Կենտրոնացված բազմանկյուն թվեր

Կենտրոնացված բազմանկյուն թվերը ձևավոր թվերի շարքերի դաս է, որոնցից յուրաքանչյուրը ձևավորված է կենտրոնական կետի շուրջը, որը շրջապատված է հաստատուն թվով կողմեր ունեցող բազմանկյան շերտերով։ Բազմանկյան յուրաքանչյուր շերտը պարունակում է մեկ կետ ավելի, քան նախորդ շերտը, այսինքն երկրորդ բազմանկյուն շերտից սկսած յուրաքանչյուր k-անկյուն թվի շերտ պարունակում է k-ով ավելի կետ, քան նախորդ շերտը։

Օրինակներ

Յուրաքանչյուր հաջորդականություն կարելի է ներկայացնել որպես 1-ին գումարած եռանկյուն թվի և բազմանկյան կողմերի քանակի արտադրյալ։ Օրինակ, կենտրոնացված քառակուսի թվերն են չորս անգամ եռանկյուն թվեր գումարած մեկ։

Այդ թվերի շարքերն են

• կենտրոնացված եռանկյուն թվեր՝ 1,4,10,19,31,... (A005448-ի հաջորդականությունը OEIS-ում)
• կենտրոնացված քառակուսի թվեր՝ 1,5,13,25,41,... (A001844)
• կենտրոնացված հնգանկյուն թվեր՝ 1,6,16,31,51,... (A005891)
• կենտրոնացված վեցանկյուն թվեր՝ 1,7,19,37,61,... (A003215)
• կենտրոնացված յոթանկյուն թվեր՝ 1,8,22,43,71,... (A069099)
• կենտրոնացված ութանկյուն թվեր՝ 1,9,25,49,81,... (A016754)
• կենտրոնացված իննանկյուն թվեր՝ 1,10,28,55,91,... (A060544, որն ներառում է բոլոր զույգ կատարյալ թվերը, բացի 6-ից)
• կենտրոնացված տասանկյուն թվեր՝ 1,11,31,61,101,... (A062786)

և այսպես շարունակ։

Հետևյալ գծապատկերները ցույց են տալիս կենտրոնացված բազմանկյուն թվերի և դրանց երկրաչափական կառուցվածքի մի քանի օրինակներ։ Այս գծապատկերները կարելի է համեմատել բազմանկյուն թվերի գծապատկերների հետ։

Կենտրոնացված քառակուսի թվեր

1		5		13		25

Կենտրոնացված տասնվեցանկյուն թվեր

1		7		19		37

Բանաձևը

Ինչպես երևում է վերևում ներկայացված գծապատկերներից, n-րդ կենտրոնացված k-անկյուն թիվը կարելի է ստանալ՝ k անգամ տեղադրելով (n−1)-րդ եռանկյուն թիվը կենտրոնական կետի շուրջը։ Այդ իսկ պատճառով, n-րդ կենտրոնացված k-անկյուն թիվը կարելի է մաթեմատիկորեն արտահայտել հետևյալ կերպ՝

$C_{k,n}={\frac {kn}{2}}(n-1)+1$։

Ինչպես սովորական բազմանկյուն թվերի դեպքում, առաջին կենտրոնացված k-անկյուն թիվը 1-ն է։ Այդ իսկ պատճառով, ցանկացած k թվի համար 1-ը և k-անկյուն, և կենտրոնացված k-անկյուն թիվ է։ Հաջորդ անդամը, որը նույնպես կլինի և k-անկյուն, և կենտրոնացված k-անկյուն, կարելի է գտնել՝ օգտագործելով հետևյալ բանաձևը՝

${\frac {k^{2}}{2}}(k-1)+1$

որը ցույց է տալիս, որ 10-ը համարվում է ինչպես եռանկյուն, այնպես էլ կենտրոնացված եռանկյուն թիվ, իսկ 25-ը՝ ինչպես քառակուսի, այնպես էլ կենտրոնացված քառակուսի և այլն։

Չնայած նրան, որ p պարզ թիվը չի կարող բազմանկյուն թիվ լինել (բացառությամբ, իհարկե, երբ յուրաքանչյուր p-ն երկգրորդ p-անկյուն թիվն է), շատ կենտրոնացված բազմանկյուն թվեր պարզ թվեր են։

Ծանոթագրություններ

• Neil Sloane & Simon Plouffe (1995)։ Ամբողջ թվերի հաջորդականությունների հանրագիտարան։ San Diego: Academic Press ։ Fig. M3826
• F. Tapson (1999)։ Օքսֆորդի մաթեմատիկայի ուսումնական բառարան (2nd ed.)։ Oxford University Press։ էջեր 88–89։ ISBN 0-19-914-567-9