Կելվինի ձևափոխություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Այս հոդվածը Կելվինի ձևափոխության մասին է, որն օգտագործվում է հարմոնիկ ֆունկցիաների հետազոտման ապարատում:

Անվերջ տարածություններում հարմոնիկ ֆունկցիաների հետազոտման ժամանակ հաճախ հարմար է լինում կցել անվերջ հեռու կետը(∞) Rn - ին:

Կելվինի ձևափոխության օգնությամբ ստանալու ենք նոր ֆունկցիա, սակայն մինչ դրան անցնելը սկզբում հետազոտենք Rn տարածության ինվերսիան 0 կենտրոնով և R շառավղով շրջանի նկատմամբ։ Ցանկացած x կետի համապատասխանության մեջ դնենք x* կետը հետևյալ ձևով՝


x^* = \frac{R^2}{|x|^2} x.


Մասնավորաբար R=1 - ի դեպքում այն կընդունի հետևյալ տեսքը


  \begin{cases}
x/|x|^2, &x{\ne}0,{\infty}\\
0, &x={\infty}\\
{\infty}, &x=0
\end{cases}


Ցանկացած E⊂Rn բազմության համար սահմանենք E* բազմությունը հետևյալ կերպ՝
E* = {x* : x ∈ E}
Այս ձևափոխության կարևոր հատկույուններից մեկն այն է, որ այն արտապատկերում է անվերջ հեռու կետը 0-ի և հակառակը:
Տրված u ֆունկցիայի համար E⊂Rn\{0} բազմության վրա սահմանենք K[u] ֆունկցիա E* բազմության վրա հետևյալ ձևով՝


K[u](x^*) = \frac{|x|^{n-2}}{R^{2n-4}}u(x) = \frac{1}{|x^*|^{n-2}}u(x)=\frac{1}{|x^*|^{n-2}}u\left(\frac{R^2}{|x^*|^2} x^*\right).


Մասնավորապես միավոր շրջանի դեպքում այն կստանա հետևյալ տեսքը՝


K[u](x) = {|x|^{2-n}}u(x^*).


K[u]-ն կոչվում է u ֆունկցիայի Կելվինի ձևափոխություն:


Երբ n=2 ,ապա K[u](x) = u(x^*).


Հեշտությամբ կարելի է համողվել, որ K[K[u]]=u
Կելվինի ձևափոխությունը նաև գծային է, այսինքն՝ եթե u-ն և v-ն տրված ֆունկցիաներ են E-ի վրա և b, c-ն հաստատուններ են, ապա
K[bu+cv]=bK[u]+cK[v], E* - ի վրա:
Կելվինի ձևափոխության կարևորագույն առանձնահատկությունը կայանում է նրանում , որ այն պահպանում է ֆունկցիայի հարմոնիկությունը,այսինքն՝ եթե u-ն հարմոնիկ ֆունկցիա Է E բազմության վրա, ապա K[u] - ն հարմոնիկ է E* բազմության վրա:

References[խմբագրել]