Կավարի տեսություն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Կավարի տեսություն, մաթեմատիկայի բաժին, որն ուսումնասիրում է մասնակի կարգավորված բազմությունների հանրահաշվական հատկությունները։ Կամայական ոչ դատարկ A բազմության վրա որոշված երկտեղանի ≤ հարաբերությունը կոչվում է մասնակի կարգ, իսկ {A, ≤ }համակարգը՝ մասնակի կարգավորված բազմություն, եթե A-ի կամայական a, b, c տարրերի համար բավարարված են հետնյալ պայմանները. l)a ≤a, 2) եթե a ≤b և b ≤c, ապա a ≤c, 3) եթե a ≤b և b ≤a, ապա a= b։ Եթե a ≤b, բայց a-ն հավասար չէ b-ին, ապա ասում են, որ a-ն խիստ փոքր է b-ից և նշանակում՝ a<b։ A բազմությունը կոչվում է {A, ≤} համակարգի հիմք։ Վերջավոր հիմք ունեցող մասնակի կարգավորված բազմությունը երբեմն հարմար է ներկայացնել գծագրի միջոցով՝ տարրերը տեղադրելով շերտ առ շերտ վարից վեր ըստ աճի և միմյանց միացնելով այն տարրերը, որոնք հարևան են ըստ կարգի, օրինակ՝ {A, ≤ } համակարգը կոչվում է կավար, եթե A-ի կամայական a, b տարրերի համար բավարարված են հետևյալ երկու պայմանները՝

ա. գոյություն ունի A-ին պատկանող a, b տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը ըստ ≤ հարաբերության
բ. գոյություն ունի A-ին պատկանող a,b տարրերի ճշգրիտ ստորին կոպարը ըստ ≤ հարաբերության

a, b տարրերի ճշգրիտ վերին կոպարը սովորաբար նշանակում են , իսկ ստորինը՝ ։ {A, ≤} համակարգը կոչվում է վերին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն ա. պայմանին, և ստորին կիսակավար, եթե բավարարում է միայն բ. պայմանին։ Գծագրում պատկերված համակարգը վերին կիսակավար է, բայց կավար չէ, որովհետև α և φ տարրերը չունեն ճշգրիտ ստորին կոպար։ Կավարի օրինակ է բոլոր բնական թվերի բազմությունը իր բնական կարգի հետ միասին, այդ դեպքում՝ aVb=max (a, b), a^b=min (a, b)։ Կավարը կոչվում է լրիվ, եթե նրա հիմքի յուրաքանչյուր ոչ դատարկ ենթաբազմություն ունի թե՝ ճշգրիտ վերին և թե՝ ճշգրիտ ստորին կոպար։ Վերջավոր հիմքով կավարները միշտ լրիվ են։ Բնական թվերով վերոհիշյալ կավարը լրիվ չէ։ [a, b] հատվածը, որտեղ a, b-ն իրական թվեր են և a<b, իր բնական կարգի հետ միասին կազմում է լրիվ կավար։ Եթե {A, ≤} մասնակի կարգավորված բազմության համար գոյություն ունի այնպիսի տարր, որ կամայական bA բավարարում է b≤a պայմանին, ապա a-ն կոչվում է {A, ≤} համակարգի առավելագույն տարր։ Հանգունորեն սահմանվում է նվազագույն տարրը։ Գծագրում δ-ն առավելագույն տարր է, իսկ նվազագույն տարր գոյություն չունի։ Առավելագույն տարրը նշանակում են 1 նշանով, նվազագույնը՝ 0 նշանով։ Եթե և գոյություն չունի այնպիսի bA, որ a<b, ապա a տարրը անվանում են մաքսիմալ։ Նման ձևով սահմանվում է մինիմալ տարրը։ Գծագրում δ-ն մաքսիմալ տարր է, իսկ α և φ տարրերը՝ մինիմալ։ Կավարը կոչվում է բաշխական, եթե նրա կամայական a, b, c տարրերի համար տեղի ունի առընչություն։ Կավարի տեսությունում մեծ դեր են խաղում այնպիսի կավարները (կոչվում են լրացումներով կավարներ), որոնք բաշխական են, ունեն 0 և 1, յուրաքանչյուր տարրին համապատասխանում է այնպիսի տարր, որ 1 և ։ Լրացումներով բաշխական կավարները, որ կոչվում են բուլյան կավարներ (նաև բուլյան հանրահաշիվ֊ներ), Կավարի տեսության խորապես զարգացած բաժիններից են և լայն կիրառություններ ունեն մաթեմատիկայի տարբեր բնագավառներում, տեխնիկայում։ Պարզագույն բուլյան կավարների հիմքը բաղկացած է միայն երկու տարրից՝ 0, 1, և կոչվում է երկարժեք բուլյան հանրահաշիվ։ Կավարի տեսության գաղափարներն ու մեթոդները լայն կիրառություններ են գտել հանրահաշվի մաթ. տրամաբանության, պրոյեկտիվ և աֆինական երկրաչափությունների, չափի տեսության, ֆունկցիոնալ անալիզի, տոպոլոգիայի, հավանականությունների տեսության, քվանտային ու ալիքային մեխանիկայի, հարաբերականության տեսության մեջ։ Պատմականորեն կավարների ուսումնասիրությունն սկսել է անգլիական մաթեմատիկոս Ջորջ Բուլը 1847-ին, որը հետագայում բուլյան հանրահաշիվ կոչված կավարների հատկությունները կիրառել է իր ստեղծած ասույթների տրամաբանության մեջ։ Կավարի գաղափարի արդի սահմանումը տվել է գերմանական մաթեմատիկոս Էրնստ Շրյոդերը, 1890-ին։

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Բիրկգոֆ Գ., «Теория Структур», Մոսկվա, 1952
  • Սկրոնյակով Լ. Ա., «Элементы теории структур», Մոսկվա, 1970
  • Սիկորսկի Ռ., Булевы алгебры, пер.с англ., Մոսկվա, 1969
Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 5, էջ 280 CC-BY-SA-icon-80x15.png