Կելվինի ձևափոխություն

Այս հոդվածը Կելվինի ձևափոխության մասին է, որն օգտագործվում է հարմոնիկ ֆունկցիաների հետազոտման ապարատում։

Անվերջ տարածություններում հարմոնիկ ֆունկցիաների հետազոտման ժամանակ հաճախ հարմար է լինում կցել անվերջ հեռու կետը(∞) Rⁿ - ին։

Կելվինի ձևափոխության օգնությամբ ստանալու ենք նոր ֆունկցիա, սակայն մինչ դրան անցնելը սկզբում հետազոտենք Rⁿ տարածության ինվերսիան 0 կենտրոնով և R շառավղով շրջանի նկատմամբ։ Ցանկացած x կետի համապատասխանության մեջ դնենք x^* կետը հետևյալ ձևով՝

$x^{*}={\frac {R^{2}}{|x|^{2}}}x.$

Մասնավորաբար R=1 - ի դեպքում այն կընդունի հետևյալ տեսքը

${\begin{cases}x/|x|^{2},&x{\neq }0,{\infty }\\0,&x={\infty }\\{\infty },&x=0\end{cases}}$

Ցանկացած E⊂Rⁿ բազմության համար սահմանենք E^* բազմությունը հետևյալ կերպ՝

E^* = {x^* : x ∈ E}

Այս ձևափոխության կարևոր հատկույուններից մեկն այն է, որ այն արտապատկերում է անվերջ հեռու կետը 0-ի և հակառակը։

Տրված u ֆունկցիայի համար E⊂Rⁿ\{0} բազմության վրա սահմանենք K[u] ֆունկցիա E^* բազմության վրա հետևյալ ձևով՝

$K[u](x^{*})={\frac {|x|^{n-2}}{R^{2n-4}}}u(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}u(x)={\frac {1}{|x^{*}|^{n-2}}}u\left({\frac {R^{2}}{|x^{*}|^{2}}}x^{*}\right).$

Մասնավորապես միավոր շրջանի դեպքում այն կստանա հետևյալ տեսքը՝

$K[u](x)={|x|^{2-n}}u(x^{*}).$

K[u]-ն կոչվում է u ֆունկցիայի Կելվինի ձևափոխություն։

Երբ n=2 ,ապա $K[u](x)=u(x^{*}).$

Հեշտությամբ կարելի է համողվել, որ K[K[u]]=u

Կելվինի ձևափոխությունը նաև գծային է, այսինքն՝ եթե u-ն և v-ն տրված ֆունկցիաներ են E-ի վրա և b, c-ն հաստատուններ են, ապա

K[bu+cv]=bK[u]+cK[v], E^* - ի վրա։

Կելվինի ձևափոխության կարևորագույն առանձնահատկությունն այն է , որ այն պահպանում է ֆունկցիայի հարմոնիկությունը,այսինքն՝ եթե u-ն հարմոնիկ ֆունկցիա Է E բազմության վրա, ապա K[u] - ն հարմոնիկ է E^* բազմության վրա։

Ծանոթագրություններ

• J. L. Doob (2001). Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart. Springer-Verlag. ISBN 3-540-41206-9.
• Paul Bourdon|Wade Ramey (2001). Harmonic Function Theory. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95218-5.