Կեպլերի ուղեծիր

Էլիպտիկ Կեպլերյան ուղեծիր 0,7 էքսցենտրիսիտետով, պարաբոլիկ Կեպլերյան ուղեծիր և հիպերբոլիկ Կեպլերյան ուղեծիր 1,3 էքսցենտրիսիտետով։ Հեռավորությունը դեպի կենտրոնական կետը ֆունկցիա է բևեռային անկյան՝ հորիզոնական գծի նկատմամբ։

Կեպլերի ուղեծիրը (կամ Կեպլերյան ուղեծիրը, անվանվել է գերմանացի աստղագետ Յոհան Կեպլերի անունով) մարմնի շարժումն է մեկ այլ մարմնի նկատմամբ՝ էլիպս, պարաբոլ կամ հիպերբոլ ներկայացնող հետագծով, որի երկչափ ուղեծրային հարթությունը գտնվում է եռաչափ տարածության մեջ։ Կեպլերյան ուղեծիրը կարող է լինել նաև ուղիղ գիծ։ Ուղեծրում հաշվի է առնվում միայն երկու մարմինների կետանման ձգողականությունը՝ անտեսելով խոտորումները, որոնք պայմանավորված են այլ օբյեկտների ձգողականությամբ, մթնոլորտային դիմադրությամբ, արևային ճառագայթային ճնշմամբ, ոչ գնդաձեւ կենտրոնական մարմնով և այլն։ Այսպիսով, այն համարվում է երկու մարմինների խնդրի մասնավոր դեպքի լուծում, որը հայտնի է որպես Կեպլերի խնդիր։ Որպես դասական մեխանիկայի տեսություն՝ այն չի հաշվի առնում նաև ընդհանուր հարաբերականության ազդեցությունները։ Կեպլերյան ուղեծրերը կարող են նկարագրվել վեց ուղեծրի տարրերով տարբեր ձևերով։

Շատ դեպքերում գոյություն ունի մեծ կենտրոնական մարմին, որի զանգվածի կենտրոնը ընդունվում է ամբողջ համակարգի զանգվածի կենտրոն։ Նմանապես, մոտավորապես հավասար զանգված ունեցող երկու մարմինների ուղեծրերը կարելի է նկարագրել որպես Կեպլերյան ուղեծրեր իրենց ընդհանուր բարիկենտրոնի շուրջ։

Հնագույն ժամանակներից մինչև 16–17-րդ դարերը մոլորակների շարժումները համարվում էին իդեալական շրջանաձև երկրակենտրոն ուղիներ՝ ինչպես ուսուցանում էին հին հունացի փիլիսոփաներ Արիստոտելը և Պտղոմեոսը։ Շարժման տարբերությունները բացատրվում էին փոքր շրջանաձև ուղիներով՝ համադրված հիմնական ուղեծրի վրա (տես՝ էպիցիկլեր)։ Երբ մոլորակների չափումները դարձան ավելի ճշգրիտ, տեսության վերանայումներ առաջարկվեցին։ 1543-ին Նիկոլայ Կոպեռնիկոսը հրապարակեց Արեգակնային համակարգի արևակենտրոն մոդելը, թեև դեռևս կարծում էր, որ մոլորակները շարժվում են իդեալական շրջանաձև ուղիներով՝ Կենտրոնում Արեգակով:

Օրենքների ստեղծումը

1601 թվականին Յոհան Կեպլերը ստացավ մոլորակների լայնածավալ ու մանրակրկիտ դիտարկումները, որոնք կատարել էր Տիխո Բրահեն։ Կեպլերը հաջորդ հինգ տարին անցկացրեց՝ փորձելով համեմատել Մարսի դիտարկումները տարբեր կորերի հետ։ 1609-ին նա հրապարակեց իր երեք օրենքներից առաջին երկուսը։ Առաջին օրենքը ասում է՝

Յուրաքանչյուր մոլորակի ուղեծիրը էլիպս է, որի կիզակետում գտնվում է Արեգակը։

Ընդհանրապես, Կեպլերյան շարժում ունեցող մարմնի ուղին կարող է լինել նաև պարաբոլ կամ հիպերբոլ, որոնք էլիպսների հետ միասին պատկանում են կորերի խմբին՝ կոնական հատույթներ։ Մաթեմատիկորեն՝ կենտրոնական մարմնի և ուղեծրային մարմնի միջև հեռավորությունը տրվում է հետևյալով․

$$r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta )}}$$

որտեղ․

• $r$ — հեռավորությունը
• $a$ — մեծ կիսաառանցք, որը սահմանում է ուղեծրի չափը
• $e$ — էքսցենտրիսիտետը, որը սահմանում է ուղեծրի ձևը
• $\theta$ — իրական անոմալիա, այն անկյունը, որն ունի ուղեծրային մարմնի ընթացիկ դիրքը և ուղեծրի այն կետը, որտեղ այն առավել մոտ է կենտրոնական մարմնին (կոչվում է պերիապսիս)։

Այլ կերպ՝ հավասարումը կարող է գրվել հետևյալ ձևով․

$$r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta )}}$$

որտեղ $p$-ն կոչվում է կորի կիսաֆոկալ առանցք։ Այս ձևը հատկապես օգտակար է պարաբոլիկ հետագծերի դեպքում, որոնցում մեծ կիսաառանցքը անսահման է։

Չնայած Կեպլերը այս օրենքները ստացավ դիտարկումներից, նա երբեք չկարողացավ մշակել տեսություն դրանց բացատրության համար: Իսահակ Նյուտոնը ստեղծեց առաջին տեսությունը՝ հիմնված ձգողականության գաղափարի վրա։ Ալբերտ Էյնշտեյնի ընդհանուր հարաբերականությունը ներկայումս ժամանակակից ֆիզիկայում ձգողականության հիմնական նկարագրությունն է։ Երկու մարմինների խնդիրը ընդհանուր հարաբերականության մեջ չունի ընդհանուր լուծում։

Իսահակ Նյուտոն

1665–1666 թվականներին Իսահակ Նյուտոնը մշակեց մի շարք գաղափարներ շարժման, ձգողականության և դիֆերենցիալ հաշվարկի վերաբերյալ։ Սակայն դրանք հրապարակվեցին միայն 1687-ին՝ իր «Principia» աշխատությունում, որտեղ ներկայացրեց իր շարժման օրենքները և համընդհանուր ձգողականության օրենքը։ Երկրորդ օրենքը ձևակերպում է․

Մարմնի արագացումը համընկնում է և ուղիղ համեմատական է նրա վրա ազդող ուժի հետ, գտնվում է ուժի ուղղությամբ և հակադարձ համեմատական է մարմնի զանգվածին․

$$\mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$$

որտեղ․

• $\mathbf {F}$ — ուժի վեկտոր
• $m$ — այն մարմնի զանգվածը, որի վրա ազդում է ուժը
• $\mathbf {a}$ — արագացման վեկտոր, որը դիրքի վեկտոր $\mathbf {r}$-ի երկրորդ ածանցյալն է ըստ ժամանակի

Ճիշտ է, այս հավասարումը գործում է միայն հաստատուն զանգված ունեցող օբյեկտների համար, ինչը համարվում է պարզեցման ենթադրություն։

Նյուտոնի համընդհանուր ձգողականության օրենքի մեխանիզմը․ կետային զանգվածը m₁ ձգում է մեկ այլ կետային զանգված m₂-ին ուժով F₂, որը համեմատական է երկու զանգվածների արտադրյալին և հակադարձ համեմատական է դրանց միջև եղած հեռավորության (r) քառակուսուն։ Անկախ զանգվածներից կամ հեռավորությունից՝ |F₁| և |F₂| արժեքները միշտ հավասար են։ G — գրավիտացիոն հաստատունն է։

Նյուտոնի ձգողականության օրենքը սահմանում է․

Յուրաքանչյուր կետային զանգված ձգում է ցանկացած այլ կետային զանգվածի՝ ուժով, որը ուղղված է երկու կետերը միացնող գծի երկայնքով։ Ուժը համեմատական է երկու զանգվածների արտադրյալին և հակադարձ համեմատական է նրանց միջև եղած հեռավորության քառակուսուն․

$$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$$

որտեղ․

• $F$ — երկու կետային զանգվածների միջեւ ձգողական ուժի մեծությունը
• $G$ — գրավիտացիոն հաստատուն
• $m_{1}$ — առաջին կետային զանգվածի զանգվածը
• $m_{2}$ — երկրորդ կետային զանգվածի զանգվածը
• $r$ — երկու կետային զանգվածների միջև հեռավորությունը

Նյուտոնի շարժման և համընդհանուր ձգողականության օրենքներից նա կարողացավ ստանալ Կեպլերի օրենքները, որոնք հատուկ վերաբերում են ուղեծրային շարժումներին աստղագիտության մեջ։ Քանի որ Կեպլերի օրենքները լավ հաստատվում էին դիտարկումներով, այս համապատասխանությունը ապահովեց Նյուտոնի ընդհանրացված տեսության ուժեղ հիմքերն ու միավորեց երկնային և երկրային մեխանիկան։ Այս օրենքները դարձան ժամանակակից երկնային մեխանիկայի հիմքը մինչև Ալբերտ Էյնշտեյնը 20-րդ դարի սկզբին ներկայացրեց հատուկ և ընդհանուր հարաբերականության գաղափարները։ Շատ կիրառություններում Կեպլերյան ուղեծիրը բավականին ճշգրիտ է մոլորակների և արբանյակների շարժումների մոտավոր նկարագրման համար և լայնորեն օգտագործվում է աստղագիտության և աստղադինամիկայի մեջ։

Պարզեցված երկու մարմինների խնդիր

Տե՛ս նաև՝ Ուղեծիր

Մարմնի շարժումը երկու մարմինների համակարգում լուծելու համար կարելի է կատարել երկու պարզեցնող ենթադրություն․

1. Մարմինները գնդաձև համաչափ են և կարող են դիտվել որպես կետային զանգվածներ։
2. Մարմինների վրա արտաքին կամ ներքին ուժեր չեն ազդում, բացի նրանց փոխադարձ ձգողականությունից։

Մեծ երկնային մարմինների ձևերը մոտ են գնդերին։ Սիմետրիայի շնորհիվ, միասնական գնդի նկատմամբ զանգվածի կետի վրա ազդող ձգողական ուժը պետք է ուղղված լինի դեպի նրա կենտրոն։ Գնդաձև թաղանթի թեորեմը (նույնպես ապացուցված Իսահակ Նյուտոնի կողմից) պնդում է, որ այս ուժի մեծությունը նույնն է, ինչպես եթե ամբողջ զանգվածը կենտրոնացած լիներ գնդի կենտրոնում, նույնիսկ եթե գնդի խտությունը տարբերում է խորությամբ (ինչպես դա տեղի է ունենում շատ երկնային մարմինների դեպքում)։ Դրանից անմիջապես հետևում է, որ երկու միասնական գնդերի միջև ձգողականությունը նույնն է, ինչ եթե նրանց զանգվածները կենտրոնացած լինեին իրենց կենտրոններում։

Փոքր մարմինները, ինչպիսիք են աստերոիդերը կամ տիեզերանավերը, հաճախ ունեն ձևեր, որոնք զգալիորեն տարբերվում են գնդից։ Սակայն այս անհարթություններից առաջացած ձգողական ուժերը սովորաբար շատ փոքր են՝ համեմատած կենտրոնական մարմնի ձգողականության հետ։ Որքան հեռավորությունը մեծանում է, այնքան անհարթ ձևի և կատարյալ գնդի միջև տարբերությունը նվազում է, և ուղեծրերի մեծ մասը շատ ավելի մեծ է, քան փոքր ուղեծրային մարմնի տրամագիծը։ Ուստի որոշ կիրառություններում մարմնի ձևի անհարթությունները կարելի է անտեսել՝ առանց էական ազդեցության ճշգրտության վրա։ Այս ազդեցությունը նկատելի է հատկապես Երկրի արհեստական արբանյակների համար, հատկապես ցածր ուղեծիրներում։

Մոլորակները պտտվում են տարբեր արագություններով և կարող են փոքր-ինչ սեղմված գնդաձև լինել կենտրոնախույս ուժի պատճառով։ Այդպիսի սեղմվածության դեպքում ձգողական ուժը որոշ չափով տարբերվում է միասնական գնդի ուժից։ Սակայն մեծ հեռավորությունների դեպքում այս տարբերությունը աննշան է դառնում։ Արեգակնային համակարգում մոլորակների շարժումները կարելի է բավարար ճշգրտությամբ հաշվարկել՝ դրանք դիտելով որպես կետային զանգվածներ։

Երկու կետային մարմիններ՝ $m_{1}$ և $m_{2}$ զանգվածներով և $\mathbf {r} _{1}$ և $\mathbf {r} _{2}$ դիրքի վեկտորներով՝ որոշակի իներցիալ հաշվարկման համակարգի նկատմամբ, ենթարկվում են ձգողական ուժերի․

$$m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$$ $$m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$$

որտեղ $\mathbf {r}$-ն զանգված 1-ի հարաբերական դիրքի վեկտորն է զանգված 2-ի նկատմամբ՝ տրված․

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$$

և $\mathbf {\hat {r}}$-ը միավոր վեկտորն է այդ ուղղությամբ, իսկ $r$-ը այդ վեկտորի երկարությունն է։

Բաժանելով զանգվածների վրա և հանելով երկրորդ հավասարումը առաջինից ստանում ենք շարժման հավասարումը՝ առաջին մարմնի արագացման համար երկրորդի նկատմամբ․

${\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

որտեղ $\alpha$-ն ձգողական պարամետրն է և հավասար է․

$$\alpha =G(m_{1}+m_{2})$$

Շատ կիրառություններում կարելի է կատարել նաև երրորդ պարզեցնող ենթադրությունը․

3. Համեմատած կենտրոնական մարմնի հետ, ուղեծրային մարմնի զանգվածը աննշան է։ Մաթեմատիկորեն՝ m₁ >> m₂, ուստի α = G (m₁ + m₂) ≈ Gm₁։ Այսպիսի ստանդարտ գրավիտացիոն պարամետրեր ($\mu =G\,M$) լայնորեն հասանելի են Արեգակի, հիմնական մոլորակների և Լուսնի համար, որոնց զանգվածները $M$ շատ մեծ են իրենց արբանյակների համեմատ։

Այս ենթադրությունը պարտադիր չէ պարզեցված երկու մարմինների խնդիրը լուծելու համար, բայց այն հեշտացնում է հաշվարկները, հատկապես Երկրի շուրջ պտտվող արբանյակների և Արեգակի շուրջ պտտվող մոլորակների դեպքում։ Նույնիսկ Յուպիտերի զանգվածը Արեգակի զանգվածից փոքր է 1047 անգամ, ինչը կազմում է ընդամենը 0,096% սխալ α-ի արժեքում։ Նշանավոր բացառություններ են Երկիր–Լուսին համակարգը (զանգվածների հարաբերակցությունը՝ 81,3), Պլուտոն–Քարոն համակարգը (8,9) և կրկնակի աստղերի համակարգերը։

Այս ենթադրությունների ներքո երկու մարմինների դիֆերենցիալ հավասարումը կարելի է ամբողջությամբ լուծել մաթեմատիկորեն, և ստացված ուղեծիրը, որը հետևում է Կեպլերի մոլորակների շարժման օրենքներին, կոչվում է «Կեպլերյան ուղեծիր»։ Բոլոր մոլորակների ուղեծրերը բարձր ճշգրտությամբ Կեպլերյան ուղեծիր են Արեգակի շուրջ։ Փոքր շեղումները պայմանավորված են մոլորակների միջև շատ ավելի թույլ ձգողական ուժերով, իսկ Մերկուրիի դեպքում՝ նաև ընդհանուր հարաբերականությամբ։ Երկրի շուրջ արհեստական արբանյակների ուղեծրերը մոտավոր Կեպլերյան են՝ փոքր խանգարումներով, որոնք պայմանավորված են Արեգակի, Լուսնի և Երկրի ձգողականությամբ։ Բարձր ճշգրտության կիրառություններում, որտեղ շարժման հավասարումը պետք է թվայնորեն ինտեգրվի՝ հաշվի առնելով բոլոր ձգողական և ոչ ձգողական ուժերը (օր.՝ արևային ճառագայթային ճնշում, օդի դիմադրություն), Կեպլերյան ուղեծրի գաղափարները չափազանց կարևոր են և լայնորեն կիրառվում են։

Կեպլերյան տարրեր

Կեպլերյան ուղեծրի տարրերը։

Հիմնական հոդված՝ Ուղեծրի տարրեր

Ցանկացած Կեպլերյան հետագիծ կարելի է սահմանել վեց պարամետրով։ Եռաչափ տարածության մեջ շարժվող մարմնի շարժումը բնութագրվում է դիրքի վեկտորով և արագության վեկտորով։ Յուրաքանչյուր վեկտոր ունի երեք բաղադրիչ, այսինքն՝ տրաեկտորիան սահմանելու համար պահանջվում է վեց մեծություն։ Ուղեծիրը սովորաբար սահմանվում է վեց տարրերով (հայտնի որպես ուղեծրի տարրեր կամ Կեպլերյան տարրեր), որոնք կարելի է հաշվարկել դիրքից և արագությունից, որոնցից երեքն արդեն քննարկվել են։ Այս տարրերը հարմար են նրանով, որ վեցից հինգը անփոփոխ են չխոտորված ուղեծրի համար (ի հակադրություն՝ երկու մշտապես փոփոխվող վեկտորների հետ)։ Մարմնի ապագա դիրքը ուղեծրում կարելի է կանխատեսել, և նրա նոր դիրքն ու արագությունը հեշտ է ստանալ ուղեծրային տարրերից։

Երկուսը սահմանում են տրաեկտորիայի չափն ու ձևը․

• Մեծ կիսաառանցք ($a$)
• Էքսցենտրիսիտետ ($e$)

Երեքը սահմանում են ուղեծրային հարթության կողմնորոշումը․

• Թեքում ($i$) սահմանում է անկյունը ուղեծրային հարթության և հենման հարթության միջև։
• Ծագման հանգույցի երկայնություն ($\Omega$) սահմանում է անկյունը հենման ուղղության և ուղեծրի վերելքի հանգույցի միջև։
• Պերիկենտրոնի արգումենտ ($\omega$) սահմանում է անկյունը վերելքի հանգույցի և պերիապսիսի միջև։

Եվ վերջապես․

• Իրական անոմալիան ($\nu$) սահմանում է ուղեծրային մարմնի դիրքը հետագծով՝ չափված պերիապսիսից։ Որպես այլընտրանք, հաճախ օգտագործվում են $M$՝ միջին անոմալիա, և $T$՝ ժամանակը պերիապսիսից հետո։

Քանի որ $i$, $\Omega$ և $\omega$ պարզապես անկյունային չափումներ են՝ հետագծի կողմնորոշումը հղման համակարգում սահմանելու համար, դրանք խստորեն անհրաժեշտ չեն օբյեկտի շարժումը ուղեծրային հարթության ներսում նկարագրելու համար։ Դրանք նշվել են ամբողջականության համար։

Տես նաև

• Երկու մարմինների խնդիր
• Կեպլերի խնդիր
• Կեպլերի օրենքներ
• Էլիպտիկ ուղեծիր
• Հիպերբոլիկ հետագիծ
• Պարաբոլիկ հետագիծ
• Ռադիալ հետագիծ

Գրականություն

• El'Yasberg "Theory of flight of artificial earth satellites", Israel program for Scientific Translations (1967)
• Bate, Roger; Mueller, Donald; White, Jerry (1971). Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, Inc., New York. ISBN 0-486-60061-0.
• Copernicus, Nicolaus (1952), «Book I, Chapter 4, The Movement of the Celestial Bodies Is Regular, Circular, and Everlasting-Or Else Compounded of Circular Movements», On the Revolutions of the Heavenly Spheres, Great Books of the Western World, vol. 16, translated by Charles Glenn Wallis, Chicago: William Benton, էջեր 497–838

Արտաքին հղումներ

• JAVA applet animating the orbit of a satellite in an elliptic Kepler orbit around the Earth with any value for semi-major axis and eccentricity.