Հաուսդորֆյան հեռավորություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Մաթեմատիկայում, Հաուսդորֆյան հեռավորությունը կամ Հաուսդորֆյան տարածությունը, նաև կոչվում է ՊոմպեյՀաուսդորֆյան հեռավորություն[1], չափում է, թե ինչ հեռավորության վրա են գտնվում մետրիկական տարածության մեջ գտնվող երկու ոչ դատարկ կոմպակտ ենթաբազմությունները։ Այն վերափոխում է ոչ դատարկ կոմպակտ ենթաբազմությունը մետրիկական տարախության իրական ձևի։ Այն կոչվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Ֆելիքս Հաուսդորֆֆի պատվին։

Այսպես ասած 2 բազմությունները մոտ են Հաուսդորֆյան տարածության մեջ, եթե յուրաքանչյուր կետ մի բազմությունից մոտ է ինչ-որ կետին մյուս բազմությունից։ Այլ կերպ ասած Հաուսդորֆյան հեռավորությունը, մի բազմության կետերից մյուս բազմությունից ամենահեռու գտնվող կետի հեռավորությունն է մյուս բազմության իրեն ամենամոտ կետից։

Ինչպես երևում է առաջին անգամ այս մեծությունը սահմանվել է Հաուսդորֆի կողմից իր գրքոում, առաջին անգամ 1914 թվականինտպագրված, չնայած շատ մոտ գաղափար է առաջ քաշվել Մորիս Ռենեի կողմից 1906-ին իր դոկտորական աշխատանքի մեջ։

Սահամնում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հաուսդորֆյան հեռավորության բաղադրիչները X կանաչ գծի և Y կապույտ գծի միջև.

Վերցնենք X և Y ոչ դատարկ ենթաբազմություները մետրիկական տարածության մեջ (Md)։ Մենք սահմանում ենք իրենց Հաուսդորֆյան հեռավորությունը d H(X, Y)

-ի միջոցով։

որտեղ sup ներկայացնում է Սուպրեմիումը և inf-ը՝ Ինֆինիումը։

Համարժեքորեն

[2],

որտեղ

,

որը շառավիղով ընդլայնված X բազմությունն է։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Ընդհանուր դեպքում dH(X,Y)-ը կարող է լինել անվերջ․ Եթե և՜ X-ը և՜ Y-ը սահամանփակ են, ապա երաշխավորված է, որ կլինի վերջավոր․
  • dH(X,Y) = 0, այն և միայն այն դեպքում, երն X-ն ու Y-ը ունեն նույն սահմանները․
  • Կամայական x կետի համար M-ից և որևէ ոչ դատարկ Y և Z բազմությունները M-ից d(x,Y) ≤ d(x,Z) + dH(Y,Z), որտեղ d(x,Y)-ը x կետի և Y բազմության մեջ x -ին ամենամոտ կետի հեռավորությունն է
  • |diameter(Y)-diameter(X)| ≤ 2 dH(X,Y), որտեղ diameter-ը բազմության շառավիղն է.[3]։
  • Եթե XY հատումը ոչ դատարկ բազմություն է, ապա գոյություն ունի r>0 հաստատուն , այնպիսին, որ կամայանկան X′ բազմություն, որի Հաուսդորֆյան հեռավորությունը X-ից փոքր է r-ից, հատում է նաև Y[4]։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Rockafellar R. Tyrrell, Wets Roger J-B (2005)։ Variational Analysis։ Springer-Verlag։ էջ 117։ ISBN 3-540-62772-3 
  2. Munkres James (1999)։ Topology (2nd ed.)։ Prentice Hall։ էջեր 280–281։ ISBN 0-13-181629-2 
  3. Diameter and Hausdorff Distance, Math.SE
  4. Hausdorff Distance and Intersection, Math.SE