Տարածումը Եվրոպայում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Քրիստոնեական Եվրոպայում hնդկա-արաբական թվանշանների (1-ից 9, առանց զրոյի) առաջին հիշատակությունն ու պատկերումը տեղի է ունեցել Codex Vigilanus (նաև՝ Albeldensis) ձեռագրում։ Դա պատկերազարդ ժողովածու էր Վեստգոթական շրջանի տարբեր պատմական փաստաթղթերի, որը 976 թվականին գրի են առել Սան Մարտին դե Ալբելդա վանքի երեք վանականներ Իսպանիայի Ռիոխա շրջանում։ 967–969 թվականների միջև Ժերբեր դ’Օրիակը՝ ապագա պապ Սիլվեստր II-ը, Կատալոնիայում ուսումնասիրել է արաբական գիտությունը։ Հետագայում նա ձեռք է բերել De multiplicatione et divisione («Բազմապատկման և բաժանման մասին») գիրքը։ 999 թ․ պապ ընտրվելուց հետո նա ստեղծում է նոր տիպի հաշվիչ՝ Ժերբերի աբակուսը, օգտագործելով նշաններ՝ ներկայացնելու հինդու-արաբական թվանշանները 1-ից 9։
Հետագայում, Լեոնարդո Ֆիբոնաչին (1170–1250) Եվրոպա բերեց այս համակարգը։ Նրա գիրքը՝ Liber Abaci («Հաշվման գիրք»), ներկայացնում էր Modus Indorum-ը («Հնդիկների մեթոդը»), որը հիմա հայտնի է որպես հինդու-արաբական թվանշանային համակարգ կամ տասնորդական դիրքային գրառում, ներառյալ զրոյի օգտագործումը և տասնորդական կոտորակների համակարգը։ Այս համակարգը եվրոպացիները սկսեցին անվանել «արաբական», քանի որ այն Եվրոպա էր եկել արաբների միջոցով։ Այն օգտագործվել է եվրոպական մաթեմատիկայում 12-րդ դարից, իսկ ընդհանուր կիրառության մեջ մտել է 15-րդ դարից, աստիճանաբար փոխարինելով հռոմեական թվերը[20][21]։
Այսօր լատինատառ գրի մեջ օգտագործվող թվանշանների սովորական ձևերը (0, 1, 2, ..., 9) ձևավորվել են 15-րդ դարի վերջին և 16-րդի սկզբին, երբ թվերը մտել են տպագրության մեջ։ Մինչ այդ, մուսուլման գիտնականները օգտագործում էին Բաբելոնյան թվային համակարգը, իսկ վաճառականները՝ Աբջադ թվանշանները (նման հույն և եբրայական թվային համակարգերին)։ Չնայած Ֆիբոնաչիի ներդրմանը, այս համակարգը սկզբում սահմանափակված էր միայն կրթված շրջանակների ներսում։ Իսկ հանրային լայն կիրառության հիմքերը դրեց գերմանական վերածննդի հեղինակ Ադամ Ռիզեն։ Նրա գիրքը՝ «Rechenung auff der linihen und federn» (1522, «Հաշվարկ գծերի և փետուրով գրելու միջոցով»), ուղղված էր արհեստավորների և վաճառականների աշակերտներին, ինչն էլ մեծապես նպաստեց դիրքային տասնորդական համակարգի տարածմանը։
-
Գրեգոր Ռայշ, «Տիկին Արիթմետիկա», 1503 թ. -
Հաշվարկային աղյուսակ, որն օգտագործվում էր հռոմեական թվանշաններով հաշվարկների համար -
Ադամ Ռիս, «Գծերի և փետուրների հաշվառում», 1522 -
Երկու մաթեմատիկական գիրք, հրատարակված 1514 թ. — Կյոբելի գիրքը (ձախում), որն օգտագործում է հաշվարկային աղյուսակ, և Բյոշենթեյնի գիրքը, որն օգտագործում է թվանշաններ -
Ադամ Ռիս, «Գծերի և փետուրների հաշվառում» (2-րդ հրատարակություն), 1522 -
Ռոբերտ Ռեքորդ, «Արվեստի երկիր», 1543 թ -
Պետեր Ապիան, «Վաճառականների հաշվարկ», 1527 թ. -
Ադամ Ռիս, «Հաշվարկ գծերի և փետուրի (գրիչի) վրա» (2-րդ հրատարակություն), 1525 թ.
Տարածումը Արևելյան Ասիայում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]«〇» նշանը օգտագործվում է զրոն գրելու համար Սուջոուի թվանշաններում, որոնք փայտիկային թվանշանային համակարգի միակ պահպանված տարբերակն են։ 1247 թվականին չինացի մաթեմատիկոս Ծին Ցզյուշաոյի գրված «Ինը բաժնի մաթեմատիկական տրակտատը» համարվում է ամենահին պահպանված չինական մաթեմատիկական տեքստը, որտեղ զրոն նշվում է հենց «〇» նշանով[22]։
«〇» նշանի օգտագործման ծագումը զրոյի համար անհայտ է։ Հնդկական թվանշաններն ու զրոն Չինաստան է ներմուծել Գաուտամա Սիդդհան՝ 718 թ․, սակայն չինացի մաթեմատիկոսները դրանք օգտակար չէին համարում, քանի որ իրենք արդեն ունեին տասնորդական դիրքային հաշվարկ՝ փայտիկներով[23][24]։ Որոշ պատմաբաններ ենթադրում են, որ «〇»-ի կիրառումը ազդված է եղել Հնդկաստանից ներմուծված թվանշաններից, բայց Գաուտամայի համակարգում[24] զրոն ներկայացվում էր ոչ թե օղակով, այլ կետով, ինչպես Բախշալի ձեռագրում[25]։
Այլ վարկածի համաձայն՝ «〇»-ի կիրառումը կարող էր առաջանալ չինական գրերում օգտագործվող դատարկ նշանի՝ «□»-ի ձևափոխությունից, և նմանությունը հնդկական զրոյի հետ պարզապես պատահական համընկնում է։ Մյուսները ենթադրում են, որ հնդիկներն են կարող է վերցրել «〇»-ը Չինաստանից, քանի որ այն նման է կոնֆուցիական փիլիսոփայության «ոչինչ» գաղափարի նշանին[23]։
Չինաստանն ու Ճապոնիան վերջնականապես ընդունեցին հինդու-արաբական թվանշանները 19-րդ դարում, դրանով հրաժարվելով փայտիկների հաշվարկային համակարգից։
Արևմտաարաբական տարբերակի տարածում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]«Արևմտյան արաբական» թվանշանները, ինչպես օգտագործվում էին Եվրոպայում բարոկկո դարաշրջանից սկսած, հետագայում սկսել են օգտագործվել ամբողջ աշխարհում՝ լատիներենի այբուբենի հետ միասին։ Նրանք լայն տարածում գտան նույնիսկ այն տարածաշրջաններում, որտեղ նախկինում օգտագործվում էին հնդկական-արաբական թվանշանների այլ տարբերակներ, իսկ լատինատառ գրությունը այդքան էլ տարածված չէր։ Բացի այդ, այս թվանշանները օգտագործվում են նաև չինական և ճապոնական գրերի հետ համատեղ (տես՝ Չինական թվանշաններ, Ճապոնական թվանշաններ)։
Տես նաև
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ծանոթագրություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- ↑ Holme, Audun (2010 թ․ սեպտեմբերի 23). Geometry: Our Cultural Heritage (անգլերեն). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-14441-7.
- ↑ William Darrach Halsey, Emanuel Friedman (1983). Collier's Encyclopedia, with bibliography and index. «When the Arabian empire was expanding and contact was made with India, the Hindu numeral system and the early algorithms were adopted by the Arabs»
- ↑ Brezina, Corona (2006), Al-Khwarizmi: The Inventor of Algebra, The Rosen Publishing Group, էջեր 39–40, ISBN 978-1-4042-0513-0
- ↑ Danna, Raffaele (2021 թ․ հունվարի 13). «Figuring Out: The Spread of Hindu-Arabic Numerals in the European Tradition of Practical Mathematics (13th–16th Centuries)». Nuncius. 36 (1): 5–48. doi:10.1163/18253911-bja10004. ISSN 0394-7394.
- ↑ Chrisomalis, 2010, էջեր 194–197
- ↑ Smith, Karpinski, Ch. 7, Կաղապար:Pgs
- ↑ Smith, Karpinski, Կաղապար:Pgs
- ↑ Of particular note is Johannes de Sacrobosco's 13th century Algorismus, which was extremely popular and influential. See Smith & Karpinski 1911, Կաղապար:Pgs
- ↑ 9,0 9,1 Swetz, Frank (1984). «The Evolution of Mathematics in Ancient China». In Campbell, Douglas M.; Higgins, John C. (eds.). Mathematics: People, Problems, Results. Taylor & Francis. ISBN 978-0-534-02879-4.Lam, Lay Yong (1988). «A Chinese Genesis: Rewriting the History of Our Numeral System». Archive for History of Exact Sciences. 38 (2): 101–108. doi:10.1007/BF00348453. JSTOR 41133830.Lam, Lay Yong (2008). «Computation: Chinese Counting Rods». In Selin, Selaine (ed.). Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Springer. ISBN 978-1-4020-4559-2.
- ↑ In German, a number like 21 is said like "one and twenty", as though being read from right to left. In Biblical Hebrew, this is sometimes done even with larger numbers, as in Esther 1:1, which literally says, "Ahasuerus which reigned from India even unto Ethiopia, over seven and twenty and a hundred provinces".
- ↑ Flegg, 1984, Կաղապար:Pgs
- ↑ Pearce, Ian (2002 թ․ մայիս). «The Bakhshali manuscript». The MacTutor History of Mathematics archive. Վերցված է 2007 թ․ հուլիսի 24-ին.
- ↑ Ifrah, G. The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer. John Wiley and Sons Inc., 2000. Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk
- ↑ Bill Casselman (2007 թ․ փետրվար). «All for Nought». Feature Column. AMS.
- ↑ al-Qifti's Chronology of the scholars (early 13th century):
- ... a person from India presented himself before the Caliph al-Mansur in the year 776 who was well versed in the siddhanta method of calculation related to the movement of the heavenly bodies, and having ways of calculating equations based on the half-chord [essentially the sine] calculated in half-degrees ... Al-Mansur ordered this book to be translated into Arabic, and a work to be written, based on the translation, to give the Arabs a solid base for calculating the movements of the planets ...
- ↑ Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam». In Katz, Victor J. (ed.). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. էջ 530. ISBN 978-0-691-11485-9.
- ↑ Berggren, J. L. (2017 թ․ հունվարի 18). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam (անգլերեն). Springer. ISBN 978-1-4939-3780-6.
- ↑ Berggren, J. Lennart (2007). «Mathematics in Medieval Islam». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. էջ 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
- ↑ Ibn Labbān, Kūshyār (1965). Kitab fi usul hisab al-hind [Principles of Hindu Reckoning]. Translated by Levey, Martin; Petruck, Marvin. Madison: University of Wisconsin Press. էջ 3. ISBN 978-0-299-03610-2.
- ↑ «Fibonacci Numbers». www.halexandria.org.
- ↑ «Fibonacci | Biography, Sequence, & Facts | Britannica». www.britannica.com (անգլերեն). 2025 թ․ ապրիլի 2. Վերցված է 2025 թ․ ապրիլի 19-ին.
- ↑ «Mathematics in the Near and Far East» (PDF). grmath4.phpnet.us. էջ 262. Արխիվացված (PDF) օրիգինալից 2013 թ․ նոյեմբերի 4-ին. Վերցված է 2012 թ․ հունիսի 7-ին.
- ↑ 23,0 23,1 Qian, Baocong (1964), Zhongguo Shuxue Shi (The history of Chinese mathematics), Beijing: Kexue Chubanshe
- ↑ 24,0 24,1 Wáng, Qīngxiáng (1999), Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, ISBN 4-88595-226-3
- ↑ Mak, Bill M. (2023 թ․ ապրիլի 7), «An 8th-Century CE Indian Astronomical Treatise in Chinese: The Nine Seizers Canon by Qutan Xida», Plurilingualism in Traditional Eurasian Scholarship (անգլերեն), Brill, էջեր 352–362, doi:10.1163/9789004527256_031, ISBN 978-90-04-52725-6, Վերցված է 2025 թ․ մարտի 27-ին
Արտաքին հղումներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Menninger, Karl W. (1969). Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. MIT Press. ISBN 0-262-13040-8.
- On the genealogy of modern numerals Արխիվացված 2016-03-07 Wayback Machine by Edward Clive Bayley
- Chrisomalis, Stephen (2010). Numerical Notation: A Comparative History. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87818-0.
- Flegg, Graham (1984). Numbers: Their History and Meaning. Penguin. ISBN 978-0-14-022564-8.
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «The Arabic numeral system». MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews..
- O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Indian numerals». MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews..
- Smith, David Eugene; Karpinski, Louis Charles (1911). The Hindu–Arabic Numerals. Boston: Ginn.